广东省深圳市深圳实验学校初中部2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

深圳实验学校初中部2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1．在，，，（两个1之间依次多一个，这5个数中，无理数的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各式中计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为　　 A．16 B．0 C．2 D．不确定 4．若点在第二象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 5．已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 6．如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是，南门的坐标是，则湖心亭的坐标为　　 A． B． C． D． 7．如图，在边长为2的正方形中剪去一个边长为1的小正方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点时停止（不含点和点，则的面积随着时间变化的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 8．将直线向上平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是　　 A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数图象经过第一、二、三象限 C．点在函数图象上 D．若，，，两点在该函数图象上，且，则 9．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为　　 A．12 B．13 C．14 D．15 10．周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发5分钟，乙骑行25分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是　　 A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了45分钟 D．乙比甲晚13分钟到达地 二．填空题（每题3分，共15分） 11．若二次根式有意义，则的取值范围为　　． 12．已知直线和图象上部分的横坐标和纵坐标如下表所示，则方程的解是 　　． 0 1 2 5 3 1 0 13．已知是的整数部分，是它的小数部分，则的值为 　　． 14．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为 　　． 15．如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 　　． 三．解答题（共55分） 16．（8分）计算： （1）； （2）． 17．（8分）计算： （1）． （2）． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形△；点的坐标为　　； （2）判断的形状并说明理由； （3）在图中找一点，使，． 19．（8分）设一次函数，为常数，的图象过，两点． （1）求该函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值； （3）设点在轴上，若，求点的坐标． 20．（8分）小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： 0 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4 5 （1）求和的值； （2）以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； （3）根据表格及函数图象，探究函数性质： ①该函数的最小值为 　　； ②当时，函数值随自变量的增大而 　　（填“增大”或“减小” ； ③若关于的方程有两个不同的解，则的取值范围为 　　． 21．（8分）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图1，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于轴的直线记为直线． （1）已知点，， ①线段的“轴距” 　　； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距” 　　； （2）已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，求的值． 22．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． （1）求△的面积，直接用表示为 　　． （2）如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； （3）若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在，，，（两个1之间依次多一个，这5个数中，无理数的个数是　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：，是整数， 在，，，（两个1之间依次多一个，这5个数中， 其中，（两个1之间依次多一个，是无限不循环小数，它们都是无理数，共3个． 故选：． 2．下列各式中计算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：是求它的算术平方根的，答案是3，故选项错误； 、，故选项错误； 、，故选项错误； 、，故选项正确． 故选：． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为　　 A．16 B．0 C．2 D．不确定 【解答】解：， 而最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故选：． 4．若点在第二象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：点到轴的距离是3，到轴的距离是1， 点的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 又点在第二象限， 点的坐标为． 故选：． 5．已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、， ， △是直角三角形，故选项不符合题意； 、， 最大角， △不是直角三角形，故选项符合题意； 、， ， ， ， △是直角三角形，故选项不符合题意； 、设，，， ， ， △是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：． 6．如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是，南门的坐标是，则湖心亭的坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系， 则湖心亭的坐标为， 故选：． 7．如图，在边长为2的正方形中剪去一个边长为1的小正方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点时停止（不含点和点，则的面积随着时间变化的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由点的运动可知，当点在、边上时的面积不变，则对应图象为平行于轴的线段，则、错误．点在、、上运动时，的面积分别处于增、减变化过程．故排除 故选：． 8．将直线向上平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是　　 A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数图象经过第一、二、三象限 C．点在函数图象上 D．若，，，两点在该函数图象上，且，则 【解答】解：将直线向上平移3个单位长度后得到直线， ．时，，直线与轴交于，错误； ．直线经过第一、二、三象限，正确； ．时，，点在函数图象上，错误； ．，直线随的增大而增大， 若，，，两点在该函数图象上，且，则，错误． 故选：． 9．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为　　 A．12 B．13 C．14 D．15 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ，即①， ， ②， ①②得， 大正方形的面积为：， 故选：． 10．周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发5分钟，乙骑行25分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是　　 A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了45分钟 D．乙比甲晚13分钟到达地 【解答】解：、根据图象可知：点指甲从开始出发，此选项正确，不符合题意； 、根据题意乙的速度为，设甲的原速度为 ， ，解得：，此选项正确，不符合题意； 、乙骑行25分钟后，甲以原速度的继续骑行， 此时甲的速度为， ， 则甲与乙相遇时，甲出发了（分钟）， 此选项正确，不符合题意； 、当时，甲到达地，此时乙距离地还有（米， 需要（分钟）， 乙比甲晚12分钟到达地，此选项错误，符合题意； 故选：． 二．填空题（共5小题） 11．若二次根式有意义，则的取值范围为　　． 【解答】解：依题意，得 ， 解得． 故答案为：． 12．已知直线和图象上部分的横坐标和纵坐标如下表所示，则方程的解是 　　． 0 1 2 5 3 1 0 【解答】解：由表格数据可知，直线和交于点， 方程的解是， 故答案为：． 13．已知是的整数部分，是它的小数部分，则的值为 　　． 【解答】解：，即， 的整数部分为3，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 14．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为 　　． 【解答】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ． ， 蚂蚁沿长方体表面爬到点处的最短距离为20． 故答案为： 15．如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 　　． 【解答】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， ，，， 在中，，， ， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 16．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17．计算： （1）． （2）． 【解答】解：（1）， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为； （2）方程组整理得：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形△；点的坐标为　　； （2）判断的形状并说明理由； （3）在图中找一点，使，． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，其中点的坐标为， 故答案为：； （2），，， ， 是直角三角形，； （3）如图所示，点即为所求． 19．设一次函数，为常数，的图象过，两点． （1）求该函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值； （3）设点在轴上，若，求点的坐标． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， 一次函数解析式为； （2）把代入得， 解得， 即的值为3； （3）直线与轴交于点，如图，则， 设， ， ， 解得或， 点坐标为或． 20．小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： 0 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4 5 （1）求和的值； （2）以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； （3）根据表格及函数图象，探究函数性质： ①该函数的最小值为 　1　； ②当时，函数值随自变量的增大而 　　（填“增大”或“减小” ； ③若关于的方程有两个不同的解，则的取值范围为 　　． 【解答】解：（1）由题知， 将，代入函数解析式得， ， 解得． 则函数解析式为． 将代入函数解析式得， ． 即． （2）描点、连线如图所示， （3）①由函数图象可知， 当时，函数有最小值为1． 故答案为：1． ②由函数图象可知， 当时， 函数值随的增大而增大． 故答案为：增大． ③方程的解可看成函数的图象与直线的交点问题， 由函数图象可知， 当时， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 即关于的方程有两个不同的解， 所以的取值范围是． 故答案为：． 21．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图1，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于轴的直线记为直线． （1）已知点，， ①线段的“轴距” 　4　； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距” 　　； （2）已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，求的值． 【解答】解：（1）①由题意点，， 点到轴的距离为3，点到轴的距离4， ， ， 故答案为：4； ②线段关于直线的对称线段为， 点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离为1，点到轴的距离0， ， ， 故答案为：1； （2）如图中， 点，， 线段关于直线的对称线段为，点，， ， ， ； 如图中，， ， ． 综上所述，满足条件的的值为1或5． 22．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． （1）求△的面积，直接用表示为 　　． （2）如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； （3）若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 【解答】解：（1）如图1，作于点， 四边形是矩形，且顶点，分别在轴和轴上，， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：． （2）如图2，作于点， 由折叠得，，， ，且， ， 解得， ， ， ， 解得， 此时到直线的距离为6． （3）如图3，△是等腰三角形，且，作于点，则， ，且，， ， ，且， ， 解得； 当△是等腰三角形，且时， ，且，，， ， 解得， 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$