专题25 导数与函数的极值、最值-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题25 导数与函数的极值、最值五种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据极值、极值点求参数…………………………………………………2 类型二、求函数的最值（含参）…………………………………………………....5 类型三、根据最值求参数 ..........…. …8 类型四、导数与极值、最值的综合应用 9 类型五、不等式恒成立与存在性问题 13 压轴能力测评（10题） 15 1.极值的概念： （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2.求极值的步骤: (1)先确定函数的定义域； (2)求导数； (3)求方程的解； (4)检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注意：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 3.最值： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 4.求函数在区间上的最大（小）值的步骤： (1)求在内的极值（极大值或极小值）； (2)将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注意:①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 5.不等式恒成立与存在性问题： 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数 类型一、根据极值、极值点求参数 例．(1)已知函数在处有极值8，则等于 ． (2)已知在上只有一个极值点，则实数的取值范围为 . 【变式训练1】已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【变式训练2】若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是 . 类型二、求函数的最值 例．(1)已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ． (2)已知函数,求在上的最小值. 【变式训练1】已知函数，若，则的最小值为 ． 【变式训练2】已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【变式训练3】已知函数,讨论在区间上的最小值. 类型三、根据最值求参数 例．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 . 【变式训练1】函数在内有最小值，则实数的取值范围为 . 类型四、导数与极值、最值的综合应用 例．已知函数有两个不同的极值点. （1）求的取值范围. （2）求的极大值与极小值之和的取值范围. （3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 【变式训练1】知函数． (1)当在处取得极小值－1时，求的解析式； (2)当时，求在区间上的最值； (3)当且时，若，，求a的取值范围． 【变式训练2】已知函数． (1)若存在使得成立，求a的取值范围； (2)设函数有两个极值点，且，求证：． 类型五、不等式恒成立与存在性问题 例．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【变式训练1】已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ． 【变式训练2】已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ． 1．设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A．2 B． C． D． 2．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值不可以是（    ） A． B．-3 C．-5 D．-6 4．已知函数，，其中是函数的导函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递减 C．恰有2个极值点 D．有且仅有2个极大值点 7．已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 8．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)当时，求函数在上的最大值. 9．已知函数，． (1)证明：． (2)若恒成立，求实数的取值范围． 10．已知函数. (1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值； (2)当时，对任意的，恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25 导数与函数的极值、最值五种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据极值、极值点求参数…………………………………………………2 类型二、求函数的最值（含参）…………………………………………………....5 类型三、根据最值求参数 ..........…. …8 类型四、导数与极值、最值的综合应用 9 类型五、不等式恒成立与存在性问题 13 压轴能力测评（10题） 15 1.极值的概念： （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2.求极值的步骤: (1)先确定函数的定义域； (2)求导数； (3)求方程的解； (4)检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注意：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 3.最值： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 4.求函数在区间上的最大（小）值的步骤： (1)求在内的极值（极大值或极小值）； (2)将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注意:①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 5.不等式恒成立与存在性问题： 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数 类型一、根据极值、极值点求参数 例．(1)已知函数在处有极值8，则等于 ． 【答案】 【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可． 【详解】 若函数在处有极值8，则即 解得：或， 当时，，此时不是极值点，故舍去； 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意， 故， 故. 故答案为：. (2)已知在上只有一个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，分离参数，转化为函数交点个数求解即可. 【详解】因为在上只有一个极值点， 则在上有唯一解，且左右函数值异号. 即， 令 则， 易知在单调递减，在单调递增， 且，， 故，解得. 故答案为：. 【变式训练1】已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【答案】 【解析】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增， 即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去. 故答案为：. 【变式训练2】若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 因为函数在上有2个极值点，即在上有两解， 即在上有两解， 令且，可得， 当时，可得，单调递增，不符合题意，（舍去）； 当时，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得极小值，极小值为， 要使得在上有两解，则满足， 当时，解得； 当，即， 设，其中，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又因为，所以， 所以不等式，可得， 由可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 类型二、求函数的最值 例．(1)已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】首先将转化为，并利用导数求函数值域，即的取值范围，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求函数的取值范围. ，设， ， 当时，，在区间单调递增， 当时，，在区间单调递减， 所以当时，取得最大值，， 且时，，， 所以当时，，即，函数在区间上单调递增， 当时，，即，函数在区间上单调递减， 所以当时，取得的最大值， 所以函数的值域是， 由题意可知，， 所以，， 设，， ，当时，， 所以当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，，当时，，且， 所以函数的值域是， 所以的取值范围是. 故答案为： (2)已知函数,求在上的最小值. 【答案】当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为. 【解析】， 当时，，所以在上单调递增，所以； 当时，令，得， （ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以； （ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上：当时，在上的最小值为； 当时，在上的最小值为. 【变式训练1】已知函数，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】先利用条件求出的关系式，构造函数求解最小值即可；或者把条件变形为，求出左边的最值，求解不等式可得答案. 【详解】因为，所以，即，两边同时取对数，得，则． 令， 则， 所以当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以， 得，所以的最小值为4． 故答案为：4. 【变式训练2】已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解. 【详解】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式训练3】已知函数,讨论在区间上的最小值. 【答案】 【解析】函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 类型三、根据最值求参数 例．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由得， 所以当或时，，当时，， 于是得在和上都单调递增，在上单调递减， 当时，取得极小值， 因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得， 于是得，且， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式训练1】函数在内有最小值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可得，函数的定义域为， 易知， 若函数在内有最小值，则函数在内必有极值点， 又，不妨设为方程的两个不相等实数根， 则有，不妨令，因此即可； 令，根据零点存在定理可得， 解得； 经检验在内有最小值，所以实数的取值范围为. 故答案为： 类型四、导数与极值、最值的综合应用 例．已知函数有两个不同的极值点. （1）求的取值范围. （2）求的极大值与极小值之和的取值范围. （3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 【答案】(1); (2);(3)没有 【分析】（1）先求得函数的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围. （2）根据（1）求得，求得的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围. （3）由（2）假设，，则，求得的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即没有最小值. 【解析】（1）定义域为，. 因为有两个不同的极值点，且， 所以有两个不同的正根，，解得. （2）因为，不妨设，所以，， 所以 . 令，则， 所以在上单调递增，所以， 即的极大值与极小值之和的取值范围是. （3）由（2）知.因为， 所以， 所以. 因为，所以 . 令，则， 所以在上单调递减，无最小值， 故没有最小值. 【变式训练1】知函数． (1)当在处取得极小值－1时，求的解析式； (2)当时，求在区间上的最值； (3)当且时，若，，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)当时，在区间上的最小值为，最大值为； 当时，在区间上的最大值为，最小值为． (3) 【解析】（1）因为，所以， 又在处取得极小值－1，所以，， 即，解得所以． 此时， 所以在内单调递减，在内单调递增， 在处取得极小值－1，满足题意． 综上，的解析式为． （2）当时，，． ①当时，在内单调递减，在内单调递增，所以的最小值为． 又，， 所以， 故的最大值为； ②当时，在内单调递增，在内单调递减，所以的最大值为， 此时， 故的最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为，最大值为； 当时，在区间上的最大值为，最小值为． （3）当且时，，． 令，解得，所以在内单调递减，在内单调递增． ①当时，，在内单调递增，所以； ②当时，，在内单调递减，在内单调递增， 所以，不满足题意，综上，a的取值范围为． 【变式训练2】已知函数． (1)若存在使得成立，求a的取值范围； (2)设函数有两个极值点，且，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围； （2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出. 【详解】（1）由于，故转化为． 设，则. 设，则. 由于，解，解得. 解可得，，所以在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 故在处有极小值，也是最小值. 所以故在上总成立，所以为单调增函数. 又存在使得成立，只需即可， 所以，即a的取值范围是． （2）由已知可得，定义域为，且. 由已知有两个极值点， 所以方程有两个相异根，则，且， ，，所以，. 所以，， 所以 . 令，则，设. 则， 所以在为减函数， 所以. 即． 类型五、不等式恒成立与存在性问题 例．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析; (2) 【详解】（1）因为， 所以， 当时，， 故恒成立，所以； 当时，令， 解得（舍去负根）， 令，得，此时单调递增； 令，得，此时单调递减． 综上所述：当时，在上单调递减; 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由恒成立，得在上恒成立， 所以在上恒成立． 令， 则． 令， 易知在上单调递减且， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为 【变式训练1】已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴， ∴当时，，在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为； 又∵， ∴由二次函数知识，在上的最小值为， 若，，使成立，等价于，即， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练2】已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【解析】因为，由，即， 即，设， 根据题意知存在，使得成立，即成立， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 1．设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的正负判断函数的单调性，从而得到和的值，代入可得的值. 【详解】由题知函数的定义域为，， 当时，，当时，， 在和上单调递增，在上单调递减，所以，． 所以． 故选：D． 2．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数导函数，依题意可得方程有两个不同的正根，，则，即可求出的取值范围. 【详解】因为定义域为，则 因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的正根，， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值不可以是（    ） A． B．-3 C．-5 D．-6 【答案】B 【解析】由可知，， 又在上有最小值， 所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 所以，解得， 又因为，所以. 故选：B 4．已知函数，，其中是函数的导函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导判断的单调性，将转化为，分离参数，构造新函数求新函数的单调性以及最值，从而求出实数的取值范围. 【详解】由题意知，所以， 又，所以在上单调递增. 因为，所以，故， 所以对任意的恒成立. 令，则，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 5．（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 6．（多选）已知函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递减 C．恰有2个极值点 D．有且仅有2个极大值点 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义，即可判断A；利用导数判断函数的正负，即可判断B；利用导数，转化为函数的交点个数问题，即可判断CD. 【详解】A.函数的定义域为， ，所以函数为奇函数，故A正确； B.，当时，， 所以函数在上单调递减，故B正确； C.显然，当时，令，即，得， 分别作出和在的图象，    由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且图象在这些公共点处都不相切， 故在区间上的极值点的个数为4，有2个极大值点，故C错误，D正确. 故选：ABD 7．已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围. 【详解】由求导，，由可得：， 因不满足此式，故可得：， 则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点. 由求导，，则当时，，当时，，当时， 则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值. 且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，. 故可作出函数的图象如图.    由图可知：函数与的图象有两个交点等价于. 故答案为： 8．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)当时，求函数在上的最大值. 【答案】（1）； （2）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， ，； 当时，的单调递增区间为，没有极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， ，；； （3） 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数与函数单调性、极值的关系，分类讨论的取值范围即可得解； （3）根据的取值范围，结合（2）中结论得到的单调性，从而得到其最值. 【解析】（1）因为， 当时，，则， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）因为， 则， 令得或， 当时，， 令，得或；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， ； 当时，，在上单调递增，没有极值； 当时，， 令，得或；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，； 综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， ，； 当时，的单调递增区间为，没有极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， ，； （3）因为，所以，， 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，， 所以. 9．已知函数，． (1)证明：． (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析; (2) 【详解】（1）方法一：设， 则定义域为，； 与均为增函数， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即； 方法二：设，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即， 左右同时取对数得：，即， ，即． （2）方法一：取得：，即，， ，，，下面证明恒成立， 即证明恒成立； ①当时，由（1）知：，只需证， 即证，即证，只需证， 即证； 令，则， 令，则， 在上单调递增，，， 即当时，， 当时，恒成立； ②当时，由（1）知：，只需证； 设，则， 在上单调递增，，即， 即当时，恒成立； 综上所述：当时，恒成立， 实数的取值范围为； 方法二：由已知得：恒成立； 设， 则， 令 当时，，，在上单调递减； 当时，由（1）知：， 令，则， 在上单调递减，， ， ，， 在上单调递增， ，，即实数的取值范围为． 10．已知函数. (1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值； (2)当时，对任意的，恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：） 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据斜率相等，求导即可得切点处导数值，解出a； （2）求导，利用导数求解单调性，结合零点存在性定理，即可求解最值得解. 【详解】（1）由题意可得，   则，解得.     故. （2）当时，. 设，则， 故在上单调递增.      因为，， 所以存在唯一的，使得，即，     当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故.      设，则，      所以在上单调递减，所以，即， 即.    因为对任意的，恒成立，且k为整数，所以， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$