第03讲 位置与坐标章节期中期末复习（6类热点压轴题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第03讲 位置与坐标章节期中期末复习 (6类热点压轴题型讲练) 目录 【考点一 轴对称与坐标变换的综合问题】 1 【考点二 平面直角坐标系中的面积问题】 8 【考点三 平面直角坐标系中的动点问题】 15 【考点四 平面直角坐标系中探究角的问题】 21 【考点五 平面直角坐标系中规律探究的问题】 31 【考点六 平面直角坐标系中新定义型的问题】 35 【考点一 轴对称与坐标变换的综合问题】 例题：（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是．    (1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标； (2)已知点P是x轴上一点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标，即（______，______） (2)求出的面积为______． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（　　，　　）． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 3．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于轴对称的； (3)在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下列各数0，π，，，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数，，，3.14，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列各数、、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加），无理数的个数是（　　） A． B． C． D． 【考点二 平面直角坐标系中的面积问题】 例题：（22-23七年级下·辽宁鞍山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于点B． (1)求A，C两点的坐标； (2)如图2，若过点B作交y轴于点D，、相交，且，，求的度数． (3)如图1，若点，在y轴上是存在点P，使得的面积是面积一半，求点P的坐标． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）已知的三个顶点位置分别是，，． (1)若，，求的面积； (2)如图，若顶点位于第二象限，且轴，与轴相交于点，当沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，求阴影部分的面积； (3)若点到轴的距离为4，点，当，求点的坐标． 2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 3．（23-24七年级下·广西河池·期末）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． (1)点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． (2)点是“恒等点”，求的值． (3)如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 【考点三 平面直角坐标系中的动点问题】 例题：（23-24七年级下·全国·期中）如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，分别以、所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，点，满足    (1)点A的坐标为_______，点C的坐标为_______． (2)直角三角形的面积为_______． (3)已知x轴、y轴上分别有动点P、Q，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向匀速移动，点Q从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴正方向匀速移动，两点同时出发，当点Q到达点A时，整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为秒，是否存在这样的t值，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在坐标系中，，，，点的横坐标与点的横坐标的比为． (1)求点的坐标； (2)动点从原点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，运动时间为秒，用含的式子表示的面积，并写出的取值范围； (3)在（）的条件下，当的面积等于的面积的一半时，求出的值及点的坐标． 2．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【考点四 平面直角坐标系中探究角的问题】 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴正半轴上的一个动点（不与重合），过点作交直线于．交轴于． (1)如图，当点的坐标是时，求点的坐标； (2)连接，当点在轴正半轴上运动时，的大小是否会发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)当在之间且时，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，点B在x轴上，，且，连接，． (1)直接写出点B的坐标：B（_____，______） (2)连接，若点M在y轴上且三角形的面积是三角形面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图②，若点E是线段延长线上的一点，连接，，判断，，之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 2．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，且满足，是轴上一点，是线段上一点． (1)求出点A，B，C的坐标；并直接写出与的位置关系； (2)当点在线段上时，连接，，，探究，和的数量关系，并说明理由； (3)若三角形的面积等于四边形的面积，直接写出点P的坐标． 3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，点，且满足，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求点到的距离； (4)若点从点出发在射线上运动（点不与点和点重合），过点作射线轴，且点在点的右侧，请写出，，的数量关系并说明理由．（提示：三角形三个角的和等于） 4．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，当点E在y轴负半轴上运动时，过点E作，分别作的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在y轴上是否存在这样的E点，使 ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【考点五 平面直角坐标系中规律探究的问题】 例题：（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)①的坐标为_________；②的坐标为_________． (2)是正整数，用含的代数式表示坐标；的坐标为_________． (3)点从点出发，沿着点，，，运动，到点时运动停止，求点运动的路程． 【考点六 平面直角坐标系中新定义型的问题】 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． (1)点的“3衍生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5衍生点”P的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的6倍，求k的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点、， 若点满足：,  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”．例如：、，当点满足, 时，则点是点A、B的“伴A 伴随点”． (1)已知点、， 点是点M、N的“伴M伴随点”，求y与x 的关系式（用含x的式子表示y) (2)已知点、． ①点P是点A、B的“伴A伴随点”，则点P的坐标为__________    ②在①的条件下，平面直角坐标系内有一点，满足，求k的值． 2．（22-23七年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，对于，两点，给出如下定义：若，则称P，Q两点互为“阶依附点”．例如，点，点即互为“阶依附点”．    (1)已知点A的坐标为． ①在，，三个点中，与点A互为“阶依附点”的是____________； ②若点B在y轴上，且点B与点A互为“阶依附点”，直接写出点B的坐标． (2)已知点，点D与点C互为“阶依附点”，若三角形的面积为，求点D的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 位置与坐标章节期中期末复习 (6类热点压轴题型讲练) 目录 【考点一 轴对称与坐标变换的综合问题】 1 【考点二 平面直角坐标系中的面积问题】 8 【考点三 平面直角坐标系中的动点问题】 15 【考点四 平面直角坐标系中探究角的问题】 21 【考点五 平面直角坐标系中规律探究的问题】 31 【考点六 平面直角坐标系中新定义型的问题】 35 【考点一 轴对称与坐标变换的综合问题】 例题：（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是．    (1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标； (2)已知点P是x轴上一点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)图形见解析， (2)或 【知识点】绝对值方程、坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）设，根据的面积等于面积的3倍得出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，；    （2）解：设， ， ∵的面积等于面积的3倍， ， ， 或， 即点的坐标为或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标，即（______，______） (2)求出的面积为______． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（　　，　　）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析，0，2 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称图形等知识点，根据提示作出正确的图形是解题关键． （1）确定各顶点关于x轴的对称点即可求解； （2）利用“割补法”即可求解； （3）作A关于y轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，据此即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：， 故答案为：； （2）解：的面积为； 故答案为：； （3）解：如图所示，作A关于y轴的对称点， 连接交轴于点，此时的值最小，则点的坐标为， 故答案为：0，2． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连接各点即可求解； （2）根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标； （3）根据对称求最短路径的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴，，，如图所示，连接，    ∴即为所求图形． （2）解：由（1）可知，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴，，． （3）解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点， ∴根据对称可得，， ∴， ∵点两点之间线段最短， ∴最短，即的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求点的位置． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于轴对称的； (3)在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______． 【答案】(1)点，， (2)见解析 (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可； （2）根据轴对称的性质，画出； （3）画出，连接，与轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：与关于轴对称， 点，，． （2）如图，即为所求． （3）如图，点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下列各数0，π，，，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，即可判定选项． 【详解】解：根据题意可知无理数有π，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0），共2个． 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数，，，3.14，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含的数；③有规律但无限不循环的小数．根据无理数概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：题中的无理数有，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），共个， 故选：D． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列各数、、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加），无理数的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的判断．熟记相关定义是解题的关键； 无理数，也称为无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如：，相连两个3之间的0个数逐渐增加一个），由此即可求解． 【详解】解：， 故在实数、±、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加）中， 无理数有3π、、0.303000300003…（相邻两个之间的个数逐次增加），共个． 故选：C． 【考点二 平面直角坐标系中的面积问题】 例题：（22-23七年级下·辽宁鞍山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于点B． (1)求A，C两点的坐标； (2)如图2，若过点B作交y轴于点D，、相交，且，，求的度数． (3)如图1，若点，在y轴上是存在点P，使得的面积是面积一半，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、化简绝对值 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性，求出，的值即可； （2）过点作，则，根据平行线的性质和角度倍积关系可得，结合平行线的性质可得，即可求得的度数； （3）设点，结合点，可求得，根据题意可列出，即可解得点P的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， （2）解：过点作，如图， 则， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 又， ∴， ∴； （3）解：存在， 设点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积一半，， ∴，解得 则点P的坐标或． 【点睛】本题考查的是绝对值非负性、角度倍积关系，平行线的性质，坐标与图形和求一个数的绝对值，解题的关键是熟悉平行线的性质和点的几何意义． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）已知的三个顶点位置分别是，，． (1)若，，求的面积； (2)如图，若顶点位于第二象限，且轴，与轴相交于点，当沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，求阴影部分的面积； (3)若点到轴的距离为4，点，当，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】利用平移的性质求解、坐标与图形 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移性质，三角形的面积的计算，关键是正确确定组成图形关键点平移后对应点位置． （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据梯形的面积公式即可得到结论； （3）当在轴的左侧时，设，当在轴的右侧时，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：，，， 的面积； （2）解：，， ， 是等腰直角三角形， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：由题意得，， 当在轴的左侧时，设， ， 解得：， 此时，或； 当在轴的右侧时，设， ， 解得：， 此时，或； 综上所述，或或或． 2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 3．（23-24七年级下·广西河池·期末）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． (1)点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． (2)点是“恒等点”，求的值． (3)如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 【答案】(1)不是 (2) (3)点坐标为 【知识点】坐标与图形、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查坐标与图形，掌握“恒等点”的定义是解题的关键． （1）根据“恒等点”的定义进行判断即可； （2）根据“恒等点”的定义，列出方程进行求解即可； （3）根据“恒等点”的定义，求出的值，设，则，根据列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点不是“恒等点”； （2）过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点是“恒等点” ，解得 ； （3）点是“恒等点”，是正数 解得 点的坐标为 设，则 ， 解得 点坐标为 【考点三 平面直角坐标系中的动点问题】 例题：（23-24七年级下·全国·期中）如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，分别以、所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，点，满足    (1)点A的坐标为_______，点C的坐标为_______． (2)直角三角形的面积为_______． (3)已知x轴、y轴上分别有动点P、Q，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向匀速移动，点Q从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴正方向匀速移动，两点同时出发，当点Q到达点A时，整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为秒，是否存在这样的t值，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)存在， 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了直角坐标系与几何图形的结合，以及动点问题，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据即可得到点A、点C的坐标； （2）根据（1）进而利用三角形面积公式即可得直角三角形的面积； （3）根据点P和点Q的运动方向和速度，设，可得到，,利用三角形面积公式并根据即可得到的值． 【详解】（1）解:∵， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为． （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴． （3）解：存在． 由题意易知点P从点C运动到点O的时间为4秒，点Q从点运动到点A的时间为4秒， ∴当时，点Q在线段上，点P在线段上，设， ∴，, ∵点D的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在坐标系中，，，，点的横坐标与点的横坐标的比为． (1)求点的坐标； (2)动点从原点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，运动时间为秒，用含的式子表示的面积，并写出的取值范围； (3)在（）的条件下，当的面积等于的面积的一半时，求出的值及点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，；当时，． 【知识点】坐标与图形、用代数式表示式 【分析】（）作于点，，由，，得，利用三角形等面积法即可求解； （）分相遇前，..当相遇后两种情况分析，根据三角形的面积公式即可得到结果； （）分相遇前，当相遇后两种情况，根据已知条件列方程即可得到结论； 本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，解一元一次方程，求点的坐标，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作于点，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，相遇前， ， ∴； 当相遇后，， ∴； （3）由， ，解得：； ∴， ∴； ，解得：， ∴， ∴， ∴， 综上可知：当时，；当时，． 2．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴P，Q． 【考点四 平面直角坐标系中探究角的问题】 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴正半轴上的一个动点（不与重合），过点作交直线于．交轴于． (1)如图，当点的坐标是时，求点的坐标； (2)连接，当点在轴正半轴上运动时，的大小是否会发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)当在之间且时，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】(1) (2)当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即 (3)当与全等时， 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，证明，即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作于点，根据全等三角形的判定方法可得，再根据角平分线的性质即可求解； （3）根据题意，可得，分别用含的式子表示出的值，根据全等三角形的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴，且， ∴四边形是矩形， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是角平分线， ∴， ∴当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即； （3）解：已知， ∴，，且， ∴在中，， ∴， 由（1）的证明可得，， ∴，则， ∴， 如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是每秒1个单位，点是每秒4个单位， ∴，，则点从的时间为：， 第一种情况，当在上时，，则， ∴，且， ∴， 解得，； 第二中情况，当在的延长线上时，如图所示， ∵，且，即， ∴， ∴不存在； 综上所述，当与全等时，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，勾股定理，全等三角形的判定和性质，动点与线段和差的计算方法，掌握平面直角坐标系的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，点B在x轴上，，且，连接，． (1)直接写出点B的坐标：B（_____，______） (2)连接，若点M在y轴上且三角形的面积是三角形面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图②，若点E是线段延长线上的一点，连接，，判断，，之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移、三角形面积的计算、平行线的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平移和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）求出，由且，得出点A向右平移4个单位到点B，即可得出结果； （2）由已知坐标得出，则，得出设点，由，得，求出y的值，即可得出答案； （3）过点E作，易证，得出，，由，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ，且， 点A向右平移4个单位到点B， 点B的坐标为， 故答案为：； （2）∵点，点， ，， ， ∵， ， 设点， ∵点， ，即， 解得或， 点M的坐标为或； （3），理由如下： 如图②，过点E作， ∵， ， ，， ∵， ． 2．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，且满足，是轴上一点，是线段上一点． (1)求出点A，B，C的坐标；并直接写出与的位置关系； (2)当点在线段上时，连接，，，探究，和的数量关系，并说明理由； (3)若三角形的面积等于四边形的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)A，B，C， (2) (3)或 【知识点】利用网格求三角形面积、根据平行线判定与性质证明、坐标与图形、绝对值非负性 【分析】本题属于坐标与图形综合题，主要考查非负数的性质；算术平方根，偶次方根．坐标与平行线的性质，三角形的面积， （1）由已知条件．就可以得到：和，和．就能很容易的写出、两点的坐标．又因为，所以可得与平行． （2）过点做轴的平行线，所以得到一组平行线轴，通过平行线内错角相等，最后得到． （3）四边形是一个梯形，并且四边形的面积是定值，由的面积和梯形的面积相等可知，的位置应该在线段外，设点坐标为，，，所以，得．即得到点坐标为或． 【详解】（1）解：（1）． ，， ，； 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． 平行于坐标轴， ； （2）．理由如下： 如图，过点作，交于点， ，． ，． ， ． （3）点的坐标为或． 理由如下： ， ； ， 得． 即得到点坐标为或． 3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，点，且满足，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求点到的距离； (4)若点从点出发在射线上运动（点不与点和点重合），过点作射线轴，且点在点的右侧，请写出，，的数量关系并说明理由．（提示：三角形三个角的和等于） 【答案】(1)， (2) (3) (4)，详见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、坐标与图形、有理数乘法的实际应用、绝对值非负性 【分析】本题主要考查被开方数和绝对值的非负性、平行线的性质以及坐标点的意义， 根据被开方数和绝对值的非负性列出方程求解即可； 根据坐标点的意义和面积公式求解即可； 根据坐标点的意义和面积公式求解即可； 根据平行线的性质得，结合已知三角形内角和即可找到三者之间关系． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）过点作交轴于点，如图， ，， ，， ，， ； （3）设点到线段的距离为， 则， ， ， ； （4）， 理由如下： 如图， 轴， ， ， ． 4．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，当点E在y轴负半轴上运动时，过点E作，分别作的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在y轴上是否存在这样的E点，使 ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2) (3)或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案； （3）设点的坐标为，再分点E在x轴上方和下方两种情况，用含的代数式表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ； （3）解：设 如图所示，当点E在x轴上方时，过点B作轴于H， ∵， ∴，，，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在y轴下方时，过点B作轴于H， 同理可得， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 【考点五 平面直角坐标系中规律探究的问题】 例题：（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、点坐标规律探索、坐标与图形 【分析】本题考查规律型中的点的坐标， （1）根据点的下标（分偶数和奇数两种情况）以及平移规律“向右平移个单位，再向上平移个单位”，可找出点与点的坐标； （2）根据（1）中的平移规律即可得出和点的坐标； （3）根据（2）的结论即可求解； 找出点的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：当点的下标为偶数或奇数时，发现点平移的规律：向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （2）由（1）中的平移的规律可得： 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）由（2）知：点的坐标为，点的坐标为， 当时， 解得：， 由，符合题意； 当时， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)①的坐标为_________；②的坐标为_________． (2)是正整数，用含的代数式表示坐标；的坐标为_________． (3)点从点出发，沿着点，，，运动，到点时运动停止，求点运动的路程． 【答案】(1)①，② (2) (3)点运动的路程为 【知识点】图形类规律探索、点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，图形类变化规律，得出规律，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①根据图中点（为正整数）坐标的规律即可得解；②根据图中点（为正整数）坐标的规律即可得解； （2）观察图形即可得出答案； （3）观察图形可得的长度为一个周期，计算出的长度以及周期的个数，即可得解． 【详解】（1）解：①观察图形可得： 点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故的坐标为， 故答案为：； ②观察图形可得： 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， 故的坐标为； 故答案为：； （2）解：由图可得：点的横坐标为，纵坐标为；点的横坐标为，纵坐标为；点的横坐标为，纵坐标为；点的横坐标为，纵坐标为；点的横坐标为，纵坐标为； 故的坐标为， 故答案为：； （3）解：观察图形可得：的长度为一个周期， ，且， 点运动的路程． 【考点六 平面直角坐标系中新定义型的问题】 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． (1)点的“3衍生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5衍生点”P的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的6倍，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)和 【知识点】新定义下的实数运算、坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）直接利用新定义进而分析得出答案； （2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案； （3）先由平行于y轴得出点P的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的6倍，解之可得． 【详解】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设 依题意，得方程组 ． 解得． ∴点； （3）解：设，则的坐标为． ∵平行于y轴 ∴ 即， 又∵， ∴． ∴点P的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长度为． ∴线段的长为． 根据题意，有， ∴． ∴． ∴k的值为和 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点、， 若点满足：,  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”．例如：、，当点满足, 时，则点是点A、B的“伴A 伴随点”． (1)已知点、， 点是点M、N的“伴M伴随点”，求y与x 的关系式（用含x的式子表示y) (2)已知点、． ①点P是点A、B的“伴A伴随点”，则点P的坐标为__________    ②在①的条件下，平面直角坐标系内有一点，满足，求k的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】新定义下的实数运算、坐标与图形、用代数式表示式、利用平行线间距离解决问题 【分析】（1）根据题中点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”类似的表示出点M、N的“伴M伴随点”即可解题； （2）①解题方法与（1）类似；②根据点的坐标在坐标系中画出草图，利用得到，利用割补法表示出面积，并建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：对于任意两点、， 若点满足：，  ，那么称点T 是点A、B 的“伴A 伴随点”． 点M、N的“伴M伴随点” 满足：，  ， ． （2）解：①点、，点P是点A、B的“伴A伴随点”， 则点P的坐标为：，即； 故答案为：． ②， ， 点、，P， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查新定义，代数式表示，平行线之间的距离处处相等，一元一次方程运用，割补法求面积，解题的关键在于理解题干“伴A 伴随点”的概念． 2．（22-23七年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，对于，两点，给出如下定义：若，则称P，Q两点互为“阶依附点”．例如，点，点即互为“阶依附点”．    (1)已知点A的坐标为． ①在，，三个点中，与点A互为“阶依附点”的是____________； ②若点B在y轴上，且点B与点A互为“阶依附点”，直接写出点B的坐标． (2)已知点，点D与点C互为“阶依附点”，若三角形的面积为，求点D的坐标． 【答案】(1)①；②点B坐标为或 (2)点D的坐标为或或或 【知识点】绝对值方程、坐标与图形 【分析】（1）①直接根据进行判断即可；②设，根据得，求解即可； （2）设点D坐标为，根据面积得出，求解出，再根据点D与点C互为“阶依附点”求解即可． 【详解】（1）解：①， 不是； ， 是； ， 不是； 故答案为：； ②设，根据得： ， 解得：或， 点B坐标为或． （2）解：设点D坐标为，    ∴三角形的高为，． ∵三角形的面积为 ∴ ∴ ∴ ∵点D与点C互为“阶依附点”， ∴ ∴， ， 或， 或， ∴点D的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“阶依附点”的定义，而后根据概念解决问题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$