专题5.4 三角函数的图象和性质（考点精练）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题5.4 三角函数的图象和性质 一、单选题 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为，则（     ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数的最小正周期为，且为偶函数，则的一个递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．0 6．函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（    ）． A．， B．， C．， D．， 二、多选题 7．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 8．若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（   ） A． B．点是函数的对称中心 C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴 三、填空题 9．函数的定义域是 . 10．函数的最小正周期为 ． 11．若函数的一个零点是，则函数的最大值为 12．已知函数对任意实数x都有成立，且，则实数b的值为 ． 四、解答题 13．已知，函数． （Ⅰ）若，求的单调递增区间； （Ⅱ）若的最大值是，求的值． 14．已知函数. （Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值； （Ⅱ）求函数的定义域和值域. 一、单选题 1．函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．函数图像的一条对称轴为，则（    ） A． B． C． D． 5．函数与的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是周期为的奇函数 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．的值域是 8．记函数的最小正周期为T.若为的零点，则的值可以是（    ） A． B．3 C．6 D．12 三、填空题 9．已知函数是偶函数，则的值为 10．已知函数，则函数的单调递减区间是 11．函数的最小正周期为 . 12．已知函数的图象关于轴对称，则 . 四、解答题 13．已知数． (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)求在的最大值和最小值． 14．函数的图象上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的单调递增区间． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 三角函数的图象和性质 一、单选题 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化，由正弦型函数的周期性即可求解. 【详解】由题意，得， 所以的最小正周期. 故选：A. 2．函数的最小正周期为，则（     ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期计算求参. 【详解】函数的最小正周期为，则，解得. 故选：A. 3．已知函数的最小正周期为，且为偶函数，则的一个递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的最小正周期为π，可求，利用偶函数可求得，进而可求得的单调区间，可得答案. 【详解】由的最小正周期为π，可得，解得， 所以， 又因为为偶函数， 所以又，所以， 所以， 由，可得， 所以的单调递减区间为， 当时，可得. 故选：D. 4．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解. 【详解】对于AC，，AC不是； 对于BD，，B是，D不是. 故选：B 5．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用两角和的余弦公式化简，进而可求最大值. 【详解】由题意可得， 所以的最大值为． 故选：C. 6．函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， ， ∴，， 故选：A． 二、多选题 7．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 【答案】AC 【分析】根据的性质逐一判断即可. 【详解】，故A正确； ，所以不是对称轴，故B错误； ，所以是的一个零点，故C正确； 因为振幅，所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 8．若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（   ） A． B．点是函数的对称中心 C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴 【答案】AB 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得函数的解析式，即可判断选项A；整体代入法验证选项BD，利用正弦函数图像性质判断选项C. 【详解】∵的两条相邻对称轴距离为. ∴，∴.∴. ∵，∴，又，则. ∴.∴选项A正确； 选项B：由， 可得函数对称中心的横坐标：. 当时，对称中心为.B正确； 选项C：当时，，， ∴在上不递增，C错误； 选项D：由，. 可得对称轴：，.∴不是对称轴. 或验证法把代入得，∴不是对称轴. ∴D错误； 故选：AB. 三、填空题 9．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由正切函数的定义域，整体思想可求得函数的定义域. 【详解】由正切函数的定义域可得，，，得，， 故函数的定义域为. 故答案为：. 10．函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期. 【详解】因为，因此，该函数的最小正周期为. 故答案为：. 11．若函数的一个零点是，则函数的最大值为 【答案】2 【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值. 【详解】由题意，所以， 所以， 又，所以，故的最大值为2. 故答案为：2. 12．已知函数对任意实数x都有成立，且，则实数b的值为 ． 【答案】或 【分析】根据函数对称性以及三角函数的最值求解即可. 【详解】因为函数对任意实数x都有成立， 所以函数关于对称， 所以或， 代入，解得或. 故答案为：或 四、解答题 13．已知，函数． （Ⅰ）若，求的单调递增区间； （Ⅱ）若的最大值是，求的值． 【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ）由，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为，再根据余弦函数的单调递增区间，求出函数的单调递增区间；（Ⅱ）利用两角和余弦公式、二倍角公式整理得，由函数最大值为，且对于型函数的最大值为，又，从而问题可得解. 试题解析：（Ⅰ）由题意 由，得．   所以单调的单调递增区间为，. （Ⅱ）由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又， 故．                       14．已知函数. （Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值； （Ⅱ）求函数的定义域和值域. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为 【分析】（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果. （2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域. 【详解】解：（1）因为是第二象限角，且， 所以. 所以， 所以. （2）函数的定义域为. 化简，得 ， 因为，且，， 所以， 所以. 所以函数的值域为. （注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.） 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型. 一、单选题 1．函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【详解】， 令， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 2．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件，结合余弦型函数的周期公式可求，再根据余弦型性质求函数的对称轴即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 所以， 所以， 令，， 可得，， 所以函数的对称轴为，， 结合选项考虑令，化简可得， 所以取，此时对称轴方程为. 故选：B. 3．已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象确定A的值，根据周期求出，利用特殊值求出，即得答案. 【详解】由函数图象可知，，即， 由，得， 故，由于，故， 则， 故选：B 4．函数图像的一条对称轴为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出. 【详解】由的图象关于对称， 可知：，即，则． 故选：A． 5．函数与的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象即可判断交点个数. 【详解】画出与的图象如图所示： 根据图象可知，交点个数是个. 故选：C. 6．已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可. 【详解】因为，所以， 令，则方程有2个根， 所以，解得， 则的取值范围是． 故选：B 二、多选题 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是周期为的奇函数 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．的值域是 【答案】CD 【分析】先化简,,A选项利用奇函数若，则，验证；B选项令,求出对称点坐标；C选项通过令，求出的增区间，再判断是否正确；D选项通过,确定的值域. 【详解】. A选项：周期为,不是奇函数，A错误； B选项：令,,解得：, 当时，， 所以关于对称，关于对称，B错误； C选项：令，，解得:， 所以增区间为，, 当时，则，C正确； D选项：,则,,D正确. 故选：CD. 8．记函数的最小正周期为T.若为的零点，则的值可以是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】ABD 【分析】求出，根据和求出，为的零点，故，解得，从而得到ABD正确. 【详解】因为，所以， 故， 又，故， 故， 为的零点，故， 故，解得， 当时，，当时，，当时，， 令，解得（舍去），ABD正确，C选项不成立. 故选：ABD 三、填空题 9．已知函数是偶函数，则的值为 【答案】 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，然后可得. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 10．已知函数，则函数的单调递减区间是 【答案】 【分析】采用整体代换的方式，结合的单调性可求得结果. 【详解】因为函数， 所以， 由得：， 的单调递减区间为. 11．函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】由余弦二倍角公式及两角和的余弦公式化简后计算周期即可得. 【详解】 ， 则其最小正周期. 故答案为：. 12．已知函数的图象关于轴对称，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数奇偶性的性质即可求解. 【详解】因为函数的图象关于轴对称，故为偶函数， 所以.又，所以. 故答案为： 四、解答题 13．已知数． (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)求在的最大值和最小值． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，， (2)的最小值，最大值. 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简，由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程， （2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值． 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为． 令，，解得，， 所以函数图象的对称轴方程为，， （2）当时，，则，进而可得， 当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值. 14．函数的图象上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列方程组，求解即可； （2）首先得，根据复合函数单调性列不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 解得，注意到，所以只能，， 所以函数的解析式为； （2）当时，， 令或，解得或， 所以由复合函数单调性可知，函数在区间上的单调递增区间为. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$