3.3.2 抛物线的简单几何性质(1)教学设计-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

课题 3.3.2 抛物线的简单几何性质(1) 编号 选择性必修 第一册 第三章 第3节 共3课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 《抛物线的简单几何性质》是湘教版高中数学选择性必修第一册第三章第三节的内容。本节课是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容. 教学目标 1.使学生掌握抛物线的几何性质，能根据给出的条件求抛物线的方程； 2.能用抛物线的焦点弦公式求出弦长。 核心素养 ●直观想象、●数学运算、●数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模 教学重点 抛物线的几何性质及其应用. 教学难点 抛物线各个知识点的灵活应用. 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 一、复习 1.抛物线的定义？ 2.抛物线的标准方程？? 二、情境 一抛物线型拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，水面上飘浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问木箱能否通过该拱桥？ 为了解决上面的问题，我们先结合抛物线的标准方程和图形，探究它的几何性质. 这个引入从生活实例出发，引导学生探究抛物线的几何性质，了解抛物线在实际问题中的初步应用，激发学生学习的兴趣，增强学生的应用意识，发展学生数学建模的核心素养. 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 一、深入探究——获得新知 问题一 抛物线方程中x和y的取值范围是多少呢？ 在方程中，因为，，所以该抛物线上点的横坐标都满足.于是，抛物线在轴的右侧，并且向右无限延伸.当的值增大时，也增大，说明这条抛物线向右上方和右下方无限延伸. 问题二 抛物线具有怎样的对称性呢？ 我们在抛物线上任取一点，请大家结合图象得到关于轴的对称点在什么位置？ 我们发现也在抛物线上.此抛物线关于x轴对称. 在标准方程中，也可以看到，将 换成，方程不变，说明这条抛物线关于轴对称，轴是它的对称轴. 每一条抛物线有唯一一条对称轴，称为抛物线的轴. 问题三 抛物线的顶点是什么呢？ 抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点.在方程中，当时，，因此抛物线的顶点为坐标原点) 问题四 怎样定义抛物线的离心率呢？ 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，用字母表示，由定义可知. 问题五 对于抛物线的另外三种形式，同学们可以类比探究它们的几何性质吗？ 同学们可以自主完成下面的表格. 项目 内容 定义 平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 标准 方程 图形 焦点 坐标 准线 方程 范围 对称性 顶点 离心率 关于抛物线的简单几何性质的理解： 问题六 抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程有哪些不同呢? 问题七 抛物线标准方程中的p对抛物线开口有何影响呢? 确定抛物线只要一个参数p，我们发现：“p越大,开口越开阔”.而确定椭圆和双曲线则需要两个参数. （1）抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线； （2）抛物线只有一条对称轴,没有对称中心； （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1. 二、创新应用——解决问题 熟练掌握了抛物线的几何性质，现在我们可以解决一开始提出的实际问题了. 例1 一抛物线型拱桥跨度为4米,拱顶离水面2米,水面上飘浮一宽2米,高出水面1.6米的大木箱,问木箱能否通过该拱桥？ 解析：以抛物线型拱桥的对称轴为y轴，顶点为原点建立平面直角坐标系. 设抛物线的标准方程为 已知点在抛物线上，代入解得， 所以抛物线的方程为. 令点B为， 米米，所以此木箱不能安全通过. 变式训练1：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点（1,2），求该抛物线的标准方程. 例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为（1，0），一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于 A，B两点，求∣AB∣. 解:（方法一）设A，. 由已知可得直线l的方程：. ① 又抛物线的焦点坐标为（1，0），故该抛物线的标准方程为 . ② 联立①、②，消去y可得 . 由一元二次方程根与系数的关系得，， 于是 = = =8 (方法二)如图，设A，.过A，B分别向准线作垂线，垂足为A，B. 由抛物线的定义可知，，. 所以. 由方法一中根与系数的关系得,所以 结论：直线经过抛物线的焦点交抛物线于A，两点，则线段的长度为 （用含，，的式子表达）。 通过问题链，使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力，体会数形结合及方程的思想。在教学中，采用类比学习法，通过探究发现、合作交流、归纳反思等数学活动，让学生主动参与，让学习过程成为学生的主动认知过程。 例1是课前情境引入问题的解决，体现了数学来源于生活再回到生活中的思想，进一步加强学生的应用意识，发展学生数学建模的核心素养，体会坐标的方法.该例题是据书上例3改编，所以将书上例3作为变式训练加以巩固. 采用待定系数法确定抛物线的标准方程，关键在于识别抛物线四种类型中的哪一种，再由抛物线上点的坐标确定p的值，进而得到所求方程. 方法一是处理圆锥曲线弦长问题的一般化方法，即通过联立直线方程与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，求出|AB|. 方法二在得到关于x(或y)的一元二次方程，且利用根与系数的关系，得到x1+x2的值后，再利 用抛物线的定义得出|AB|，简化了运算.该方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密地结合起来，体现了用坐标法解决问题的基本思想方法。 本题是渗透方程思想，数形结合思想的极好素材，对于发展逻辑推理、直观想象、数学运算素养有很好的作用，教学中要引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题. 通过典型例题，熟练掌握根据几何条件求抛物线标准方程与弦长的方法，提升学生数形结合，及方程思想、分类讨论思想方法的 解题能力。 课堂练习 1.求下列抛物线的顶点坐标、对称轴、焦点坐标和准线方程. (1) ； (3)； (2) ； . 2. 在同一坐标系中画出下列抛物线： (1) ; (2) ; (3) . 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系. 3. 设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，求|AB|及OAB的面积. 4.（1）设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离为 ； （2）过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，两点，若，则 . 通过巩固练习，熟练掌握抛物线几何性质的应用与应用抛物线的定义求焦半径、焦点弦。通过解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象的核心素养。 总结提升 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？运用了哪些解题方法和数学思想？ 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P148习题3.3：第4、5题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P148习题3.3：第10题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$