2023-2024学年北师大版八 年级数学下册重难知识点系列：因式分解 [精选 50 题]

北师大版 8 年级数学重难知识点系列：因式分解 [精选 50 题] 一．选择题（共 20 小题） 1．设 P＝a2（﹣a+b﹣c），Q＝﹣a（a2﹣ab+ac），则 P 与 Q 的关系是（ ） A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．互为相反数 2．用提公因式法分解因式正确的是（ ） A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab） B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y） C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c） D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x） 3．已知 ab＝﹣3，a+b＝2，则 a2b+ab2 的值是（ ） A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1 4．如图，长方形的长、宽分别为 a、b，且 a 比 b 大 5，面积为 10，则 a2b﹣ab2 的值为（ ） A．60 B．50 C．25 D．15 5．（﹣2）2021+（﹣2）2022 计算后的结果是（ ） A．22021 B．﹣2 C．﹣22021 D．﹣1 6．下列各选项中因式分解正确的是（ ） A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2） C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 7．已知 xy＝﹣1，x+y＝2，则＝（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 8．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ） （1）x2﹣2x﹣1；（2）﹣x+1；（3）﹣a2﹣b2；（4）﹣a2+b2；（5）x2﹣4xy+4y2；（6）m2﹣m+1． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第 1页（共 30页） 9．下列分解因式正确的是（ ） A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y） C．﹣x2+y2＝（x+y）（y﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2） 10．下列各因式分解的结果正确的是（ ） A．a3﹣a＝a（a2﹣1） B．b2+ab+b＝b（b+a） C．1﹣2x+x2＝（1﹣x）2 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y） 11．将 a3b﹣ab 进行因式分解，正确的是（ ） A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1） 12．把多项式 x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3 因式分解之后，正确的结果是（ ） A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3） C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3） 13．多项式 x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8 分解因式的结果是（ ） A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8） B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2） C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2） D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2） 14．多项式 77x2﹣13x﹣30 可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中 a、b、c 均为整数，求 a+b+c 之值为何？（ ） A．0 B．10 C．12 D．22 15．把多项式 x2+ax+b 分解因式，得（x+1）（x﹣3），则 a，b 的值分别是（ ） A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3 16．下列因式分解正确的是（ ） A．x2+9＝（x+3）（x﹣3） B．x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3） C．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y） D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 17．下列因式分解结果正确的是（ ） A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） 18．若 x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则 nm 的值为（ ） A．﹣6 B．8 C．﹣ D． 19．如果二次三项式 x2﹣ax﹣9（a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 a 可取值的个数是（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．无数个 第 2页（共 30页） 20．若多项式 2x2+ax﹣6 能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式 2x﹣3，则 a 的值为（ ） A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5 二．填空题（共 20 小题） 21．若多项式 x2﹣3x+k（k 为常数）的一个因式是 x﹣2，则 k 的值为 ． 22．若 y2﹣3y+m 有一个因式为 y﹣4，则 m＝ ． 23．若多项式 x2﹣mx+n（m、n 是常数）分解因式后，有一个因式是 x﹣2，则代数式 的值为 ． 24．若 a+b＝4，ab＝1，则 a2b+ab2＝ ． 25．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝ ． 26．分解因式：x3﹣2x2+x＝ ． 27．分解因式：2a2﹣4a+2＝ ． 28．已知 m，n，p 均为实数，若 x﹣1，x+4 均为多项式 x3+mx2+nx+p 的因式，则 2m﹣2n﹣p+86＝ ． 29．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝ ． 30．因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝ ． 31．因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝ ． 32．因式分解： （1）﹣3ab+6ab2﹣3b3＝ ； （2）a2b﹣25b＝ ； （3）4a2﹣12a+9＝ ； （4）x2﹣y2﹣2x+2y＝ ． 33．分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝ ． 34．分解因式：b4﹣b2﹣12＝ ． 35．因式分解：2x2﹣6x﹣8＝ ． 36．因式分解： （1）﹣3a3b3+2a2b2﹣ab＝ ． （2）1﹣9a4b4＝ ． （3）m2+7mn+12n2＝ ． 37．分解因式：x3+5x2+6x＝ ． 38．如果 x2+Ax+B 因式分解的结果为（x﹣3）（x+5），则 A+B＝ ． 39．若二次三项式 x2+ax﹣6 可分解为（x+2）（x+b），则 a+b＝ ． 第 3页（共 30页） 40．把关于 x 的多项式 x2+ax+b 分解因式，得（x+1）（x﹣3），则 ab＝ ． 三．解答题（共 10 小题） 41．已知 a+b＝4，ab＝2，求下列各式的值． （1）a2b+ab2 （2）a2+b2． 42．因式分解： （1）2m（a﹣b）﹣6n（a﹣b）； （2）（9a2+1）2﹣36a2； （3）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16． 43．因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6． 44．请用两种方法对多项式 x3﹣4x2+6x﹣4 进行因式分解．（拆添项算一种方法） 45．因式分解： （1）3a2b2﹣6ab3； （2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3； （3）x3+5x2﹣x﹣5； （4）（x2﹣4）2﹣9x2． 第 4页（共 30页） 46．观察以下等式： 第 1 个等式：2×1﹣12＝1 第 2 个等式：3×2﹣22＝2 第 3 个等式：4×3﹣32＝3 第 4 个等式：5×4﹣42＝4 第 5 个等式：6×5﹣52＝5 …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 6 个等式： ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的等式表示），并证明． 47．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下 面是某同学用换元法对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4 进行因式分解的过程． 解：设 a2﹣2a＝A 原式＝（A﹣1）（A+3）+4（第一步）＝A2+2A+1（第二步）＝（A+1）2（第三步）＝（a2﹣2a+1）2（第 四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填代号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的 最后结果为 ． （3）请你模仿以上方法对多项式（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49 进行因式分解． 第 5页（共 30页） 48．仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式 x2+5x+m 有一个因式是 x+2，求另一个因式以及 m 的值． 解：设另一个因式 x+n，得 x2+5x+m＝（x+2）（x+n）， 则 x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n， ∴n+2＝5，m＝2n，解得 n＝3，m＝6，∴另一个因式为 x+3，m 的值为 6． 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式 x2﹣7x+12 可分解为（x﹣3）（x+a），则 a＝ ． （2）若二次三项式 2x2+bx﹣6 可分解为（2x+3）（x﹣2），则 b＝ ． （3）已知二次三项式 2x2+9x﹣k 有一个因式是 2x﹣1，求另一个因式以及 k 的值． 第 6页（共 30页） 49．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： （x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3． 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）． 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式．如将式子 x2+2x﹣3 分解因式．这 个式子的二次项系数是 1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数 2＝（﹣1）+3，可以用图中十字相乘的形式表示为： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到： x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： （1）x2+7x+10＝ ； （2）x2﹣2x﹣3＝ ； （3）y2﹣7y+12＝ ； （4）x2+7x﹣18＝ ． 第 7页（共 30页） 50．阅读并解决问题． 对于形如 x2+2ax+a2 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2 的形式．但对于二次三项式 x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式 x2+2ax﹣3a2 中先加上一项 a2，使 它与 x2+2ax 的和成为一个完全平方式，再减去 a2，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）． 像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8． （2）若 a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4 的值． （3）已知 x 是实数，试比较 x2﹣4x+5 与﹣x2+4x﹣4 的大小，说明理由． 第 8页（共 30页） 8 年级数学重难知识点系列：因式分解 精选 50 题 参考答案与试题解析 一．选择题（共 20 小题） 1．设 P＝a2（﹣a+b﹣c），Q＝﹣a（a2﹣ab+ac），则 P 与 Q 的关系是（ ） A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．互为相反数 【分析】根据提公因式法，可分解因式，可得答案． 【解答】解：P＝﹣a2（a﹣b+c），Q＝﹣a（a2﹣ab+ac）＝﹣a2（a﹣b+c）， P＝Q， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解，提公因式是解题关键． 2．用提公因式法分解因式正确的是（ ） A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab） B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y） C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c） D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x） 【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案． 【解答】解：A、12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3abc），故本选项错误； B、3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2），故本选项错误； C、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），正确； D、x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x﹣1），故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项． 3．已知 ab＝﹣3，a+b＝2，则 a2b+ab2 的值是（ ） A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1 【分析】将 a2b+ab2 变形为 ab（a+b），再代入计算即可． 【解答】解：因为 ab＝﹣3，a+b＝2， 所以 a2b+ab2 ＝ab（a+b） 第 9页（共 30页） ＝﹣3×2 ＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查提公因式法分解因式和代数式求值，将 a2b+ab2 变形为 ab（a+b）是正确解答的关键． 4．如图，长方形的长、宽分别为 a、b，且 a 比 b 大 5，面积为 10，则 a2b﹣ab2 的值为（ ） A．60 B．50 C．25 D．15 【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可． 【解答】解：由题意可得：a﹣b＝5，ab＝10， 则 a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝50．故选：B． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键． 5．（﹣2）2021+（﹣2）2022 计算后的结果是（ ） A．22021 B．﹣2 C．﹣22021 D．﹣1 【分析】直接提取公因式（﹣2）2021，进而得出答案． 【解答】解：（﹣2）2021+（﹣2）2022 ＝（﹣2）2021×（1﹣2） ＝22021． 故选：A． 【点评】此题主要考查了提取公因式以及有理数的混合运算，正确找出公因式是解题关键． 6．下列各选项中因式分解正确的是（ ） A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2） C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可． 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误； B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误； C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误； 第 10页（共 30页） D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 7．已知 xy＝﹣1，x+y＝2，则＝（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可． 【解答】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2， ∴ ＝xy（x2+2xy+y2） ＝ xy（x+y）2 ＝ ＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键． 8．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ） （1）x2﹣2x﹣1；（2）﹣x+1；（3）﹣a2﹣b2；（4）﹣a2+b2；（5）x2﹣4xy+4y2；（6）m2﹣m+1． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1，不符合题意； （2） ﹣x+1＝（ ﹣1）2，符合题意； （3）﹣a2﹣b2，不符合题意； （4）﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），符合题意； （5）x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，符合题意； （6）m2﹣m+1，不符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了公式法因式分解的综合运用，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解本题的关键． 9．下列分解因式正确的是（ ） 第 11页（共 30页） A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y） C．﹣x2+y2＝（x+y）（y﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2） 【分析】利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可． 【解答】解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故 A 不符合题意； B．x2+xy+x＝x（x+y+1），故 B 不符合题意； C．﹣x2+y2＝（x+y）（y﹣x），故 C 符合题意； D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故 D 不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式是各项含有公因式，必须 先提公因式． 10．下列各因式分解的结果正确的是（ ） A．a3﹣a＝a（a2﹣1） B．b2+ab+b＝b（b+a） C．1﹣2x+x2＝（1﹣x）2 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y） 【分析】分解因式要先正确确定公因式，然后再利用完全平方公式或平方差公式进行分解，注意要分解 彻底． 【解答】解：A、a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故原题错误； B、b2+ab+b＝b（b+a+1），故原题错误； C、1﹣2x+x2＝（1﹣x）2，故原题分解正确； D、x2+y2 不能分解，故原题错误； 故选：C． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一 般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 11．将 a3b﹣ab 进行因式分解，正确的是（ ） A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1） 【分析】多项式 a3b﹣ab 有公因式 ab，首先考虑用提公因式法提公因式 ab，提公因式后，得到多项式（a2 ﹣1），再利用平方差公式进行分解． 【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）， 故选：C． 【点评】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 第 12页（共 30页） 12．把多项式 x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3 因式分解之后，正确的结果是（ ） A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3） C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3） 【分析】先把 x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3 转化为（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4），因为前三项、后三项符合完全平方 公式，然后根据平方差公式进一步分解． 【解答】解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3 ＝（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4） ＝（x﹣1）2﹣（y+2）2 ＝[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）] ＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查了分组分解法分解因式，本题的关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解．解 题时要求同学们要有构造意识和想象力． 13．多项式 x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8 分解因式的结果是（ ） A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8） C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2） B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2） D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2） 【分析】首先将前三项利用完全平方公式分解因式，进而结合十字相乘法分解因式得出答案即可． 【解答】解：x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8 ＝（x﹣5y）2+2（x﹣5y）﹣8 ＝（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及十字相乘法法分解因式，正确应用十字相乘法分解因 式是解题关键． 14．多项式 77x2﹣13x﹣30 可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中 a、b、c 均为整数，求 a+b+c 之值为何？（ ） A．0 B．10 C．12 D．22 【分析】首先利用十字交乘法将 77x2﹣13x﹣30 因式分解，继而求得 a，b，c 的值． 【解答】解：利用十字交乘法将 77x2﹣13x﹣30 因式分解， 可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）． ∴a＝﹣5，b＝11，c＝6， 则 a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12． 第 13页（共 30页） 故选：C． 【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意 ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方 法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1，a2 的积 a1•a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1，c2 的积c1•c2，并使 a1c2+a2c1 正好是一次项 b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 15．把多项式 x2+ax+b 分解因式，得（x+1）（x﹣3），则 a，b 的值分别是（ ） A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3 【分析】根据 x2+ax+b 分解因式的结果为（x+1）（x﹣3），可得 a＝﹣3+1，常数项的积是 b．【解答】解：∵x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3）， ∴a＝1﹣3＝﹣2，b＝﹣3×1＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法．x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）． 16．下列因式分解正确的是（ ） A．x2+9＝（x+3）（x﹣3） B．x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3） C．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y） D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 【分析】利用公式法对 A、D 进行判断；根据十字相乘法对 B 进行判断；根据提公因式对 C 进行判断．【解答】解：A、x2+9 不能分解，所以 A 选项不符合题意；B、x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3），所以 B 选项符合题意； C、3x﹣6y+3＝3（x﹣2y+1），所以 C 选项不符合题意； D、x2+2x﹣1 在有理数范围内不能分解，所以 D 选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等：对于 x2+（p+q）x+pq 型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）． 17．下列因式分解结果正确的是（ ） A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） 【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断． 【解答】解：A．因为 x2+3x+2＝（x+1）（x+2），故 A 错误；B．因为 4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故 B 错误；C．因为 a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故 C 错误； 第 14页（共 30页） D．因为 x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故 D 正确． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法． 18．若 x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则 nm 的值为（ ） A．﹣6 B．8 C．﹣ D． 【分析】根据 x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），可得 nx﹣5x＝mx，﹣5n＝﹣10，据此可得 m、n 的值，再代 入计算即可． 【解答】解：（x﹣5）（x+n）＝x2+nx﹣5x﹣5n， ∵x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n）， ∴nx﹣5x＝mx，﹣5n＝﹣10， ∴n﹣5＝m，n＝2， 解得：m＝﹣3，n＝2， ∴nm＝． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键． 19．如果二次三项式 x2﹣ax﹣9（a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 a 可取值的个数是（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．无数个 【分析】根据因式分解﹣十字相乘法，将﹣9 分解为﹣9×1 和﹣1×9，然后进行计算即可．【解答】解：当﹣9＝﹣9×1 时，﹣a＝﹣9+1，∴a＝8， 当﹣9＝﹣1×9 时，﹣a＝﹣1+9， ∴a＝﹣8， ∴如果二次三项式 x2﹣ax﹣9（a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 a 可取值：±8， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，用十字相乘的方法时，要注意数字的符号不能出现差错． 20．若多项式 2x2+ax﹣6 能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式 2x﹣3，则 a 的值为（ ） A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5 【分析】先分解，再对比求出 a． 【解答】解：∵多项式 2x2+ax﹣6 能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式 2x﹣3，﹣6＝﹣3×2． 第 15页（共 30页） ∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6． ∴a＝1． 故选 A． 【点评】本题考查因式分解的应用，根据条件确定另一个因式是求解本题的关键． 二．填空题（共 20 小题） 21．若多项式 x2﹣3x+k（k 为常数）的一个因式是 x﹣2，则 k 的值为 2 ． 【分析】x﹣2 是多项式 x2﹣x+k（k 为常数）的一个因式，即方程 x2﹣3x+k＝0 的一个解是 2，代入方程 求出 k 的值． 【解答】解：把 x＝2 代入方程 x2﹣3x+k＝0 中得 4﹣6+k＝0， 解得：k＝2． 解法二：设另一个因式为（x+p），则有 x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+p）＝x2+（﹣2+p）x﹣2p， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查了因式分解的意义．一元二次方程可以利用因式分解法，分解成两个因式相乘值为 0 的形式，每一个因式为 0，即可求出其中一个解．本题用的是逆向思维求 k 的值． 22．若 y2﹣3y+m 有一个因式为 y﹣4，则 m＝ ﹣4 ． 【分析】设多项式 y2﹣3y+m 的另一个因式为（y+k），则 y2﹣3y+m＝（y﹣4）（y+k），可得关于 k、m 的 方程组，解方程组即可求出 m 的值． 【解答】解：设多项式 y2﹣3y+m 的另一个因式为（y+k）， 则 y2﹣3y+m＝（y﹣4）（y+k），∴y2﹣3y+m＝y2+（k﹣4）y﹣4k， ∴， 解得， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查的是因式分解与整式的乘法的关系，掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键． 23．若多项式 x2﹣mx+n（m、n 是常数）分解因式后，有一个因式是 x﹣2，则代数式 的值为 81 ． 第 16页（共 30页） 【分析】设另一个因式为 x﹣a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得 x2﹣ （a+2）x+2a，根据各项系数相等列式，计算可得 2m﹣n＝4． 【解答】解：设另一个因式为 x﹣a， 则 x2﹣mx+n＝（x﹣2）（x﹣a）＝x2﹣ax﹣2x+2a＝x2﹣（a+2）x+2a， 得， 由①得：a＝m﹣2③， 把③代入②得：n＝2（m﹣2），2m﹣n＝4，， 故答案为：81． 【点评】本题是因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现 形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解． 24．若 a+b＝4，ab＝1，则 a2b+ab2＝ 4 ． 【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案． 【解答】解：∵a+b＝4，ab＝1， ∴a2b+ab2＝ab（a+b） ＝1×4 ＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 25．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝ （a﹣b）（a﹣b+1） ． 【分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果． 【解答】解：原式＝（a﹣b）2+（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+1）， 故答案为：（a﹣b）（a﹣b+1） 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 26．分解因式：x3﹣2x2+x＝ x（x﹣1）2 ． 【分析】首先提取公因式 x，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2． 故答案为：x（x﹣1）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 第 17页（共 30页） 27．分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2（a﹣1）2 ． 【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1） ＝2（a﹣1）2． 故答案为：2（a﹣1）2． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 28．已知 m，n，p 均为实数，若 x﹣1，x+4 均为多项式 x3+mx2+nx+p 的因式，则 2m﹣2n﹣p+86＝ 100 ． 【分析】根据三次项系数为 1 可设另一个因式为（x+k），将原式变形为 x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k） ＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，可得 ，代入 2m﹣2n﹣p+86 可得答案． 【解答】解：∵x﹣1，x+4 均为多项式 x3+mx2+nx+p 的因式，且三次项系数为 1， ∴设另一个因式为（x+k）， 则 x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k， ∴， ∴2m﹣2n﹣p+86＝2（k+3）﹣2（3k﹣4）+4k+86 ＝2k+6﹣6k+8+4k+86 ＝100， 故答案为：100． 【点评】本题主要考查因式分解的意义，根据系数设另一个因式，从而变形将待求式子的未知数化为统 一未知数是解题的关键． 29．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝ （a﹣b+1）（a﹣b﹣1） ． 【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中 a2+b2﹣2ab 正好符合完全 平方公式，应考虑为一组． 【解答】解：a2﹣1+b2﹣2ab ＝（a2+b2﹣2ab）﹣1 ＝（a﹣b）2﹣1 ＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）． 【点评】此题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还 第 18页（共 30页） 能进行下一步分解． 30．因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝ （m﹣1+n）（m﹣1﹣n） ． 【分析】先分组得到 m2﹣2m+1﹣n2，再把第 1 组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解． 【解答】解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2 ＝（m﹣1）2﹣n2 ＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）． 故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）． 【点评】本题考查了分组分解法：分组分解一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个 目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 31．因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝ （m﹣y）（m+x） ． 【分析】原式两项两项结合提取公因式即可． 【解答】解：原式＝（m2﹣my）+（mx﹣yx） ＝m（m﹣y）+x（m﹣y） ＝（m﹣y）（m+x）， 故答案为：（m﹣y）（m+x）． 【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用 两两分组还是三一分组．本题采用的是两两分组法． 32．因式分解： （1）﹣3ab+6ab2﹣3b3＝ ﹣3b（a﹣2ab+b2） ； （2）a2b﹣25b＝ b（a+5）（a﹣5） ； （3）4a2﹣12a+9＝ （2a﹣3）2 ； （4）x2﹣y2﹣2x+2y＝ （x﹣y）（x+y﹣2） ． 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （3）根据完全平方公式分解因式即可； （4）先分组，再根据平方差公式和提取公因式法分解因式，最后再提取公因式 x﹣y 即可． 【解答】解：（1）﹣3ab+6ab2﹣3b3 ＝﹣3b（a﹣2ab+b2）， 故答案为：﹣3b（a﹣2ab+b2）； 第 19页（共 30页） （2）a2b﹣25b ＝b（a2﹣25） ＝b（a+5）（a﹣5）， 故答案为：b（a+5）（a﹣5）； （3）4a2﹣12a+9 ＝（2a﹣3）2， 故答案为：（2a﹣3）2； （4）x2﹣y2﹣2x+2y ＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y） ＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+y﹣2）， 故答案为：（x﹣y）（x+y﹣2）． 【点评】本题考查了分解因式，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等． 33．分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝ （x﹣1）2（y﹣1）2 ． 【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+（xy）2+2xy+1，再进 行分组得到完全平方公式，所以原式＝[（x+y）﹣（xy+1）]2，然后再把括号内分组分解即可． 【解答】解：原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+4xy+（xy）2﹣2xy+1 ＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+（xy）2+2xy+1 ＝（x+y）2﹣2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2 ＝[（x+y）﹣（xy+1）]2 ＝（x+y﹣xy﹣1）2 ＝（x﹣1）2（y﹣1）2． 故答案为（x﹣1）2（y﹣1）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解， 分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 34．分解因式：b4﹣b2﹣12＝ （b+2）（b﹣2）（b2+3） ． 【分析】先利用十字相乘法，再利用平方差公式进行因式分解即可． 第 20页（共 30页） 【解答】解：b4﹣b2﹣12＝（b2﹣4）（b2+3）＝（b+2）（b﹣2）（b2+3）， 故答案为：（b+2）（b﹣2）（b2+3）． 【点评】本题考查十字相乘法、公式法分解因式，掌握十字相乘法、公式法的结构特征是正确应用的前 提． 35．因式分解：2x2﹣6x﹣8＝ 2（x﹣4）（x+1） ． 【分析】原式先提取公因数 2，再利用十字相乘法求出解即可． 【解答】解：原式＝2（x2﹣3x﹣4）＝2（x﹣4）（x+1）， 故答案为：2（x﹣4）（x+1）． 【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键． 36．因式分解： （1）﹣3a3b3+2a2b2﹣ab＝ ﹣ab（3a2b2﹣2ab+1） ． （2）1﹣9a4b4＝ （1+3a2b2）（1﹣3a2b2） ． （3）m2+7mn+12n2＝ （m+3n）（m+4n） ． 【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）利用完十字相乘法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）﹣3a3b3+2a2b2﹣ab ＝﹣ab（3a2b2﹣2ab+1）； （2）1﹣9a4b4 ＝12﹣（3a2b2）2 ＝（1+3a2b2）（1﹣3a2b2）； （3）m2+7mn+12n2 ＝（m+3n）（m+4n）． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键掌握因式的方法并灵活运用． 37．分解因式：x3+5x2+6x＝ x（x+2）（x+3） ． 【分析】先提公因式 x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式． 【解答】解：x3+5x2+6x， ＝x（x2+5x+6）， ＝x（x+2）（x+3）． 【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实 第 21页（共 30页） 质是二项式乘法的逆过程． 38．如果 x2+Ax+B 因式分解的结果为（x﹣3）（x+5），则 A+B＝ ﹣13 ． 【分析】根据整式的乘法，可得相等的整式，根据相等整式中同类项的系数相等，可得答案．【解答】解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得A＝2，B＝﹣15， ∴A+B＝2﹣15＝﹣13． 故答案为：﹣13． 【点评】本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键． 39．若二次三项式 x2+ax﹣6 可分解为（x+2）（x+b），则 a+b＝ ﹣4 ． 【分析】直接利用多项式乘法结合二元一次方程组的解法得出 a，b 的值进而得出答案．【解答】解：∵x2+ax﹣6 可分解为（x+2）（x+b），∴x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）， ＝x2+（2+b）x+2b， 则， 解得：， 故 a+b＝﹣4．故答案为：﹣4． 【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确得出关于 a，b 的方程组是解题关键． 40．把关于 x 的多项式 x2+ax+b 分解因式，得（x+1）（x﹣3），则 ab＝ 6 ． 【分析】先进行多项式乘多项式计算，然后求出 a，b 的值即可解答． 【解答】解：由题意得： x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3）， ∴x2+ax+b＝x2﹣2x﹣3， ∴a＝﹣2，b＝﹣3， ∴ab＝﹣2×（﹣3）＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，根据题目的已知计算多项式乘多项式，求出 a，b 的值是解 题的关键． 三．解答题（共 10 小题） 第 22页（共 30页） 41．已知 a+b＝4，ab＝2，求下列各式的值． （1）a2b+ab2 （2）a2+b2． 【分析】（1）将 a+b、ab 的值代入原式＝ab（a+b），计算可得； （2）将 a+b、ab 的值代入原式＝（a+b）2﹣2ab，计算即可． 【解答】解：（1）当 a+b＝4，ab＝2 时，原式＝ab（a+b）＝2×4＝8； （2）当 a+b＝4，ab＝2 时，原式＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12． 【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法因式分解和完全平方公式． 42．因式分解： （1）2m（a﹣b）﹣6n（a﹣b）； （2）（9a2+1）2﹣36a2； （3）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16． 【分析】（1）直接提取公因式 2（a﹣b）分解因式得出答案； （2）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案； （3）利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝2（a﹣b）（m﹣3n）； （2）原式＝（9a2+1﹣6a）（9a2+1+6a） ＝（3a﹣1）2（3a+1）2； （3）原式＝（x2﹣5+4）2 ＝（x2﹣1）2 ＝[（x﹣1）（x+1）]2 ＝（x﹣1）2（x+1）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 43．因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6． 【分析】先利用分组分解法分解，再分别利用公式法和提取公因式法分解即可得出答案． 【解答】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6 ＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4） 第 23页（共 30页） ＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2） ＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b） ＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2] ＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2] ＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2] ＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2 ＝（2a+b）3（2a﹣b）3． 【点评】本题考查了综合运用分组分解法、提取公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的 方法及整式乘法的相关公式是解题的关键． 44．请用两种方法对多项式 x3﹣4x2+6x﹣4 进行因式分解．（拆添项算一种方法） 【分析】分别利用拆添项及配方法和提取公因式法进行分解即可． 【解答】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4 ＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4） ＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2） ＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）； 方法二：x3﹣4x2+6x﹣4 ＝x（x2﹣4x+4+2）﹣4 ＝x（x﹣2）2+2x﹣4 ＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）． 【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法、拆添项法及配方法是解题的关键． 45．因式分解： （1）3a2b2﹣6ab3； （2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3； （3）x3+5x2﹣x﹣5； （4）（x2﹣4）2﹣9x2． 【分析】（1）提公因式 3ab2 可进行因式分解； （2）先提公因式﹣3ab，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用分组分解法进行因式分解，先将前两项为一组，后两项为一组，提公因式后，再利用平方差公 式进行即可； （4）先利用平方差公式，在分别利用十字相乘法进行因式分解即可． 第 24页（共 30页） 【解答】解：（1）3a2b2﹣6ab3＝3ab2（a﹣2b）； （2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3＝﹣3ab（9a2﹣6ab+b2）＝﹣3ab（3a﹣b）2； （3）x3+5x2﹣x﹣5＝x2（x+5）﹣（x+5）＝（x+5）（x+1）（x﹣1）； （4）（x2﹣4）2﹣9x2＝（x2﹣4+3x）（x2﹣4﹣3x）＝（x+4）（x﹣1）（x﹣4）（x+1）． 【点评】本题考查因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法是正确进行因 式分解的关键． 46．观察以下等式： 第 1 个等式：2×1﹣12＝1 第 2 个等式：3×2﹣22＝2 第 3 个等式：4×3﹣32＝3 第 4 个等式：5×4﹣42＝4 第 5 个等式：6×5﹣52＝5 …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 6 个等式： 7×6﹣62＝6 ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （n+1）×n＝n2 （用含 n 的等式表示），并证明． 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第 6 个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【解答】解：（1）第 6 个等式是 7×6﹣62＝6， 故答案为：7×6﹣62＝6； （2）猜想：第 n 个等式是（n+1）×n﹣n2＝n， 故答案为：（n+1）×n﹣n2＝n， 证明：∵左边＝（n+1）×n﹣n2 ＝n2+n﹣n2 ＝n ∵右边＝n ∴左边＝右边， ∴等式成立． 【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出 相应的等式和猜想，并证明． 第 25页（共 30页） 47．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下 面是某同学用换元法对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4 进行因式分解的过程． 解：设 a2﹣2a＝A 原式＝（A﹣1）（A+3）+4（第一步）＝A2+2A+1（第二步）＝（A+1）2（第三步）＝（a2﹣2a+1）2（第 四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C （填代号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的 最后结果为 （a﹣1）4 ． （3）请你模仿以上方法对多项式（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49 进行因式分解． 【分析】（1）完全平方公式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差； （2）a2﹣2a+1 还可以分解，所以是不彻底； （3）按照例题的分解方法进行分解即可． 【解答】解：（1）运用了 C，两数和的完全平方公式； （2）a2﹣2a+1 还可以分解，分解不彻底； （a2﹣2a+1）2＝（a﹣1）4； （3）设 x2﹣4x＝A． （x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49 ＝（A﹣3）（A+11）+49 ＝（A﹣3）（A+11）+49 ＝A2+8A+16 ＝（A+4）2 ＝（x2﹣4x+4）2 ＝（x﹣2）4． 故答案为：C；（a﹣1）4． 【点评】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难 度中等． 48．仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式 x2+5x+m 有一个因式是 x+2，求另一个因式以及 m 的值． 第 26页（共 30页） 解：设另一个因式 x+n，得 x2+5x+m＝（x+2）（x+n）， 则 x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n， ∴n+2＝5，m＝2n，解得 n＝3，m＝6，∴另一个因式为 x+3，m 的值为 6． 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式 x2﹣7x+12 可分解为（x﹣3）（x+a），则 a＝ ﹣4 ． （2）若二次三项式 2x2+bx﹣6 可分解为（2x+3）（x﹣2），则 b＝ ﹣1 ． （3）已知二次三项式 2x2+9x﹣k 有一个因式是 2x﹣1，求另一个因式以及 k 的值． 【分析】（1）将（x﹣3）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出 a 的值； （2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 b 的值； （3）设另一个因式为（x+n），得 2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知 2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式． 【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2﹣7x+12， ∴a﹣3＝﹣7， 解得：a＝﹣4； 故答案为：﹣4 （2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6， ∴b＝﹣1． 故答案为：﹣1． （3）设另一个因式为（x+n），得 2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n）， 则 2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n， 解得 n＝5，k＝5，∴另一个因式为 x+5，k 的值为 5． 【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 49．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： 第 27页（共 30页） （x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3． 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）． 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式．如将式子 x2+2x﹣3 分解因式．这 个式子的二次项系数是 1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数 2＝（﹣1）+3，可以用图中十字相乘的形式表示为： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到： x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： （1）x2+7x+10＝ （x+2）（x+5） ； （2）x2﹣2x﹣3＝ （x﹣3）（x+1） ； （3）y2﹣7y+12＝ （y﹣3）（y﹣4） ； （4）x2+7x﹣18＝ （x+9）（x﹣2） ． 【分析】（1）把 10 分解成 2×5； （2）把﹣3 分解成﹣3×1； （3）把 12 分解成（﹣3）×（﹣4）； （4）把﹣18 分解成（﹣2）×9； 【解答】解：（1）因为 10＝2×5，2+5＝7，所以 x2+7x+10＝（x+2）（x+5）； （2）因为﹣3×1＝﹣3，﹣3+1＝﹣2，所以 x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）； （3）因为﹣3×（﹣4）＝12，﹣3+（﹣4）＝﹣7，所以 y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；（4）因为 9×（﹣2）＝﹣18，9+（﹣2）＝7，所以 x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）． 故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）． 【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知 a、b 是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出 a、b 的值，是解题关键． 50．阅读并解决问题． 第 28页（共 30页） 2 2 2 对于形如 x +2ax+a 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a） 的形式．但对于二次三项式 2 2 2 2 2 x +2ax﹣3a ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式 x +2ax﹣3a 中先加上一项 a ，使 2 2 它与 x +2ax 的和成为一个完全平方式，再减去 a ，整个式子的值不变，于是有： 2 2 2 2 2 2 2 2 x +2ax﹣3a ＝（x +2ax+a ）﹣a ﹣3a ＝（x+a） ﹣（2a） ＝（x+3a）（x﹣a）． 像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配 方法”． （1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8． 2 2 4 4 （2）若 a+b＝5，ab＝6，求：①a +b ；②a +b 的值． 2 2 （3）已知 x 是实数，试比较 x ﹣4x+5 与﹣x +4x﹣4 的大小，说明理由． 【分析】（1）加 1 再减 1，可以组成完全平方式； 2 2 2 2 （2）①加 2ab 再减 2ab 可以组成完全平方式；②在①得基础上，加 2a b 再减 2a b ，可以组成完全 平方式； （3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可． 【解答】解：（1）a2﹣6a+8， ＝a2﹣6a+9﹣1， ＝（a﹣3）2﹣1， ＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1）， ＝（a﹣2）（a﹣4）； 2 2 （2）a +b ， ＝（a+b）2﹣2ab， ＝52﹣2×6， ＝13； 4 4 2 2 2 2 2 a +b ＝（a +b ） ﹣2a b ＝132﹣2×62 ＝169﹣2×36 ＝169﹣72 ＝97； （3）∵x2﹣4x+5， 第 29页（共 30页） ＝x2﹣4x+4+1， ＝（x﹣2）2+1≥1＞0 ﹣x2+4x﹣4， ＝﹣（x2﹣4x+4）， ＝﹣（x﹣2）2≤0 2 2 ∴x ﹣4x+5＞﹣x +4x﹣4． （若用”作差法”相应给分） 【点评】本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的 方法，应熟练掌握，（1）实质上是十字相乘法分解因式． 第 30页（共 30页） 学科网（北京）股份有限公司 $$