第6章《一次函数》章节复习（18个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第6章《一次函数》章节总复习 （18个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：常量与变量 1 考点讲练2：函数的概念 2 考点讲练3：函数关系式 3 考点讲练4：函数自变量的取值范围 3 考点讲练5：函数值 3 考点讲练6：函数的表示方法 4 考点讲练7：一次函数的定义 5 考点讲练8：正比例函数的定义 5 考点讲练9：一次函数的性质 5 考点讲练10：待定系数法求一次函数解析式 6 考点讲练11：函数的图象 6 考点讲练12：一次函数的图象 7 考点讲练13：正比例函数的图象 8 考点讲练14：根据实际问题列一次函数关系式 9 考点讲练15：一次函数的应用 10 考点讲练16：一次函数与二元一次方程（组） 11 考点讲练17：一次函数与一元一次方程 12 考点讲练18：一次函数与一元一次不等式 13 中等题真题汇编练 13 培优题真题汇编练 18 考点讲练1：常量与变量 【精讲题】（2024秋•阜阳月考）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（　　） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 【举一反三1】（2024春•项城市校级期中）在中，常量和变量分别是（　　） A．常量是4；变量是v B．常量是；变量是v C．常量是3；变量是s，v D．常量是；变量是s，v 【举一反三2】（2024春•招远市期末）一个人在生长期时，随着年龄的增加，身高往往也在增长，在这个变化的过程中，因变量是 　 　． 考点讲练2：函数的概念 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024春•新县期末）如图，下列各曲线中表示y是x的函数的有 　 　（填序号）． 【举一反三2】（2023秋•朝阳区校级期末）如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d/厘米 20 21 22 23 身高h/厘米 160 169 178 187 某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 　 　厘米． 考点讲练3：函数关系式 【精讲题】（2024秋•高碑店市月考）如图，矩形铁板的长为a，在左侧截掉一个最大的正方形．若剩余部分的周长为b，则a与b的关系为（　　） A．b＝2a B．b＝2a+2 C．b＝4a D．b＝4a﹣4 【举一反三1】（2024秋•延安月考）在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝2BC＝x，则△ABC的面积y与x之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D．y＝x2 【举一反三2】（2024秋•庐阳区校级月考）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为x厘米，相框内的空白部分面积是y平方厘米，则y与x之间的函数关系式为 ． 考点讲练4：函数自变量的取值范围 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≤2且x≠﹣1 B．x≤2 C．x≠﹣1 D．﹣1＜x≤2 【举一反三1】（2024秋•东莞市期中）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 【举一反三2】（2024秋•南岗区校级月考）函数中，自变量x的取值范围是 　． 考点讲练5：函数值 【精讲题】（2023秋•坡头区期末）规定：f（x）＝|x﹣2|，g（y）＝|y+3|．例如f（﹣4）＝|﹣4﹣2|，g（﹣4）＝|﹣4+3|．下列结论中，（1）若f（x）+g（y）＝0，则2x﹣3y＝13；②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝﹣1﹣2x；③能使f（x）＝g（x）成立的x的值不存在；④式子f（x﹣1）+g（x+1）的最小值是7．其中正确的所有结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【举一反三1】（2024•弋江区校级开学）已知，若f（x）＝3，则x的值是（　　） A．1 B．1或 C．1，或 D． 【举一反三2】（2024秋•庐阳区校级月考）1﹣6个月的婴儿生长发育得很快，如果一个婴儿出生时的体重为3300克，那么他的体重y（克）和月龄x（月）之间的关系可以近似用y＝3300+700x来表示．当y的值为7500时，自变量x的值为 　 　． 考点讲练6：函数的表示方法 【精讲题】（2024春•贵州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（　　） 温度（℃） ﹣10 0 10 20 30 … 声速（m/s） 324 330 336 342 348 A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为30°C时，声音5s可以传播1740m D．当温度升高到31°C时，声速为354m/s 【举一反三1】（2024春•栾城区期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）： 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 当空气温度为﹣10℃时，声音经过5s可以传播的路程是 　 　米． 【举一反三2】（2024春•丹东期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为人类了解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m•K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.55W/m•K，则温度为 　 　． 温度T（℃） 100 150 200 250 300 导热率K（W/m•K） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 考点讲练7：一次函数的定义 【精讲题】（2024秋•裕安区月考）在下列函数解析式中，①y＝kx；②y＝；③y＝x；④y＝x2﹣（x﹣1）（x+2）；⑤y＝4﹣x，一定是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【举一反三1】（2024春•丰都县校级月考）若函数y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【举一反三2】（2024秋•雁塔区校级月考）已知y关于x的函数是一次函数，则m的值为 　 ． 考点讲练8：正比例函数的定义 【精讲题】（2024秋•皇姑区期中）若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（　　） A．±2 B．1 C．2 D．﹣2 【举一反三1】（2023秋•雅安期末）已知是x的正比例函数，则m＝ 　． 【举一反三2】（2023秋•渠县期末）若函数y＝﹣xa﹣3+b﹣1是关于x的正比例函数，则a+b的平方根为 　　． 考点讲练9：一次函数的性质 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）下列有关一次函数y＝﹣2x﹣1的说法中，正确的是（　　） A．y的值随着x值的增大而增大 B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，1） C．当x＞0时，y＞﹣1 D．函数图象经过第二、三、四象限 【举一反三1】（2024春•洪山区期末）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{4，3}＝4，max{﹣6，2}＝2．若关于x的函数为y＝max{x+7，﹣x+3}，则该函数的最小值是（　　） A．﹣2 B．0 C．5 D．7 【举一反三2】（2024•南岸区校级开学）直线y＝kx+2与y轴，直线y＝﹣1围成的三角形的面积为5，则k的值为 　　． 考点讲练10：待定系数法求一次函数解析式 【精讲题】（2024秋•资中县校级月考）如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣x+3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x﹣3 【举一反三1】（2023秋•沭阳县校级月考）一次函数y＝kx+b，当﹣2≤x≤2时﹣3≤y≤5，则kb＝　 　． 【举一反三2】（2023秋•丹阳市期末）一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝　 　． 考点讲练11：函数的图象 【精讲题】（2024秋•包河区月考）甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60km/h的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为s（km），甲车行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车；②乙车行驶的速度是90km/h；③A、B两地相距450km；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三1】（2024秋•阜阳月考）某次航展中，歼20模型飞机在某60s内飞行的高度h（m）与时间t（s）之间的关系大致如图所示．下列结论错误的是（　　） A．在0≤t≤60范围内，飞机高度有两次180m B．在30＜t≤41范围内，飞机高度在不断下降 C．在30＜t≤60范围内，飞机高度有四次600m D．在0≤t≤60范围内，飞机有二次连续攀升 【举一反三2】（2024秋•赤峰月考）甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发30秒，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲跑步时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙的速度为 　　米/秒． 考点讲练12：一次函数的图象 【精讲题】（2024春•吴忠期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 　 　． 【举一反三1】（2024春•大足区期末）如图，一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象与x轴交于点（2，0），那么使y＞0成立的x的取值范围为 　 　． 【举一反三2】（2024秋•阜阳月考）一次函数y＝ax+b和y＝bx+a（a，b为常数且a≠b）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 考点讲练13：正比例函数的图象 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）一次函数y1＝ax+b（a，b是常数）与y2＝﹣abx（a、b是常数且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024•霍山县三模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k（k为常数，k＜0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】（2023秋•秦都区校级期中）已知y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数．若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在该函数图象上，则y1　　y2．（用“＞”“＜”或“＝”填空） 考点讲练14：根据实际问题列一次函数关系式 【精讲题】（2024春•鹤山市期末）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂1kg重物后，弹簧伸长2cm，弹簧总长为y（单位：cm）随所挂重物x（单位：kg）变化的函数解析式为 　 　． 【举一反三1】（2024春•兴宁市期末）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝　 　（0≤t≤5）． 【举一反三2】（2024春•裕华区校级期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，则下列y与x的关系式及自变量x的取值范围中，正确的是（　　） A．y＝36﹣x（0＜x＜36） B．y＝36﹣x（O＜x＜18） C．y＝36﹣2x（0＜x＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18） 考点讲练15：一次函数的应用 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行6km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【举一反三1】（2024•港南区二模）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．a＝15 B．小明的速度是150米/分钟 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D．爸爸出发7分钟追上小明 【举一反三2】（2024秋•阜阳月考）明明和亮亮家住在同一栋楼，星期天相约到新华书店看书．明明步行一段时间后，亮亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（m）与明明出发时间t（min）之间的函数关系如图所示． （1）明明步行的速度为　 　m/min； （2）图中a的值为　 　． 考点讲练16：一次函数与二元一次方程（组） 【精讲题】（2024秋•历下区校级月考）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），则方程组的解是 　　 ． 【举一反三1】（2023秋•滕州市期末）函数y＝x﹣5与y＝kx+b的图象如图所示，两图象交点的横坐标为4，则二元一次方程组的解是 　　 ． 【举一反三2】（2024春•乾安县期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 考点讲练17：一次函数与一元一次方程 【精讲题】（2024春•巨野县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论： ①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2； ②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0； ③当x＞2时，y＜0； ④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【举一反三1】（2024•凌河区校级一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0；④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】（2024春•伊犁州期末）如图，函数y＝kx﹣1的图象过点（1，2），则关于x的方程kx﹣1＝2的解是 　 　． 考点讲练18：一次函数与一元一次不等式 【精讲题】（2024•龙岗区三模）如图，已知函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3的解集是 　 　． 【举一反三1】（2023秋•常州期末）如图，点A（﹣1，2）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，则不等式kx+b＞2的解集是 　 　． 【举一反三2】（2024秋•包河区月考）如图所示，直线y＝kx+b与x轴交于点A（2，0），下列判断正确的是（　　） A．k＜0 B．b＞0 C．k+b＜0 D．2k+b＞0 中等题真题汇编练 1．（2024•甘州区三模）如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（　　） A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x＞1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组 的解是 2．（2024•振兴区校级三模）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与直线y＝﹣2x+3平行 D．y随x的增大而增大 3．（2024秋•濉溪县校级月考）下列函数（1）y＝﹣x；（2）y＝5x+2；（3）；（4）y＝x2﹣4中，是正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024春•涿州市期末）已知直线y＝﹣3x+m过点A（﹣1，y1）和点（﹣3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 5．（2024秋•雁塔区校级月考）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•湖北模拟）函数y＝中自变量x的取值范围是 　 　． 7．（2024秋•杏花岭区校级月考）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：根据表中的数据，Q与t之间的关系式为 　 　． 汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 … 油箱剩余油量Q（升） 100 94 88 82 … 8．（2024秋•碑林区校级月考）某公司要印制新产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．图中l1，l2分别表示两家印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系． （1）表示甲厂收费与印制数量之间关系的直线是　 　（填“l1”或“l2”）； （2）分别求出甲，乙两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； （3）某厂商拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？能多印多少份？ 9．（2024•市中区校级模拟）如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），则关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　． 10．（2024•红旗区校级四模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　． 11．（2024秋•通州区校级月考）如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． （1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y关于x的函数关系式； （2）上述函数是什么函数？ （3）并写出自变量x的取值范围； （4）当x＝9时，所围苗圃的面积是多少？ 12．（2024秋•包河区月考）某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人50元；超过20人的，超过的部分，每人40元． （1）写出门票收费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式； （2）701班班主任带领45名学生去该风景区游览，购买门票共需要多少元？ 13．（2024春•北海期末）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示． （1）小明从家跑步去体育场用了 　 　min，体育馆距离家有 　 　km． （2）文具店离体育馆多远？小明在文具店停留了多久？ （3）小明从家到文具店的平均速度是多少？ 14．（2024秋•金安区校级月考）五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额W（元）最少？ （3）在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的m%（m为正整数）捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 培优题真题汇编练 15．（2024秋•松江区校级月考）如果y＝kx+2k+x是关于x的正比例函数，则k的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 16．（2024春•鼓楼区校级期中）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0，②ab＜0；③y1随x的增大而增大；④当x＜3时，y1＞y2；⑤3k+b＝3+a．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024秋•霍邱县月考）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx﹣3和y2＝n（x﹣4）+2，（n≠0），无论x取何值，始终有y2＞y1，则n的取值范围为（　　） A．且n≠0 B． C．且n≠0 D． 18．（2024•埇桥区校级二模）如图，一次函数y＝m2x+4m（m是常数且m≠0）与一次函数y＝4mx+m2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 19．（2023秋•麻栗坡县期末）下列图象不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 20．（2024秋•阜阳月考）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款 　 　元． 21．（2024秋•霍邱县月考）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与y轴的交点坐标为（0，﹣3），此一次函数的表达式可以为　 　． 22．（2024秋•庐阳区校级月考）如图1，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”．已知桌面AB的长为1600cm，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为x s，木块Q与小球P之间的距离为y cm，图2是y与x的部分图象． （1）小球P的运动速度为 　 　cm/s． （2）t的值为 　 　． 23．（2024秋•灞桥区校级月考）如图，函数y＝kx﹣1的图象过点（1，3），则关于x的方程kx﹣1＝2的解是 　 　． 24．（2024秋•岳麓区校级月考）如图，直线y1＝mx，y2＝kx+b交于点P（2，1），则关于x的不等式kx+b＞mx的解集为 　 　． 25．（2024秋•宝安区校级月考）甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）b＝ 　 　米； （2）甲登山的速度是 　 　米/分； （3）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？ 26．（2024秋•南岗区校级月考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+6k交x轴于点B，交y轴于点A，AB＝2AO． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点H在AB上，点F在OB上，连接FH、OH，且FH＝OH，过点F作AB的垂线，垂足为点S，设点H的横坐标为t，﹣3＜t＜﹣1，线段BS的长为d，求d与t之间的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，B点关于y轴的对称点为C，连接AC，将线段OH绕点O顺时针旋转60°得到线段OE，点E恰好落在AC上，连接HC，点K是HC的中点，连接EK，当时，求△SHF的面积． 27．（2024秋•包河区月考）用描点法，列表画出函数y＝2x+4的图象，并利用图象解答下列问题： （1）求方程2x+4＝0的解； （2）求不等式2x+4＜0的解集． 28．（2023秋•麻栗坡县期末）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第6章《一次函数》章节总复习 （18个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：常量与变量 1 考点讲练2：函数的概念 2 考点讲练3：函数关系式 4 考点讲练4：函数自变量的取值范围 5 考点讲练5：函数值 6 考点讲练6：函数的表示方法 8 考点讲练7：一次函数的定义 10 考点讲练8：正比例函数的定义 11 考点讲练9：一次函数的性质 12 考点讲练10：待定系数法求一次函数解析式 14 考点讲练11：函数的图象 15 考点讲练12：一次函数的图象 18 考点讲练13：正比例函数的图象 19 考点讲练14：根据实际问题列一次函数关系式 22 考点讲练15：一次函数的应用 23 考点讲练16：一次函数与二元一次方程（组） 26 考点讲练17：一次函数与一元一次方程 28 考点讲练18：一次函数与一元一次不等式 30 中等题真题汇编练 31 培优题真题汇编练 42 考点讲练1：常量与变量 【精讲题】（2024秋•阜阳月考）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（　　） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 【思路点拨】根据变量和常量的定义解答即可． 【规范解答】解：∵长方形的面积始终不变为常量，长和宽的数值发生变化为变量， ∴常量为6，变量为x，y． 故选：D． 【考点评析】本题考查了常量与变量，解题的关键是根据变量和常量的定义来解答． 【举一反三1】（2024春•项城市校级期中）在中，常量和变量分别是（　　） A．常量是4；变量是v B．常量是；变量是v C．常量是3；变量是s，v D．常量是；变量是s，v 【思路点拨】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案． 【规范解答】解：在中，常量是；变量是s，v， 故选：D． 【考点评析】本题考查变量和常量的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【举一反三2】（2024春•招远市期末）一个人在生长期时，随着年龄的增加，身高往往也在增长，在这个变化的过程中，因变量是 　（一个人的）身高　． 【思路点拨】根据自变量与因变量的定义：自变量是会引起其他变量发生变化的变量，是被操纵的；因变量是由一些变量变化而被影响的量，是被测定或被记录的；据此判断即可． 【规范解答】解：∵随着年龄的增加，身高往往也在增长， ∴在这个变化的过程中自变量是年龄，因变量是身高． 故答案为：（一个人的）身高． 【考点评析】本题主要考查自变量与因变量，理解自变量以及因变量的定义是解决本题的关键． 考点讲练2：函数的概念 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【规范解答】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数； 而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数； 故选：C． 【考点评析】本题考查函数的概念，正确记忆相关知识点是解题关键． 【举一反三1】（2024春•新县期末）如图，下列各曲线中表示y是x的函数的有 　（1）　（填序号）． 【思路点拨】根据函数的定义解答即可． 【规范解答】解：（1）、能表示y是x的函数，故此选项符合题意； （2）、不能表示y是x的函数，故此选项不符合题意． 故答案为：（1）． 【考点评析】此题主要考查了函数概念，掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量是关键． 【举一反三2】（2023秋•朝阳区校级期末）如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d/厘米 20 21 22 23 身高h/厘米 160 169 178 187 某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 　24　厘米． 【思路点拨】首先根据表格数据得到d与h是一次函数关系，然后可设此函数解析式为h＝kd+b，利用待定系数法即可求出此函数解析式． 【规范解答】解：设此函数解析式为h＝kd+b， 依题意有， 解得， 故h与d之间的关系式为：h＝9d﹣20， 把h＝196代入可得：196＝9d﹣20， 解得：d＝24， 故答案为：24． 【考点评析】此题主要考查了函数的概念，掌握用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 考点讲练3：函数关系式 【精讲题】（2024秋•高碑店市月考）如图，矩形铁板的长为a，在左侧截掉一个最大的正方形．若剩余部分的周长为b，则a与b的关系为（　　） A．b＝2a B．b＝2a+2 C．b＝4a D．b＝4a﹣4 【思路点拨】设截掉的最大的正方形的边长为m，则余下部分的边长分别为m、（a﹣m），根据长方形周长公式把余下部分的周长表示出来并整理即可． 【规范解答】解：设截掉的最大的正方形的边长为m，则余下部分的边长分别为m、（a﹣m）， 根据题意，得2[m+（a﹣m）]＝b， 经整理，得2a＝b，即b＝2a． 故选：A． 【考点评析】本题考查函数关系式，掌握长方形的周长计算公式是解题的关键． 【举一反三1】（2024秋•延安月考）在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝2BC＝x，则△ABC的面积y与x之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D．y＝x2 【思路点拨】根据即可求解． 【规范解答】解：如图所示： ∵AB＝2BC＝x， ∴， 则， 故选：A． 【考点评析】本题考查了求函数解析式，能够找到三角形面积公式与函数关系式之间的关系是解题的关键． 【举一反三2】（2024秋•庐阳区校级月考）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为x厘米，相框内的空白部分面积是y平方厘米，则y与x之间的函数关系式为 　y＝4x2﹣100x+600　． 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，由题意得出相框内的空白部分的长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【规范解答】解：由题意，空白部分的长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm， ∴y＝（30﹣2x）（20﹣2x）＝600﹣60x﹣20x+4x2＝4x2﹣100x+600， ∴y＝4x2﹣100x+600． 故答案为：y＝4x2﹣100x+600． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并能读懂图形，列出关系式是关键． 考点讲练4：函数自变量的取值范围 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≤2且x≠﹣1 B．x≤2 C．x≠﹣1 D．﹣1＜x≤2 【思路点拨】分式的分母不能为0，二次根式中被开方数大于等于0，由此可解． 【规范解答】解：由题意知分式的分母不能为0，二次根式中被开方数大于等于0， ∴2﹣x≥0且x+1≠0， 即x≤2且x≠﹣1， 因此自变量x的取值范围是x≤2且x≠﹣1， 故选：A． 【考点评析】本题考查求函数自变量的取值范围，正确根据二次根式和分式的要求列式计算是解题关键． 【举一反三1】（2024秋•东莞市期中）在函数中，自变量x的取值范围是 　x≥2　． 【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【规范解答】解：由题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2． 【考点评析】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【举一反三2】（2024秋•南岗区校级月考）函数中，自变量x的取值范围是 　x≠9　． 【思路点拨】根据分式的分母不能为0进行列式、求解． 【规范解答】解：由题意得x﹣9≠0， 解得x≠9， 故答案为：x≠9． 【考点评析】此题考查了函数自变量取值范围的确定能力，关键是能准确理解并运用分式分母不能为0的知识． 考点讲练5：函数值 【精讲题】（2023秋•坡头区期末）规定：f（x）＝|x﹣2|，g（y）＝|y+3|．例如f（﹣4）＝|﹣4﹣2|，g（﹣4）＝|﹣4+3|．下列结论中，（1）若f（x）+g（y）＝0，则2x﹣3y＝13；②若x＜﹣3，则f（x）+g（x）＝﹣1﹣2x；③能使f（x）＝g（x）成立的x的值不存在；④式子f（x﹣1）+g（x+1）的最小值是7．其中正确的所有结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】根据定义对各语句进行计算、讨论、辨别． 【规范解答】解：∵f（x）+g（y）＝0，即|x﹣2|+|y+3|＝0时， 解得x＝2，y＝﹣3， ∴2x﹣3y＝2×2﹣3×（﹣3）＝13， ∴语句①表述符合题意； ∵若x＜﹣3， 则f（x）+g（x）＝|x﹣2|+|x+3|＝﹣x+2﹣x﹣3＝﹣1﹣2x ∴语句②表述符合题意； ∵当x＜﹣3时，若f（x）＝g（x），即﹣x+2＝﹣x﹣3，此时无解， 当﹣3≤x＜2时，若f（x）＝g（x），即﹣x+2＝x+3，解得x＝﹣， 当x≥2时，若f（x）＝g（x），即x﹣2＝x+3，此时无解， ∴语句③表述不符合题意； ∵由题意得，f（x﹣1）+g（x+1）＝|x﹣1﹣2|+|x+1+3|＝|x﹣3|+|x+4|， 当x＜﹣4时，f（x﹣1）+g（x+1）＝﹣x+3﹣x﹣4＝﹣2x﹣1＞7， 当﹣4≤x≤3时，f（x﹣1）+g（x+1）＝﹣x+3+x+4＝7， 当x＞3时，f（x﹣1）+g（x+1）＝x﹣3+x+4＝2x+1＞7， ∴语句④表述符合题意； 故选：B． 【考点评析】此题考查了运用绝对值的运算解决新定义方面的问题，关键是能准确理解题意，并能进行正确地列式、讨论和计算． 【举一反三1】（2024•弋江区校级开学）已知，若f（x）＝3，则x的值是（　　） A．1 B．1或 C．1，或 D． 【思路点拨】首先把函数值f（x）＝3分别代入函数解析式，建立方程，求出x的值，根据x的不同取值范围，求得答案即可． 【规范解答】解：①当x+2＝3， 解得x＝1 因为x≤﹣1，所以不成立； ②当x2＝3， 解得x＝±， 因为﹣1＜x＜2，所以只有成立； ③当2x＝3， 解得x＝， 因为x≥2，所以不成立． 综上可知，x的值只有． 故选：D． 【考点评析】此题考查利用函数值求得自变量的取值，注意分段函数自变量对应的取值范围． 【举一反三2】（2024秋•庐阳区校级月考）1﹣6个月的婴儿生长发育得很快，如果一个婴儿出生时的体重为3300克，那么他的体重y（克）和月龄x（月）之间的关系可以近似用y＝3300+700x来表示．当y的值为7500时，自变量x的值为 　6　． 【思路点拨】将x的值代入函数解析式计算即可． 【规范解答】解：当y＝7500时，7500＝3300+700x， 解得：x＝6． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键． 考点讲练6：函数的表示方法 【精讲题】（2024春•贵州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（　　） 温度（℃） ﹣10 0 10 20 30 … 声速（m/s） 324 330 336 342 348 A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为30°C时，声音5s可以传播1740m D．当温度升高到31°C时，声速为354m/s 【思路点拨】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．其定义是在一个变化过程种，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是因变量，也是函数． 【规范解答】解：A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，不符合题意； B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快，正确，不符合题意； C．当空气温度为30°C时，声音5s可以传播1740m，正确，不符合题意； D．当温度升高到40°C时，声速为354m/s，错误，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了函数的理解，函数的计算，读懂题意，正确处理信息是解题的关键． 【举一反三1】（2024春•栾城区期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）： 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 当空气温度为﹣10℃时，声音经过5s可以传播的路程是 　1620　米． 【思路点拨】根据表格求出即可空气温度为﹣10℃时的声速，再计算即可． 【规范解答】解：由表格可知，当空气温度为﹣10℃时，声速324m/s， ∴声音经过5s可以传播的路程是5×324＝1620米， 故答案为：1620． 【考点评析】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算声速是解题的关键． 【举一反三2】（2024春•丹东期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为人类了解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m•K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.55W/m•K，则温度为 　500℃　． 温度T（℃） 100 150 200 250 300 导热率K（W/m•K） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 【思路点拨】根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【规范解答】解：根据题意，温度每增加50℃，导热率增加0.05W/m•K， 所以（0.55÷0.05﹣1）×50＝500℃， 所以，当导热率为0.55W/m•K时，温度为500℃， 故答案为：500℃． 【考点评析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键． 考点讲练7：一次函数的定义 【精讲题】（2024秋•裕安区月考）在下列函数解析式中，①y＝kx；②y＝；③y＝x；④y＝x2﹣（x﹣1）（x+2）；⑤y＝4﹣x，一定是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】一次函数中自变量的系数不能为0，且自变量次数为1，据此对各个函数分析，得出正确答案． 【规范解答】解：①y＝kx，k＝0时不是一次函数； ②y＝是反比例函数； ③y＝x是一次函数； ④y＝x2﹣（x﹣1）（x+2）＝﹣x+2，是一次函数； ⑤y＝4﹣x是一次函数， 所以是一次函数的有3个． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了一次函数的知识，需结合一次函数的定义进行求解． 【举一反三1】（2024春•丰都县校级月考）若函数y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【思路点拨】由一次函数的定义可知|m|＝1且m+1≠0，从而可求得m的值． 【规范解答】解：∵y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数， ∴|m|＝1且m+1≠0， 解得m＝±1且m≠﹣1， ∴m＝1． 故选：A． 【考点评析】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键． 【举一反三2】（2024秋•雁塔区校级月考）已知y关于x的函数是一次函数，则m的值为 　﹣1　． 【思路点拨】根据一次函数的概念求解可得． 【规范解答】解：根据题意知m2＝1且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【考点评析】本题主要考查一次函数的定义，关键掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数． 考点讲练8：正比例函数的定义 【精讲题】（2024秋•皇姑区期中）若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（　　） A．±2 B．1 C．2 D．﹣2 【思路点拨】根据正比例函数的定义列式计算． 【规范解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数， ∴4﹣m2＝0，m﹣2≠0， 解得，m＝﹣2， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 【举一反三1】（2023秋•雅安期末）已知是x的正比例函数，则m＝ 　﹣3　． 【思路点拨】根据正比例函数的定义可得m﹣3≠0且m2﹣8＝1，从而可得答案． 【规范解答】解：由正比例函数的定义可得：m﹣3≠0且m2﹣8＝1， 则m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【考点评析】本题考查的是正比例函数的定义，正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 【举一反三2】（2023秋•渠县期末）若函数y＝﹣xa﹣3+b﹣1是关于x的正比例函数，则a+b的平方根为 　　． 【思路点拨】根据正比例函数的基本形式y＝kx（k为常数），求出a，b的值，再求平方根即可． 【规范解答】解：∵数y＝﹣xa﹣3+b﹣1是关于x的正比例函数， ∴a﹣3＝1，b﹣1＝0， ∴a＝4，b＝1， ∴a+b的平方根为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查正比例函数，平方根，掌握正比例函数的基本形式是解题的关键． 考点讲练9：一次函数的性质 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）下列有关一次函数y＝﹣2x﹣1的说法中，正确的是（　　） A．y的值随着x值的增大而增大 B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，1） C．当x＞0时，y＞﹣1 D．函数图象经过第二、三、四象限 【思路点拨】根据一次函数的增减性可判断A；令x＝0解方程可判断B；根据一次函数的增减性和与y轴的交点可判断C和D． 【规范解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，而不是y的值随着x值的增大而增大，故不正确，不符合题意； B、∵当x＝0时，y＝﹣1，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），故不正确，不符合题意； C、∵y的值随着x增大而减小，函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），∴当x＞0时，y＜﹣1，故不正确，不符合题意； D、∵y的值随着x增大而减小，函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），∴图象经过第二、三、四象限，故正确，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，解答的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【举一反三1】（2024春•洪山区期末）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{4，3}＝4，max{﹣6，2}＝2．若关于x的函数为y＝max{x+7，﹣x+3}，则该函数的最小值是（　　） A．﹣2 B．0 C．5 D．7 【思路点拨】联立y＝x+7与y＝﹣x+3成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值． 【规范解答】解：联立y＝x+7与y＝﹣x+3得， 解得， 当x≥﹣2时，x+7≥﹣x+3， ∴y＝max{x+7，﹣x+3}＝x+7≥﹣2+7＝5； 当x＜﹣2时，x+7＜﹣x+3， ∴y＝max{x+7，﹣x+3}＝﹣x+3＞﹣（﹣2）+3＝5； 综上可知，该函数的最小值是5， 故选：C． 【考点评析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 【举一反三2】（2024•南岸区校级开学）直线y＝kx+2与y轴，直线y＝﹣1围成的三角形的面积为5，则k的值为 　　． 【思路点拨】根据围成的三角形的面积得出直线y＝kx+2与直线y＝﹣1的交点坐标，据此得出关于k的等式即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 直线y＝kx+2与y轴的交点坐标为（0，2）， 又因为直线y＝﹣1与y轴垂直， 所以围成的三角形是直角三角形，且有一条直角边为3． 令另一条直角边的长为m， 则， 解得m＝， 所以直线y＝kx+2与直线y＝﹣1的交点坐标为（，﹣1）或（）． 将（，﹣1）代入y＝kx+2得， ， 解得k＝． 将（）代入y＝kx+2得， ， 解得k＝﹣． 综上所述，k的值为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 考点讲练10：待定系数法求一次函数解析式 【精讲题】（2024秋•资中县校级月考）如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣x+3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x﹣3 【思路点拨】根据正比例函数图象确定B点坐标，再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出． 【规范解答】解：∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1， ∴y＝2×1＝2， ∴B（1，2）， 设一次函数解析式为：y＝kx+b， 可得出方程组 ， 解得 ， 则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3， 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式． 【举一反三1】（2023秋•沭阳县校级月考）一次函数y＝kx+b，当﹣2≤x≤2时﹣3≤y≤5，则kb＝　2或﹣2　． 【思路点拨】根据一次函数的增减性分以下两种情况讨论，①k＞0时，y随x的增大而增大，②k＞0时，y随x的增大而减小，根据增减性得到一次函数图象所过点的情况，将点代入y＝kx+b中，求出k，b的值，即可解题． 【规范解答】解：∵一次函数y＝kx+b，当﹣2≤x≤2时﹣3≤y≤5， 下面两种情况讨论： ①当k＞0时，y随x的增大而增大， 即x＝﹣2时，y＝﹣3，x＝2时，y＝5， ∴，解得， ∴kb＝2×1＝2； ①当k＜0时，y随x的增大而减小， 即x＝﹣2时，y＝5，x＝2时，y＝﹣3， ∴，解得， ∴kb＝（﹣2）×1＝﹣2； 即kb＝2或﹣2． 故答案为：2或﹣2． 【考点评析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握以上知识解题的关键． 【举一反三2】（2023秋•丹阳市期末）一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝　﹣6　． 【思路点拨】因为一次函数的图象经过点（﹣1，3），所以（﹣1，3）能使y＝kx﹣3左右相等，把点的坐标代入函数关系式可以求得k的值． 【规范解答】解；把（﹣1，3）代入y＝kx﹣3中， k•（﹣1）﹣3＝3， 解得：k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【考点评析】此题主要考查了待定系数法求函数关系式，是一个常规题，比较基础． 考点讲练11：函数的图象 【精讲题】（2024秋•包河区月考）甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60km/h的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为s（km），甲车行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车；②乙车行驶的速度是90km/h；③A、B两地相距450km；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车1小时行驶的路程为60km，由此即可判断①；根据在乙出发2h后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发6小时后到达B地，求出两地的距离即可判断③；根据乙到达B地时，甲距离B地还有90km，求出甲车比乙车晚到的时间，即可判断④． 【规范解答】解：∵甲车的速度为60km/h， ∴甲车先出发1h， ∵甲出发3h后，乙追上甲， ∴甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车，故①正确； 乙车的速度为：，故②正确； 根据图可知，乙出发后6﹣1＝5（h），到达B点， ∴A，B两地相距90×5＝450（km），故③正确； 根据图可知，乙车到达B地时，甲车距离B地还有90km， ∴甲车比乙车晚到的时间为：，故④正确； 所以正确的有4个， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． 【举一反三1】（2024秋•阜阳月考）某次航展中，歼20模型飞机在某60s内飞行的高度h（m）与时间t（s）之间的关系大致如图所示．下列结论错误的是（　　） A．在0≤t≤60范围内，飞机高度有两次180m B．在30＜t≤41范围内，飞机高度在不断下降 C．在30＜t≤60范围内，飞机高度有四次600m D．在0≤t≤60范围内，飞机有二次连续攀升 【思路点拨】根据某一分钟内歼20模型飞机高度h（m）与时间t（s）之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 【规范解答】解：A、由图象可知，在0≤t≤60范围内，飞机高度有两次180m， 故该选项正确，不符合题意； B、由图象可知，在30＜t≤41范围内，图象呈下降趋势，高度h随时间t的增大而减小， ∴飞机高度在不断下降，故该选项正确，不符合题意； C、在30＜t≤60范围内，飞机高度有三次600m， 故该选项不正确，符合题意； D、在0≤t≤60范围内，飞机有二次连续攀升， 故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了函数的图象，解题的关键是数形结合． 【举一反三2】（2024秋•赤峰月考）甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发30秒，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲跑步时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙的速度为 　3　米/秒． 【思路点拨】由已知可知甲30分钟走了75米，速度为米/秒，乙用180﹣30＝150秒走了同样的路程米，求出乙的速度． 【规范解答】解：甲的速度：（米/秒）， 乙的速度：（米/秒）． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了函数图象，关键是由函数图象信息得出两人运动的时间和路程． 考点讲练12：一次函数的图象 【精讲题】（2024春•吴忠期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 　x＜2　． 【思路点拨】观察函数图象可知y随x的增大而增大，结合一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标，即可求出当y＜0时x的取值范围． 【规范解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（2，0），且y随x的增大而增大， ∴当y＜0时，x＜2． 故答案为：x＜2． 【考点评析】本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出y随x的增大而增大是解题的关键． 【举一反三1】（2024春•大足区期末）如图，一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象与x轴交于点（2，0），那么使y＞0成立的x的取值范围为 　x＜2　． 【思路点拨】观察函数图象，即可得出结论． 【规范解答】解：观察函数图象，可知：当x＜2时，y＞0， ∴使y＞0成立的x的取值范围为x＜2． 故答案为：x＜2． 【考点评析】本题考查了一次函数图象，观察函数图象，找出使y＞0成立的x的取值范围是解题的关键． 【举一反三2】（2024秋•阜阳月考）一次函数y＝ax+b和y＝bx+a（a，b为常数且a≠b）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断． 【规范解答】解：A、若a＞0，b＞0，则直线y＝ax+b与y＝bx+a都经过一、二、三象限，故选项错误； B、若a＞0，b＜0，则直线y＝bx+a经过一、二、四象限，直线y＝ax+b经过一、三、四象限，故选项正确； C、若a＜0，b＞0，则直线y＝ax+b经过一、二、四象限，直线y＝bx+a经过一、三、四象限，故选项错误； D、若a＜0，b＜0，则直线y＝ax+b与y＝bx+a都经过二、三、四象限，故选项错误． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 考点讲练13：正比例函数的图象 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）一次函数y1＝ax+b（a，b是常数）与y2＝﹣abx（a、b是常数且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y1＝ax+b图象分析可得a、b的符号，进而可得﹣ab的符号，从而判断y2＝﹣abx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【规范解答】解：A、由图象可知a＜0，b＞0， ∴﹣ab＞0， 由正比例函数y2＝﹣abx经过二四象限，则﹣ab＜0，矛盾，不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知a＞0，b＞0， ∴﹣ab＜0， 由正比例函数经过二四象限，则﹣ab＜0，正确，符合题意； C、由一次函数图象可知a＞0，b＜0， ∴﹣ab＞0， 由正比例函数经过二四象限，则﹣ab＜0，矛盾，不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，不正确，不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数与其系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 【举一反三1】（2024•霍山县三模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k（k为常数，k＜0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据k＜0判断正比例函数的图象和一次函数图象即可． 【规范解答】解：∵y＝kx和y＝x+k（k为常数，k＜0）， ∴函数y＝kx经过二、四象限，一次函数y＝x+k的图象经过一，三、四，故A、B、C不合题意， D选项符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数y＝kx+b的性质是解题的关键． 【举一反三2】（2023秋•秦都区校级期中）已知y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数．若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在该函数图象上，则y1　＞　y2．（用“＞”“＜”或“＝”填空） 【思路点拨】依据题意，先由y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数，求出k＝﹣1，从而k﹣1＝﹣2，再利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，最后结合﹣2＜1，即可得出y1＞y2． 【规范解答】解：∵y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数， ∴|k|＝1，且k≠1． ∴k＝﹣1． ∴k﹣1＝﹣2＜0． ∴正比例函数y＝﹣2x的函数值y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在正比例函数y＝﹣2x的图象上，且﹣2＜1， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【考点评析】本题主要考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 考点讲练14：根据实际问题列一次函数关系式 【精讲题】（2024春•鹤山市期末）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂1kg重物后，弹簧伸长2cm，弹簧总长为y（单位：cm）随所挂重物x（单位：kg）变化的函数解析式为 　y＝2x+12　． 【思路点拨】弹簧总长＝弹簧原来的长度+挂上xkg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【规范解答】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm， ∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长2x cm， ∴弹簧总长y＝2x+12． 故答案为：y＝2x+12． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键． 【举一反三1】（2024春•兴宁市期末）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝　20﹣4t　（0≤t≤5）． 【思路点拨】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则t小时燃掉4t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度． 【规范解答】解：∵蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米， ∴t小时燃掉4t厘米， 由题意知：h＝20﹣4t． 【考点评析】根据实际问题列一次函数关系式，与根据实际问题列方程解应用题具有共性，即都需要确定等量关系，不同点是函数关系是两个变量，而方程一般是一个未知数． 【举一反三2】（2024春•裕华区校级期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，则下列y与x的关系式及自变量x的取值范围中，正确的是（　　） A．y＝36﹣x（0＜x＜36） B．y＝36﹣x（O＜x＜18） C．y＝36﹣2x（0＜x＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18） 【思路点拨】根据：底边长+两腰长＝周长，建立等量关系，变形可得y与x的关系式，根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 【规范解答】解：由题意得，2x+y＝36， 则y＝36﹣2x， 根据三角形的三边关系可得：， 解得：9＜x＜18． 综上可得：y＝36﹣2x（9＜x＜18）． 故选：D． 【考点评析】本题考查了根据实际问题抽象一次函数关系式，解答本题的关键是根据等腰三角形的周长表达式得出等式，熟练掌握三角形的三边关系． 考点讲练15：一次函数的应用 【精讲题】（2024秋•霍邱县月考）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行6km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】根据函数图象逐一进行分析求解即可． 【规范解答】解：当t＝0时，S＝10，则有A，B村庄相距10km，结论①正确； 当t＝1.25h，甲、乙相距0km， 此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度，当t＝2h时，甲到达乙村，则结论②正确； 设甲，乙的速度分别为V甲，V乙， ∴V甲×1.25﹣V乙×1.25＝10， ∴V甲﹣V乙＝8，则结论③错误； ∵乙的速度为，甲的速度为12+8＝20（km/h）， 当1.25≤t≤2时，函数点（1.25，0），（2，6）， 设此段函数为s＝kt+b， ∴， ∴， ∴s＝8t﹣10， 当s＝4时，8t﹣10＝4， 解得t＝1.75， ∴1.75﹣1.25＝0.5（h）＝30min， 当2≤t≤2.5时，函数过（2，6），（2.5，0）， 设此段函数为s＝mt+n， ∴， 解得：， ∴此段函数为s＝﹣12t+30， 当s＝4时，﹣12t+30＝4， 解得， ∴， 故相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km，故④正确， 故选：C． 【考点评析】本题考查了函数图象，一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，读懂函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． 【举一反三1】（2024•港南区二模）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．a＝15 B．小明的速度是150米/分钟 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D．爸爸出发7分钟追上小明 【思路点拨】由图象可得a的值；根据小明的路程和时间可得速度；设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，列一元一次方程可求解；根据追及问题中相距路程÷速度差＝时间可得答案． 【规范解答】解：线段BC是爸爸买水果的时间5分钟，a＝10+5＝15，故A不符合题意； 由图象可得小明的速度是3300÷（20+2）＝150（米/分钟），故B不符合题意； 设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，则从商店到学校的速度是（x+60）米/分钟， 依题意得，10x+（20﹣15）（x+60）＝3300， 解得x＝200， 所以爸爸从家到商店的速度是200米/分钟，故C不符合题意； 爸爸追上小明得时间是150×2÷（200﹣150）＝6（分钟），故D符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查了一次函数的实际应用和行程问题的数量关系，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时合理运用行程问题的数量关系求解是关键． 【举一反三2】（2024秋•阜阳月考）明明和亮亮家住在同一栋楼，星期天相约到新华书店看书．明明步行一段时间后，亮亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（m）与明明出发时间t（min）之间的函数关系如图所示． （1）明明步行的速度为　80　m/min； （2）图中a的值为　20　． 【思路点拨】根据图象，先求出两人的速度，即可求出学校到青少年宫的距离，然后用这个距离减去明明走的路程即得答案． 【规范解答】解：由题意可知：明明先出发9分钟，两人相距720米，此时亮亮出发， ∴明明步行的速度为：720÷9＝80（米/分）， 12﹣9＝3（分钟） 亮亮出发后用了3分钟追上明明， ∴亮亮的速度是（米/分）， 亮亮先到青少年宫，共用时14﹣9＝5分钟，骑行了320×5＝1600米， ∴明明到终点的时间为：1600÷80＝20（秒）； 故答案为：80，20． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，读懂图象提供的信息、得到解题所需要的条件是关键． 考点讲练16：一次函数与二元一次方程（组） 【精讲题】（2024秋•历下区校级月考）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），则方程组的解是 　　． 【思路点拨】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案． 【规范解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝2x的图象的交点是（1，2）， ∴方程组，的解为． 故答案为：．． 【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【举一反三1】（2023秋•滕州市期末）函数y＝x﹣5与y＝kx+b的图象如图所示，两图象交点的横坐标为4，则二元一次方程组的解是 　　． 【思路点拨】根据函数图象交点坐标是二元一次方程组的解，即可得答案． 【规范解答】解：∵两图象交点的横坐标为4， ∴交点的纵坐标坐标是：4﹣5＝﹣1， ∴的解为：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握函数图象交点坐标是二元一次方程组的解． 【举一反三2】（2024春•乾安县期末）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣4，﹣2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【规范解答】解：函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2）， 即x＝﹣4，y＝﹣2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解是． 故选：A． 【考点评析】考查了一次函数与二元一次方程（组）方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 考点讲练17：一次函数与一元一次方程 【精讲题】（2024春•巨野县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论： ①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2； ②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0； ③当x＞2时，y＜0； ④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【思路点拨】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【规范解答】解：由图象得：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，正确； ②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，正确； ③当x＞2时，y＜0，正确； ④当x＜0时，y＞3，错误； 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 【举一反三1】（2024•凌河区校级一模）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0；④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对④进行判断． 【规范解答】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0，所以①③正确； ∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴a＜0，所以②错误； ∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3， ∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确． 综上所述，错误的个数是1． 故选：A． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【举一反三2】（2024春•伊犁州期末）如图，函数y＝kx﹣1的图象过点（1，2），则关于x的方程kx﹣1＝2的解是 　x＝1　． 【思路点拨】由函数y＝kx﹣1的图象过点（1，2）可知x＝1时，kx﹣1＝2，即可得到关于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1． 【规范解答】解：由图象可得：关于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1； 故答案为：x＝1． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 考点讲练18：一次函数与一元一次不等式 【精讲题】（2024•龙岗区三模）如图，已知函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3的解集是 　x≤4　． 【思路点拨】直线y＝ax+b落在直线y＝kx﹣3下方的部分对应的x的取值范围即为所求． 【规范解答】解：∵函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6）， ∴不等式ax+b≤kx﹣3的解集是x≤4． 故答案为x≤4． 【考点评析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 【举一反三1】（2023秋•常州期末）如图，点A（﹣1，2）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，则不等式kx+b＞2的解集是 　x＜﹣1　． 【思路点拨】观察函数图象即可求解． 【规范解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＞2， 所以不等式kx+b＞2的解集为x＜﹣1， 故答案为：x＜﹣1． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【举一反三2】（2024秋•包河区月考）如图所示，直线y＝kx+b与x轴交于点A（2，0），下列判断正确的是（　　） A．k＜0 B．b＞0 C．k+b＜0 D．2k+b＞0 【思路点拨】直线y＝kx+b经过一、三、四象限，可得k＞0，b＜0，据此推理判断即可． 【规范解答】解：直线y＝kx+b经过一、三、四象限， 根据一次函数的性质可知k＞0，b＜0， 故选项A、B错误； 由直线y＝kx+b与x轴交于点A（2，0）得， 2k+b＝0，故D错误； 故k+b＝﹣k＜0，故C正确； 故选：C． 【考点评析】本题考查了一次函数的图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 中等题真题汇编练 1．（2024•甘州区三模）如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（　　） A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x＞1 C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大 D．关于x，y的方程组 的解是 【思路点拨】根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2）， ∴关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x≥1，选项B判断错误，符合题意； 当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，选项C判断正确，符合题意； 关于x，y的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键． 2．（2024•振兴区校级三模）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与直线y＝﹣2x+3平行 D．y随x的增大而增大 【思路点拨】根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【规范解答】解：A、当x＝﹣2，y＝﹣2x+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则点（﹣2，1）不在函数y＝﹣2x+1图象上，故本选项错误； B、由于k＝﹣2＜0，则函数y＝﹣2x+1的图象必过第二、四象限，b＝1＞0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误； C、由于直线y＝﹣2x+1与直线y＝﹣2x+3的倾斜角相等且与y轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确； D、由于k＝﹣2＜0，则y随x增大而减小，故本选项错误； 故选：C． 【考点评析】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x的上方；当b＝0，图象经过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x的下方． 3．（2024秋•濉溪县校级月考）下列函数（1）y＝﹣x；（2）y＝5x+2；（3）；（4）y＝x2﹣4中，是正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据正比例的定义进行解答． 【规范解答】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，故正确； （2）y＝5x+2是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）y＝x2﹣4的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 【考点评析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0）是解题的关键． 4．（2024春•涿州市期末）已知直线y＝﹣3x+m过点A（﹣1，y1）和点（﹣3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【思路点拨】根据一次函数图象的性质进行判断． 【规范解答】解：∵﹣3＜0， ∴y＝﹣3x+m的图象随着x的增大而减小． ∵﹣3＜﹣1， ∴y2＞y1． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解决本题的关键． 5．（2024秋•雁塔区校级月考）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数的定义，判断解答即可． 【规范解答】解：A、对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故A不符合题意； B、对于x的每一个值，y有唯一的值与之对应，故B不符合题意； C、对于x的每一个值，y都有两个值与之对应，故C符合题意； D、对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故D不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了函数的定义的理解，正确理解定义中的一一对应原则是解题的关键． 6．（2024•湖北模拟）函数y＝中自变量x的取值范围是 　x≥0且x≠2　． 【思路点拨】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【规范解答】解：由题意得，x≥0且x﹣2≠0， 解得x≥0且x≠2． 故答案为：x≥0且x≠2． 【考点评析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 7．（2024秋•杏花岭区校级月考）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：根据表中的数据，Q与t之间的关系式为 　Q＝100﹣6t　． 汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 … 油箱剩余油量Q（升） 100 94 88 82 … 【思路点拨】根据表中的数据得出，开始油箱中的油为100升，每行驶1小时，油量减少6升，据此得出Q与t之间的关系式． 【规范解答】解：由表得，开始油箱中的油为100升，每行驶1小时，油量减少6升， ∴Q与t之间的关系式为：Q＝100﹣6t； 故答案为：Q＝100﹣6t． 【考点评析】本题考查了列函数关系式，正确理解题意、读懂表格是解题的关键． 8．（2024秋•碑林区校级月考）某公司要印制新产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．图中l1，l2分别表示两家印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系． （1）表示甲厂收费与印制数量之间关系的直线是　l1　（填“l1”或“l2”）； （2）分别求出甲，乙两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； （3）某厂商拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？能多印多少份？ 【思路点拨】（1）根据收1500元制版费直接结合图形判断即可得到答案； （2）分别设出解析式，结合图象点代入求解即可得到答案； （3）将3000代入两个解析式求解比较即可得到答案； 【规范解答】解：（1）由题意可得，甲厂：y＝x+1500，乙厂：y＝2.5x， ∵甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费， ∴当x＝0时，y＝1500， 故直线l1表示甲厂收费与印制数量之间关系， 故答案为：l1； （2）设l1的解析式为y甲＝k1x+b，l2的解析式为y乙＝k2x， 将点（0，1500），（1000，2500）代入y甲＝k1x+b，1000，2500）代入y乙＝k2x得， ，1000k2＝2500， 解得，k2＝2.5， ∴y甲＝x+1500（x≥0，且取整数），y乙＝2.5x（x≥0，且取整数）； （3）当y甲＝3000时， x+1500＝3000， 解得x＝1500， 当y乙＝3000时， 2.5x＝3000， 解得x＝1200， ∵1500＞1200， ∴1500﹣1200＝300（份）， ∴能多印300份． 【考点评析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，结合题目要求代入计算． 9．（2024•市中区校级模拟）如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　． 【思路点拨】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x+1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【规范解答】解：∵直线y＝3x+1经过点P（1，b）， ∴b＝3+1， 解得b＝4， ∴P（1，4）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 10．（2024•红旗区校级四模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥2且x≠4　． 【思路点拨】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可． 【规范解答】解：根据题意得， 解得x≥2且x≠4， ∴自变量x的取值范围是x≥2且x≠4， 故答案为x≥2且x≠4． 【考点评析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0． 11．（2024秋•通州区校级月考）如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． （1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y关于x的函数关系式； （2）上述函数是什么函数？ （3）并写出自变量x的取值范围； （4）当x＝9时，所围苗圃的面积是多少？ 【思路点拨】（1）篱笆只有两边，且其和为18，设一边为x，则另一边为（18﹣x），根据公式表示面积求解即可； （2）根据二次函数定义可得答案； （3）根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可； （4）把x＝9代入解析式计算即可． 【规范解答】解：（1）由已知，矩形的另一边长为（18﹣x）m， 则y＝x（18﹣x）＝﹣x2+18x， 即y＝﹣x2+18x； （2）y＝﹣x2+18x是二次函数； （3）根据实际意义，得， 解得：0＜x＜18， ∴自变量x的取值范围为0＜x＜18； （4）把x＝9代入y＝﹣x2+18x， 得y＝﹣92+18×9＝81， 答：当x＝9时，所围苗圃的面积是81m2． 【考点评析】本题考查了函数关系式，函数的概念和函数自变量的取值范围，根据题意求出二次函数解析式是解题的关键． 12．（2024秋•包河区月考）某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人50元；超过20人的，超过的部分，每人40元． （1）写出门票收费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式； （2）701班班主任带领45名学生去该风景区游览，购买门票共需要多少元？ 【思路点拨】（1）根据题意，分两种情况：当0≤x≤20时或当x＞20时求解析式即可； （2）当x＝46时，x＞20，所以代入第二个解析式求得y的值即是所求． 【规范解答】解：（1）当0≤x≤20时，y＝50x； 当x＞20时，y＝40x+200（其中x是整数）， 综上所述，y与x的关系式为； （2）老师和学生的总人数为：45+1＝46（人）， 当x＝46时， y＝40x+200＝40×46+200＝2040（元）． 答：购买门票共需要2040元． 【考点评析】此题主要考查了一次函数的应用，理解题意求出一次函数解析式是解题的关键． 13．（2024春•北海期末）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示． （1）小明从家跑步去体育场用了 　15　min，体育馆距离家有 　2.5　km． （2）文具店离体育馆多远？小明在文具店停留了多久？ （3）小明从家到文具店的平均速度是多少？ 【思路点拨】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）求出小明从家到体育场再到文具店的路程，再除以时间即可求解． 【规范解答】解：（1）由函数图象可得，小明从家跑步去体育场用了15min，体育馆距离家有2.5km， 故答案为：15，2.5； （2）由图象可得，文具店离体育馆2.5﹣1.5＝1km， 小明在文具店停留了65﹣45＝20min； （3）小明从家到体育场再到文具店的路程为2.5+1＝3.5km＝3500m， ∴小明从家到文具店的平均速度为． 【考点评析】本题考查了函数的图象，看懂函数图象是解题的关键． 14．（2024秋•金安区校级月考）五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额W（元）最少？ （3）在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的m%（m为正整数）捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 【思路点拨】（1）分0≤x≤50及x＞50两种情况，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式； （2）分0≤x≤50及x＞50两种情况，找出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （3）根据捐赠后总利润不低于256元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，0），（40，240）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴当0≤x≤50时，y与x的函数关系式为y＝6x； 当x＝50时，y＝6×50＝300． 当x＞50时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将（50，300），（70，380）代入y＝mx+n得：， 解得：， ∴当x＞50时，y与x的函数关系式为y＝4x+100． 综上所述，y与x的函数关系式为y＝； （2）∵小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克， ∴购进羊角蜜不少于40千克，又不超过55千克． 当40≤x≤50时，W＝6x+5（100﹣x）， 即W＝x+500， ∵1＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝40时，W取得最小值，最小值为40+500＝540，此时100﹣x＝100﹣40＝60； 当50＜x≤55时，W＝4x+100+5（100﹣x）， 即W＝﹣x+600， ∵﹣1＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x＝55时，W取得最小值，最小值为﹣55+600＝545，此时100﹣x＝100﹣55＝45． ∵540＜545， ∴当购进60千克圣女果、40千克羊角蜜时，小明付款总金额W（元）最少； （3）根据题意得：（7×60+10×40﹣540）（1﹣m%）≥256， 解得：m≤， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为8． 答：m的最大值为8． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y与x的函数关系式；（2）分0≤x≤50及x＞50两种情况，找出W关于x的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 培优题真题汇编练 15．（2024秋•松江区校级月考）如果y＝kx+2k+x是关于x的正比例函数，则k的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【思路点拨】根据正比例函数的定义，求出k的值即可． 【规范解答】解：∵函数y＝kx+2k+x＝（k+1）x+2k是正比例函数， ∴k+1≠0，2k＝0， ∴k＝0， 故选：C． 【考点评析】本题考查的是正比例函数的定义，一般地形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数． 16．（2024春•鼓楼区校级期中）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0，②ab＜0；③y1随x的增大而增大；④当x＜3时，y1＞y2；⑤3k+b＝3+a．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据一次函数y1＝kx+b，y2＝x+a的图象及性质逐一分析可得答案． 【规范解答】解：根据图象y1＝kx+b经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， y2＝x+a经过第一、三、四象限， ∴a＜0， ∴ab＜0，y1随x的增大而减小，故①②正确，③错误； 当x＜3时，图象y1在y2的上方， 所以：当x＜3．y1＞y2，故④正确． 当x＝3时，y1＝y2， ∴3k+b＝3+a，故⑤正确； 所以正确的有①②④⑤共4个． 故选：D． 【考点评析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与不等式的关系． 17．（2024秋•霍邱县月考）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx﹣3和y2＝n（x﹣4）+2，（n≠0），无论x取何值，始终有y2＞y1，则n的取值范围为（　　） A．且n≠0 B． C．且n≠0 D． 【思路点拨】根据题意得两直线平行，且对任何x的值，直线y2＝n（x﹣4）+2在直线y1＝kx﹣3上方，取一个自变量的特殊值，得到对应的函数值关系，则可确定n的范围． 【规范解答】解：由题意知，两直线必平行； ∵直线y2＝n（x﹣4）+2在直线y1＝kx﹣3上方， 不妨取x＝0，则y2＝﹣4n+2，y1＝﹣3， ∴﹣4n+2＞﹣3， ∴且n≠0； 故选：A． 【考点评析】本题是一次函数综合问题，考查了一次函数的图象与性质，解一元一次不等式；充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键． 18．（2024•埇桥区校级二模）如图，一次函数y＝m2x+4m（m是常数且m≠0）与一次函数y＝4mx+m2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】求得令直线交点的横坐标，即可排除C、D，然后根据一次函数的图象和性质即可排除B． 【规范解答】解：令m2x+4m＝4mx+m2，整理得m（m﹣4）（x﹣1）＝0， ∵m≠0，m≠4， ∴x＝1， ∴一次函数y＝m2x+4m（m是常数且m≠0）与一次函数y＝4mx+m2的图象的交点的横坐标为1， 故C、D不合题意， 当m＞0时，一次函数y＝m2x+4m的图象过一、二、三象限，一次函数y＝4mx+m2的图象过一、二、三象限， 当m＜0时，一次函数y＝m2x+4m的图象过一、三、四象限，一次函数y＝4mx+m2的图象过一、二、四象限， 故A符合题意，B不合题意， 故选：A． 【考点评析】本题考查一次函数的图象，解题关键是掌握一次函数图象及一次函数图象与系数的关系． 19．（2023秋•麻栗坡县期末）下列图象不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数的定义“在某一变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，则y是x的函数”，否则就不是函数关系，由此即可得出答案． 【规范解答】解：选项A，B，C中，在左右平移y轴时与函数图象且只有一个交点， ∴选项A，B，C符合函数的定义； 对于选项D，当平移y轴到点P时，与函数的图象有三个交点，如图所示： ∴当x取点P点的值时，y有三个对应值， ∴选项D中的图象不符合函数的定义，不能表示y是x的函数， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了函数的定义，理解函数的定义“在某一变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，则y是x的函数，x是自变量”是解决问题的关键． 20．（2024秋•阜阳月考）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款 　260　元． 【思路点拨】根据题意求出x＞10时与y与x之间的函数关系式，再把x＝30代入计算可得答案． 【规范解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（x＞0）， 则， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝8x+20， 当x＝30时，y＝30×8+20＝260， ∴小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款260元， 故答案为：260． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 21．（2024秋•霍邱县月考）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与y轴的交点坐标为（0，﹣3），此一次函数的表达式可以为　y＝x﹣3（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据一次函数增减性，与y轴的交点坐标，确定一次函数的k，b的值即可． 【规范解答】解：由题意可知：y随x的增大而增大， ∴k＞0，可取k＝1， ∵与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， ∴y＝x﹣3， 故答案为：y＝x﹣3（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查了一次函数图象和性质及与y轴的交点问题．熟练掌握一次函数的增减性质是解题关键． 22．（2024秋•庐阳区校级月考）如图1，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”．已知桌面AB的长为1600cm，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为x s，木块Q与小球P之间的距离为y cm，图2是y与x的部分图象． （1）小球P的运动速度为 　100　cm/s． （2）t的值为 　18.75　． 【思路点拨】（1）依据题意，由图2可知，小球P从点A出发，正好到达点B处时，从而所用的时间为16s，进而可得小球P的运动速度； （2）依据题意，木块Q的运动速度为[1600﹣（20﹣16）×100]÷20＝60（cm/s），又当x＝t时，y＝200，再结合16＜t＜20，进而可以判断得解． 【规范解答】解：（1）由图2可知，小球P从点A出发，正好到达点B处时，所 用的时间为16s， ∴小球P的运动速度为 1600÷16＝100（cm/s）． （2）木块Q的运动速度为[1600﹣（20﹣16）×100]÷20＝60（cm/s）． 当x＝t时，y＝200． 又∵16＜t＜20， ∴100（t﹣16）+60t＝1600﹣200，解得 t＝18.75． 【考点评析】本题主要考查了函数的图象的应用，解题时要熟练掌握并能结合图象分析是关键． 23．（2024秋•灞桥区校级月考）如图，函数y＝kx﹣1的图象过点（1，3），则关于x的方程kx﹣1＝2的解是 　x＝1　． 【思路点拨】由函数y＝kx﹣1的图象过点（1，3）可知x＝1时，kx﹣1＝3，即可得到关于x的方程kx﹣1＝3的解是x＝1． 【规范解答】解：由图象可得：关于x的方程kx﹣1＝3的解是x＝1； 故答案为：x＝1． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 24．（2024秋•岳麓区校级月考）如图，直线y1＝mx，y2＝kx+b交于点P（2，1），则关于x的不等式kx+b＞mx的解集为 　x＜2　． 【思路点拨】结合函数图象，写出直线y1在直线y2下方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】解：∵直线y1＝mx，y2＝kx+b交于点P（2，1）， ∴当x＜2时，kx+b＞mx， 即关于x的不等式kx+b＞mx的解集为x＜2． 故答案为：x＜2． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小． 25．（2024秋•宝安区校级月考）甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）b＝ 　30　米； （2）甲登山的速度是 　10　米/分； （3）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？ 【思路点拨】（1）根据图象直接得到答案； （2）结合函数图象，根据路程除以速度即可求解； （3）求出甲登山速度，由此求出乙登山的函数解析式，列方程当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得，当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，当300﹣（10x+100）＝70时，解方程即可． 【规范解答】解：（1）由图象可得：b＝15÷1×2 ＝15×2 ＝30（米）， 故答案为：30； （2）甲登山的速度＝（300﹣100）÷20 ＝200÷20 ＝10（米/分）， 故答案为：10； （3）当0≤x≤2时，y＝15x； 当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2） ＝30+30（x﹣2） ＝30+30x﹣60 ＝30x﹣30， 当y＝300时， 即30x﹣30＝300， 解得：x＝11． 甲登山的速度是10米/分，登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0⩽x⩽20）， 当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3； 当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10； 当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13． ∴登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为70米． 【考点评析】此题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 26．（2024秋•南岗区校级月考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+6k交x轴于点B，交y轴于点A，AB＝2AO． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点H在AB上，点F在OB上，连接FH、OH，且FH＝OH，过点F作AB的垂线，垂足为点S，设点H的横坐标为t，﹣3＜t＜﹣1，线段BS的长为d，求d与t之间的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，B点关于y轴的对称点为C，连接AC，将线段OH绕点O顺时针旋转60°得到线段OE，点E恰好落在AC上，连接HC，点K是HC的中点，连接EK，当时，求△SHF的面积． 【思路点拨】（1）分别令x＝0，y＝0，可用k表示OA＝6k，根据AB＝2AO，利用勾股定理列方程求出k值即可； （2）根据AB＝2AO，利用∠AOB的正弦函数值得出∠ABO＝30°，过点H作HD⊥x轴于D，HG⊥y轴于G，根据含30°角的直角三角形的性质及等腰三角形“三线合一”的性质，用t表示出FS、BF，利用勾股定理表示出BS即可得答案； （3）过点H作HM⊥y轴于M，连接OK并延长，交AC于L，连接EK，根据旋转的性质及轴对称的性质得出△AOL是等边三角形，OH＝OE，∠HOE＝60°，根据中位线的性质得出OL＝CL，AM＝KL，利用SAS证明△AOH≌△LOE得出AH＝EL，利用SAS证明△AHM≌△LEK，得出EK＝HM＝﹣t，∠EKL＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质得出，即可求出，根据 列方程求出t值，利用三角形面积公式即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵直线y＝kx+6k交x轴于点B，交y轴于点A， ∴当x＝0时，y＝6k， 当y＝0时，kx+6k＝0， 解得：x＝﹣6， ∴OA＝6k，OB＝6， ∵AB＝2AO， ∴（12k）2＝（6k）2+62， 解得：， ∵一次函数图象经过一、二、三象限， ∴． （2）解：如图，过点H作HD⊥x轴于D，HG⊥y轴于G， 则四边形ODHG是矩形， ∴OD＝HG； 由（1）可知， ∴直线AB的解析式为， ∴设， ∵AB＝2AO， ∴， ∴∠ABO＝30°， ∵FH＝OH，HD⊥x， ∴FD＝OD＝HG＝﹣t， ∴BF＝6﹣OF＝6﹣（﹣2t）＝6+2t， ∴，， ∴（﹣3＜t＜﹣1）． （3）解：如图，过点H作HM⊥y轴于M，过H作HD⊥x轴于点D，连接OK并延长，交AC于L，连接EK， ∵B点关于y轴的对称点为C， ∴OB＝OC， ∴OA垂直平分线BC，AB＝AC， ∵∠ABO＝30°， ∴∠BAO＝∠CAO＝60°，∠ABO＝∠ACO＝30°， ∵点K是HC的中点， ∴OK为△BCH的中位线， ∴OK∥BH， ∴∠COL＝∠ABO＝∠OCL＝30°， ∴∠AOL＝60°，OL＝CL， ∴△AOL是等边三角形，∠ALO＝60°，OA＝OL＝AL， ∴AL＝CL， ∴KL是△ACH的中位线， ∴， ∵HM⊥y， ∴∠AHM＝30°， ∴， ∴AM＝KL， ∴OA﹣OM＝OL﹣LK，即， ∵将线段OH绕点O顺时针旋转60°得到线段OE，点E恰好落在AC上， ∴OH＝OE，∠HOE＝60°， ∴∠HOA+∠AOE＝∠LOE+∠AOE＝60°， ∴∠HOA＝∠LOE， 在△AOH和△LOE中， ∵OH＝OE，∠HOA＝∠LOE，AO＝LO， ∴△AOH≌△LOE（SAS）， ∴AH＝EL， 在△AHM和△LEK中， ∵AH＝LE，∠HAM＝∠ELK＝60°，AM＝LK， ∴△AHM≌△LEK（SAS）， ∴EK＝HM＝﹣t，∠EKL＝∠AMH＝90°， ∵∠ABO＝30°， ∴， 由（2）可知，，FS＝3+t， ∴， ∵， ∴，即， 解得：t1＝﹣1，t2＝﹣2， ∵﹣3＜t＜﹣1， ∴t＝﹣2， ∴． 【考点评析】本题是一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角函数等知识，第三问难度大，综合性强，作多处辅助线，是本题的难点所在，灵活运用这些知识并善于转化是解题的关键． 27．（2024秋•包河区月考）用描点法，列表画出函数y＝2x+4的图象，并利用图象解答下列问题： （1）求方程2x+4＝0的解； （2）求不等式2x+4＜0的解集． 【思路点拨】（1）根据函数的解析式画出函数的图象，根据图象得出一元一次方程的解即可； （2）根据一次函数的图象得出一元一次不等式的解集即可． 【规范解答】解：（1）列表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 y ﹣2 0 2 4 6 8 描点，连线画出函数y＝2x+4的图象如下： 观察图象可知，当y＝0时，x＝﹣2， ∴方程2x+4＝0的解为：x＝﹣2； （2）由函数图象可知，x＜﹣2时，函数y在x轴的下方， ∴不等式2x+4＜0的解集为：x＜﹣2． 【考点评析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等知识点，能根据一次函数的图象和性质求出一元一次不等式和一元一次方程的解是解此题的关键． 28．（2023秋•麻栗坡县期末）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【思路点拨】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y甲、y乙的解析式； （2）根据（1）中解析式，将x＝15代入分别求出，比较即可； （3）分三种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论． 【规范解答】解：（1）由题意得： y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550， y乙＝25×0.9x+80×0.9×10＝22.5x+720， （2）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720， 当x＝15时y甲＝25×15+550＝925（元）， y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元）， ∵925＜1057.5， ∴方案甲更省钱； （3）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720， 当y甲＝1800元时，1800＝25x+550，解得：x＝50， 当y乙＝1800元时，1800＝22.5x+720，解得：x＝48， ∵50＞48， ∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 【考点评析】本题考查一次函数的实际应用以及方案设计，理清数量关系是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$