6.1 函数（12个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.1 函数 （12个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：函数的概念 1 考点讲练2：函数解析式 2 考点讲练3：求自变量的取值范围 3 考点讲练4：求自变量的值或函数值 3 考点讲练5：函数图象识别 3 考点讲练6：从函数的图象获取信息 4 考点讲练7：用描点法画函数图象 5 考点讲练8：动点问题的函数图象 5 考点讲练9：函数的三种表示方法 6 考点讲练10：用表格表示变量间的关系 7 考点讲练11：用关系式表示变量间的关系 8 考点讲练12：用图象表示变量间的关系 8 中等题真题汇编练 9 培优题真题汇编练 13 考点讲练1：函数的概念 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【举一反三练2】（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 考点讲练2：函数解析式 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量与售价y（元）之间的关系如下表： 质量 1 2 3 4 售价元 则y与x的关系式为 ，若卖出苹果，售价为 元． 【举一反三练1】（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）在中，，且，则的面积y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级下·全国·单元测试）按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是 考点讲练3：求自变量的取值范围 【精讲题】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·课后作业）函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A． B． C．且 D． 考点讲练4：求自变量的值或函数值 【精讲题】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数，若，则的值为 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）当时，函数的值是（   ） A．1 B．-1 C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）下图是关于变量，的计算程序，若开始输入的值为，则最后输出因变量的值为 ． 考点讲练5：函数图象识别 【精讲题】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的含量，则y （填“是”或“不是”）x的函数． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）在下列图象中，表示是的函数图象的是（   ） A．①④ B．①② C．②④ D．②③ 考点讲练6：从函数的图象获取信息 【精讲题】（23-24八年级下·山东济宁·期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离与时间之间的函数图象如图所示．下列说法中①从A地到C地的距离为；②小明从B地到C地的速度是；③小明出发后到达C地；④小明距B地时所用的时间是．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）某人在批发市场按每千克元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又每千克降价元将剩余的西瓜售完．售出西瓜数与他手中持有的钱数（元）（含备用零钱）的关系如图所示．请问他这次销售所得利润是 元． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图(1)，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”已知桌面的长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球P之间的距离为，图(2)是y与x的部分图象． （1）小球P的运动速度为 ． （2）t的值为 ． 考点讲练7：用描点法画函数图象 【精讲题】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 考点讲练8：动点问题的函数图象 【精讲题】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【举一反三练2】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 考点讲练9：函数的三种表示方法 【精讲题】（22-23八年级·全国·假期作业）设有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有 的值，那么就说y是x的函数，x叫做 ，表示函数的三种方法是 、 、 ． 【举一反三练1】（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 考点讲练10：用表格表示变量间的关系 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）问有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 下列说法一定错误的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池，现需注满水，水池深．现以不变的流量注水，水的深度与对应的注水时间如下表： 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）能推出注满水的时间是 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）某水果店卖出的苹果数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表： 苹果数量x（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价y（元） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 … 上表反映了两个变量之间的关系，则与的关系式为 考点讲练11：用关系式表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）在圆的周长中，常量与变量分别是（    ） A．2是常量，C，π，r是变量 B．2，π是常量，C，r是变量 C．C，2是常量，r是变量 D．2是常量，C，r是变量 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知气温（℃）与海拔高度的函数关系式为． （1）变量是 ，常量是 ； （2）当函数值为时，对应的自变量的值为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）一根蜡烛原长12厘米，点燃分钟后，剩余蜡烛的长为厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是（    ） A．是常量 B．12是变量 C．是变量 D．是常量 考点讲练12：用图象表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【举一反三练2】（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 2．（24-25八年级上·全国·期中）下列表示的图象，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某次航展中，歼模型飞机在某内飞行的高度与时间之间的关系大致如图所示．下列结论错误的是（   ） A．在范围内，飞机高度有两次 B．在范围内，飞机高度在不断下降 C．在范围内，飞机高度有四次 D．在范围内，飞机有二次连续攀升 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（    ） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上运动，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，，记的坐标为，则与的数量关系为 ． 7．（22-23七年级下·山东青岛·期中）青岛与济南两地相距350千米，若汽车以平均80千米/小时的速度从青岛开往济南，则汽车距济南的路程y（千米）与行驶的时间x（小时）之间的关系式为 ． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）汽车油箱中有油，每行驶，耗油，则油箱中所剩油与行驶路程间的函数解析式为 ，定义域为 ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，函数与有相同的函数值． 10．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数，则 ． 11．（24-25八年级上·安徽·期中），两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）在一条笔直的公路旁依次有A，B，C 三个村庄，甲、乙两人分别从A，B 两村同时出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达 C 村．设甲、乙两人到 C 村的距离 与行驶时间之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)A，C两村间的距离为 ， ； (2)求出图中点 P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)这一变化过程中， 是变量， 是常量； (2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； (3)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）一辆汽车在某一直路上行驶，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：    (1)汽车共行驶了 千米． (2)汽车在行驶途中停留了 小时． (3)汽车到达离出发地最远的地方后返回，若返回时速度和段速度相同，则返回到出发地用了多长时间． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·全国·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 16．（24-25八年级上·全国·期中）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③甲车的速度为；④乙车的速度为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，下面情境草图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系”，根据图中给出的信息，可得以下结论： ①兔子和乌龟赛跑的全过程是1500米； ②兔子在起初每分钟跑350米，乌龟每分钟爬30米； ③乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子； ④兔子醒来后，若以400米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，可知兔子睡觉用了48分钟．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 18．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 19．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为 ． 城市 A地 B地 C地 D地 海拔x（米） 0 300 600 1500 沸点y（度） 100 99 98 95 21．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 22．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）一个等腰三角形的周长是60cm，腰为xcm，底为ycm，则y与x之间的关系式为 ． 23．（22-23八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：（1）、之间的距离为；（2）乙行走的速度是甲的倍；（3）；（4）以上结论正确的是 ． 24．（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 25．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）在“新冠病毒”防控期间，某药店购进甲、乙两种消毒剂共1000桶进行销售．已知甲种消毒剂每桶进价26元，售价35元；乙种消毒剂每桶进价17元，售价23元．设甲种消毒剂的销售数量为桶，该药店销售完这两种消毒剂共获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该药店销售完这两种消毒剂共获得的利润为8100元，则乙种消毒剂销售了多少桶？ 26．（24-25八年级上·安徽·期中）“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 27．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知A、B两城由笔直的铁路连接，动车甲从A向B匀速前行，同时动车乙从B向A匀速前行，到达目的地时停止，其中动车乙速度较快，设甲乙两车相距，甲行驶的时间为，y关于t的函数图象如图所示． (1)填空：动车甲的速度为 ，动车乙的速度为 ； (2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义： (3)两车何时相距？ 28．（24-25八年级上·全国·期中）一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度（单位：米）有下面的关系式：． (1)已知米，求落下所用的时间；（结果精确到） (2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约米，手拿物体高为米）（结果精确到） (3)如果一物体落地的时间为秒，求物体开始下落时的高度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.1 函数 （12个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：函数的概念 1 考点讲练2：函数解析式 3 考点讲练3：求自变量的取值范围 4 考点讲练4：求自变量的值或函数值 5 考点讲练5：函数图象识别 6 考点讲练6：从函数的图象获取信息 8 考点讲练7：用描点法画函数图象 10 考点讲练8：动点问题的函数图象 12 考点讲练9：函数的三种表示方法 14 考点讲练10：用表格表示变量间的关系 15 考点讲练11：用关系式表示变量间的关系 17 考点讲练12：用图象表示变量间的关系 18 中等题真题汇编练 20 培优题真题汇编练 29 考点讲练1：函数的概念 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了用图象法表示函数、根据函数定义等知识点，理解函数的定义成为解题的关键. 根据函数的定义逐项判断即可解答． 【规范解答】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③ 【思路点拨】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数， 故答案为：②③． 【举一反三练2】（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【思路点拨】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【规范解答】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 考点讲练2：函数解析式 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量与售价y（元）之间的关系如下表： 质量 1 2 3 4 售价元 则y与x的关系式为 ，若卖出苹果，售价为 元． 【答案】 12.1 【思路点拨】本题考查了函数关系式，解题的关键是从表中所给信息中推理出x与y的关系，推理时要注意寻找规律．再代入求值． 根据表中所给信息，判断出卖出1千克苹果元，每增加1千克增加1.2元，列出函数关系式即可；再代入已知量，可求未知量． 【规范解答】由表中信息可知，卖出1千克苹果元，每增加1千克增加1.2元， 所以，卖出的苹果数量x（千克）与售价y（元）之间的关系是：． 当时，． 故答案为：， 12.1． 【举一反三练1】（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）在中，，且，则的面积y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了函数解析式，根据即可求解． 【规范解答】解：如图所示：    ∵， ∴， 则， 故选：A 【举一反三练2】（23-24八年级下·全国·单元测试）按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．则两个变量之间的函数关系式是 【答案】/ 【思路点拨】本题考查的是探究规律，函数的表示方法．根据图中所给出的图形，得出规律是解答本题的关键． 根据所给图形总结规律解答即可，不算左右两侧的椅子，则每张餐桌有4把椅子，再加左右两侧的椅子即可． 【规范解答】当时，， 当时，， 当时，， 由此类推，可得出． 故答案为． 考点讲练3：求自变量的取值范围 【精讲题】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解． 【规范解答】解：根据题意得：， 即． 故选： 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【规范解答】解：由题意得，， 解得，， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·课后作业）函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A． B． C．且 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键． 根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 【规范解答】因为， 所以． 又因为， 所以， 所以自变量x的取值范围为． 故选：D． 考点讲练4：求自变量的值或函数值 【精讲题】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数，若，则的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了函数值的概念，关键是根据的值判断出相应的解析式，代入求值即可． 【规范解答】解：由题意可得，， 把代入 解得， 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）当时，函数的值是（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题比较容易，考查求函数值，根据函数的定义，把代入函数关系式即可求得的值． 【规范解答】解：直接把代入得 ． 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）下图是关于变量，的计算程序，若开始输入的值为，则最后输出因变量的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查按照程序流程图进行有理数运算，求函数值，看懂程序流程图按要求求解是解决问题的关键． 根据程序流程图，按照要求，当开始输入的值为6时，代入计算即可． 【规范解答】解：由题意可得，当时，， 输出， 故答案为：42． 考点讲练5：函数图象识别 【精讲题】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了函数图像的识别， 根据函数图像可知，后期的增长速度慢，所以容器底部细，上部粗即可得出答案． 【规范解答】解：根据函数图像可知，后期的增长速度慢，所以容器底部细，上部粗， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的含量，则y （填“是”或“不是”）x的函数． 【答案】是 【思路点拨】本题考查了函数的定义，熟悉定义是解题的关键．根据函数的定义判断即可． 【规范解答】解：两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应， 是的函数． 故答案为：是． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）在下列图象中，表示是的函数图象的是（   ） A．①④ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查函数的基本概念及其应用，考查了定义的理解能力，属于基础题． 根据题意，利用函数的概念对各图象进行判断，即可得出答案． 【规范解答】解：根据函数的定义，对定义域内任意的一个都存在唯一的与之对应，若为函数关系，其对应方式为一对一或多对一，而③④是一对多，不符合函数的要求；①②为一对一，符合函数的要求． 故选：B． 考点讲练6：从函数的图象获取信息 【精讲题】（23-24八年级下·山东济宁·期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离与时间之间的函数图象如图所示．下列说法中①从A地到C地的距离为；②小明从B地到C地的速度是；③小明出发后到达C地；④小明距B地时所用的时间是．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了从函数图像中获取信息．纵坐标代表距B 地的距离，横坐标代表时间，小明一开始在A地，即A地距B 地的距离为，用时；到期间距离B 地，即此时小明在B 地；按原速跑步到达C地后，距离B 地，据可判断①；根据速度等于路程除以时间即可判断②③④． 【规范解答】解：①A地到达C地的距离为：，原说法正确， ②小明原速度为：，原说法正确； ③小明到达C 地实际用时为：，原说法正确； ④小明距 B 地时所用的时间为：，原说法错误， ∴说法正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）某人在批发市场按每千克元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又每千克降价元将剩余的西瓜售完．售出西瓜数与他手中持有的钱数（元）（含备用零钱）的关系如图所示．请问他这次销售所得利润是 元． 【答案】 【思路点拨】此题考查的是用函数图象解决实际问题，结合图象，读懂题意解决问题是解题的关键．由图象与轴的交点就是农民自带的零钱，根据到时的收入除以销量可得苹果的销售单价，计算出降价后单价，可求出降价后的销量，根据总利润总收入批发苹果用的钱可得答案． 【规范解答】解：降价前由图可得农民自带的零钱为元， ∴由图可知售出可收入元， ∴降价前他每千克苹果出售的价格是元； ∴降价后每千克西瓜：（元）， ∵降价后共收入：（元）， ∴降价后售出：， ∴共售出， ∴售出后所得利润为（元）， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图(1)，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”已知桌面的长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球P之间的距离为，图(2)是y与x的部分图象． （1）小球P的运动速度为 ． （2）t的值为 ． 【答案】 100 （或） 【思路点拨】本题考查了函数的应用，解一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知小球从出发正好到达处时所用的时间为，从而求出的速度； （2）同（1）求出的速度，进而列出关于的一元一次方程，求解即可． 【规范解答】解：（l）由图2可知，小球P从点A出发，正好到达点B处时，所用的时间为， ∴小球P的运动速度为． （2）木块Q的运动速度为． 当时，． 又∵， ∴，解得． 故答案为：100，． 考点讲练7：用描点法画函数图象 【精讲题】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，只要把点的坐标代入函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【规范解答】A选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； B选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点在函数的图象上； C选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； D选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上． 故选：B 【举一反三练1】（22-23八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 【答案】 【思路点拨】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标． 【规范解答】解：∵， ∴，即该函数自变量的取值范围为x≠0， 当时，， ∴点（1，0）在该函数图象上． 故答案为：（1，0）． 【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点是否在函数图象上的方法是：将点的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【举一反三练2】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【思路点拨】根据的取值，判断的范围即可求解． 【规范解答】解：当时，，此时点在第一象限， 当时，，此时点在第二象限， 故选：A． 考点讲练8：动点问题的函数图象 【精讲题】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【规范解答】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值． 【规范解答】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合，，， ∵，点D为的中点， ∴当时，， 此时函数有最大值，则y 的最大值为3， 故选：B． 【举一反三练2】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 【答案】16 【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据长方形的周长公式得出长方形的周长． 【规范解答】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程，时，不发生变化，说明，时，接着变化，说明， ，， 长方形的周长是：， 故答案为：16 考点讲练9：函数的三种表示方法 【精讲题】（22-23八年级·全国·假期作业）设有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有 的值，那么就说y是x的函数，x叫做 ，表示函数的三种方法是 、 、 ． 【答案】 每一个确定 唯一确定 自变量 列表法 解析式法 图象法 【思路点拨】直接根据函数的定义和表示法解答即可． 【规范解答】如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，表示函数的三种方法是列表法、解析式法、图象法． 故答案为：每一个确定，唯一确定，自变量，列表法，解析式法，图象法． 【举一反三练1】（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【规范解答】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 考点讲练10：用表格表示变量间的关系 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）问有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 下列说法一定错误的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数 B．弹簧不挂重物时的长度为0 C．物体质量每增加1，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为7时，弹簧长度为 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数的变量，用表格表示变量间的关系．解题的关键在于从表格中获取正确的信息． 根据表格中的信息，对各选项进行判断作答即可． 【规范解答】解：由题意知，x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数，A正确，故不符合要求； 弹簧不挂重物时的长度为，B错误，故符合要求； 物体质量每增加1，弹簧长度y增加0.5，C正确，故不符合要求； 所挂物体质量为7时，弹簧长度为，D正确，故不符合要求； 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池，现需注满水，水池深．现以不变的流量注水，水的深度与对应的注水时间如下表： 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）能推出注满水的时间是 ． 【答案】 注水时间 水的深度 【思路点拨】（1）根据自变量与因变量的定义判断即可； （2）根据水的深度每小时注水深度注水时间，写出关于的函数关系式，求出当时对应的的值即可． 本题考查函数的表示方法及常量与变量，掌握常量与变量、自变量与因变量的定义是本题的关键． 【规范解答】解：（1）依题意，自变量是注水时间，因变量是水的深度． 故答案为：注水时间，水的深度； （2）根据表格数据，得， 得， 当时，得， 解得， 注满水的时间是． 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）某水果店卖出的苹果数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表： 苹果数量x（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价y（元） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 … 上表反映了两个变量之间的关系，则与的关系式为 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列函数关系式，根据表格可知，苹果数量每增加0.5千克，那么售价就增加2.5元，据此可得答案． 【规范解答】解：由表格可知，苹果数量每增加0.5千克，那么售价就增加2.5元， ∴， 故答案为：． 考点讲练11：用关系式表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）在圆的周长中，常量与变量分别是（    ） A．2是常量，C，π，r是变量 B．2，π是常量，C，r是变量 C．C，2是常量，r是变量 D．2是常量，C，r是变量 【答案】B 【思路点拨】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在一个变化的过程中随时可以发生变化的量． 根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 【规范解答】解：∵在圆的周长公式中，C与r是改变的，是不变的； ∴变量是C，r，常量是2，π． 故选：B． 【举一反三练1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知气温（℃）与海拔高度的函数关系式为． （1）变量是 ，常量是 ； （2）当函数值为时，对应的自变量的值为 ． 【答案】 和 和 【思路点拨】本题考查函数的概念及求自变量的值，熟练掌握定义是解题关键． （1）根据变量与常量的定义即可得答案； （2）把代入求出的值即可得答案． 【规范解答】解：（1）在中，随的变化而变化，、是常数，不发生变化， ∴变量是和，常量是和， 故答案为：和，和 （2）当时，， 解得：， 故答案为： 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）一根蜡烛原长12厘米，点燃分钟后，剩余蜡烛的长为厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是（    ） A．是常量 B．12是变量 C．是变量 D．是常量 【答案】C 【思路点拨】此题考查的是常量与变量，根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【规范解答】解：一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，12是常量，t，n是变量，故选项C符合题意． 故选：C． 考点讲练12：用图象表示变量间的关系 【精讲题】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【思路点拨】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【规范解答】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 【举一反三练2】（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 【答案】26 【思路点拨】本题考查了用图象表示变量间的关系，弄清图象上的信息是解题的关键．根据图象得出，以及此时面积，利用三角形面积公式求出；再由图象得出，最后利用梯形面积公式计算梯形面积即可． 【规范解答】解：根据图象得：，此时 ，即 解得： 由图像可得： 故答案为：26． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【规范解答】解：A．与都是变量，且是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意； B．所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意； C．弹簧不挂重物时的长度为，本选项错误，符合题意； D．物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期中）下列表示的图象，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查函数的概念，熟练理解函数的概念是解题的关键，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则y与x有函数关系，由此分析即可． 【规范解答】A．图象中每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，y是x的函数，故选项不符合题意； B．图象中每一个确定的值，有两个确定的值与它对应，y不是x的函数，故选项符合题意； C．图象中每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，y是x的函数，故选项不符合题意； D．图象中每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，y是x的函数，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某次航展中，歼模型飞机在某内飞行的高度与时间之间的关系大致如图所示．下列结论错误的是（   ） A．在范围内，飞机高度有两次 B．在范围内，飞机高度在不断下降 C．在范围内，飞机高度有四次 D．在范围内，飞机有二次连续攀升 【答案】C 【思路点拨】本题考查了函数的图像，解题的关键是数形结合．根据某一分钟内歼模型飞机高度与时间之间的函数图像逐项分析判断即可求解． 【规范解答】解：A、结合图像，在范围内，飞机高度有两次，故该选项正确，不符合题意； B、结合图像，在范围内，飞机高度在不断下降，故该选项正确，不符合题意； C、在范围内，飞机高度有三次，故该选项不正确，符合题意； D、在范围内，飞机有二次连续攀升，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 【答案】A 【思路点拨】此题考查的是根据函数值，求自变量的值，把代入解析式即可求解，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【规范解答】解：当时，， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴此情况不存在， ∴的值为， 故选：A． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（    ） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数关系式，常量与变量，弄清变量概念是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【规范解答】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是． 在此变化过程中，变量是路程、时间， 故答案为：B． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上运动，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，，记的坐标为，则与的数量关系为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰直角三角形构造“一线三垂直”全等模型．过点作轴于点，证明，得出，，再利用， ，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·山东青岛·期中）青岛与济南两地相距350千米，若汽车以平均80千米/小时的速度从青岛开往济南，则汽车距济南的路程y（千米）与行驶的时间x（小时）之间的关系式为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查函数关系式，掌握路程、速度和时间之间的数量关系是解题的关键． 根据“汽车距济南的路程=青岛与济南之间的距离汽车行驶的路程”作答即可． 【规范解答】解：根据题意，得． ∴与之间的关系式为． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）汽车油箱中有油，每行驶，耗油，则油箱中所剩油与行驶路程间的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查函数关系式及函数自变量的取值范围，根据余油量等于油箱中的油量减去行驶时消耗的油量即可解决问题． 【规范解答】解：∵汽车每行驶，耗油， ∴汽车每行驶，耗油， ∴行驶消耗的油量为． ∵汽车油箱中有油， ∴油箱中所剩油量为． ∴y与x之间的函数解析式为． ∵，即， ∴定义域为：． 故答案为：，． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，函数与有相同的函数值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，根据函数与有相同的函数值列方程求解即可． 【规范解答】∵函数与有相同的函数值 ∴，解得 故答案为：． 10．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了函数求值，分式求值，把代入函数关系式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：当时， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽·期中），两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 【答案】(1)2；； (2)千米小时 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了函数图象，路程和时间速度公式等． （1）路程不变的过程就是休息的过程，结合函数图象可得出点至点之间骑车人骑了千米； （2）根据路程等于速度乘以时间进行计算即可； （3）计算出时，时客车与地的路程，利用两点法继而得到图象． 【规范解答】（1）解：通过图象可知骑行人休息了两次，共休息了2小时，点至点之间骑车人骑了千米， 故答案为：2；；； （2）解：平均速度千米小时， 答：骑车人返回家时的平均速度是千米小时； （3）解：9点时客车从出发，此时距离地千米， 时，客车到达地，千米， 时，客车又到达地，千米， 如图所示： ． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）在一条笔直的公路旁依次有A，B，C 三个村庄，甲、乙两人分别从A，B 两村同时出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达 C 村．设甲、乙两人到 C 村的距离 与行驶时间之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)A，C两村间的距离为 ， ； (2)求出图中点 P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义． 【答案】(1)120，2 (2)，点P的实际意义为两人出发后经过1小时后相遇，且距离C村． 【思路点拨】本题主要考查了从函数图象获取信息， （1）根据函数图象可知A，C两村间的距离为，再根据速度等于路程除以时间求出甲的速度，进而求出甲到达C地的时间，据此可得答案； （2）求出乙的速度，设t小时后甲、乙两车距离C地的距离相等，据此建立方程求出相遇时的时间，进而求出相遇时距离C地的距离即可得到答案． 【规范解答】（1）解；由函数图象可知A，C两村间的距离为，甲的速度为， ∴， 故答案为：120；2； （2）解：由函数图象可知，乙的速度为， 设t小时后甲、乙两车距离C地的距离相等， 由题意得，， 解得， ∵， ∴1小时后甲、乙两车距离C地的距离相等，且此时与C地的距离为， ∴，点P的实际意义为两人出发后经过1小时后相遇，且距离C村． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)这一变化过程中， 是变量， 是常量； (2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； (3)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1)邮箱里剩下的油量和行驶的时间，每小时耗油的油量 (2) (3)这辆汽车最多能行驶16小时 【思路点拨】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，属于基础题，关键是掌握函数的基础知识． （1）可以取不同的数值的量是变量，数值不变的量是常量，据此判定即可； （2）根据（1）中的基本关系求解即可； （3）当油箱里剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可． 【规范解答】（1）这一变化过程中，变量有：油箱里剩下的油量和行驶的时间，常量有：每小时耗油的油量； 故答案为：油箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量 （2）由题意，得： （3）当时，有， 解得： 即这辆汽车最多能行驶16小时． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）一辆汽车在某一直路上行驶，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：    (1)汽车共行驶了 千米． (2)汽车在行驶途中停留了 小时． (3)汽车到达离出发地最远的地方后返回，若返回时速度和段速度相同，则返回到出发地用了多长时间． 【答案】(1)240 (2)0.5 (3)小时 【思路点拨】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程、函数图象的横坐标得出时间是解题关键． （1）观察函数图象的纵坐标，可得汽车行驶的路程； （2）观察函数图象，可得平行于t轴的线段； （3）观察函数图象的纵坐标，可得到达最远地方的距离，求出段的速度，可得答案． 【规范解答】（1）由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是千米， 故答案为：240； （2）由横坐标看出，，汽车在行驶途中停留了0.5小时， 故答案为：0.5； （3）线段上的速度为：（千米/小时），（小时）， 故返回到出发地用了小时． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·全国·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了从函数图像获取信息，观察图像可解答①；由图像可得运动过程，进而判断②；根据甲在比乙多行驶了，可判断③；最后分：两人相遇后，甲未到达C村，和甲已到达C村时两种情况，求出时间即可． 【规范解答】由图像可知，当时，， 所以A，B两村相距． 所以①正确； 由图像可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达了C村，之后两人之间的距离开始减小，最后相遇在C村． 所以②正确； 甲每小时比乙多骑行的路程为． 所以③正确； 乙的速度为，甲的速度是． 当两人相遇后，甲未到达C村时，， 当两人相遇后，甲已到达C村时，． 综上所述，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④正确． 综上正确的有①②③④． 故选：D． 16．（24-25八年级上·全国·期中）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③甲车的速度为；④乙车的速度为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了函数图象的应用，从函数图象上获取所需信息是解题的关键．观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车的速度可判断③④． 【规范解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确； 由函数图象可知甲、乙到达B地用时分别为：5小时和3小时，则甲车的速度为；乙车的速度为，故③正确，④错误． 综上，正确的有3个． 故选C． 17．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，下面情境草图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系”，根据图中给出的信息，可得以下结论： ①兔子和乌龟赛跑的全过程是1500米； ②兔子在起初每分钟跑350米，乌龟每分钟爬30米； ③乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子； ④兔子醒来后，若以400米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，可知兔子睡觉用了48分钟．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查函数图像，结合题意弄清函数图象中每个点的实际意义是解题的关键． 利用乌龟始终运动，中间没有停留，而兔子中间有休息的时刻，即可得出折线OABC的意义和全程的距离，根据图象中点A、D实际意义可得速度；根据700米时相遇可得乌龟追上兔子的时间，利用兔子的速度，求出兔子走完全程的时间，可得兔子睡觉用了47分钟． 【规范解答】解：①∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻， ∴折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系； 由图象可知：赛跑的全过程为1500米；故①正确， ②结合图象得出：兔子在起初每分钟跑（米）， 乌龟每分钟爬（米）．故②正确， 乌龟追上兔子用的时间为分钟 故③正确 ∵兔子跑了700米用了2分钟，停下睡觉， ∴剩余800米，所用的时间为：（分钟）， ∴兔子睡觉用了：（分钟），故④错误， 故选：B 18．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 【答案】A 【思路点拨】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 利用速度路程时间，可求出后800m的速度，判断A选项；利用中途停留的时间，可求出中途停留的时间，判断B选项；当时，关于的函数图象是线段，可得出后速度不变，判断C选项；利用整个登山过程的平均速度总路程总时间，可求出整个登山过程的平均速度，判断D选项． 【规范解答】解：A、后的速度为，选项A正确，符合题意； B、中途停留了，选项B错误，不符合题意； C、当时，关于的函数图象是线段，即后速度不变，选项C错误，不符合题意； D、整个登山过程的平均速度为，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 19．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，根据图象可知点在BC上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答，读懂图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 【规范解答】根据题意观察图象可得， 当点在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为， 即时，， 又∵， 因点从点运动到点，根据函数的对称性可得， ∴的面积是， 故选：． 20．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为 ． 城市 A地 B地 C地 D地 海拔x（米） 0 300 600 1500 沸点y（度） 100 99 98 95 【答案】 【思路点拨】本题主要考查确定函数关系式．根据表格得出相应规律，然后列出函数关系式即可． 【规范解答】解：由表得：海拔每上升米，沸点降低1度， ∴与的关系式为； 故答案为：． 21．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查待定系数法求解析式，求函数值，读懂题意是解题的关键．由可求得的值，从而得到，进而即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 22．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）一个等腰三角形的周长是60cm，腰为xcm，底为ycm，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，函数解析式的确定，根据等腰三角形的周长公式列出函数关系式． 【规范解答】由题意得，， 则 ∵ ∴， ∴ 故答案为： 23．（22-23八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：（1）、之间的距离为；（2）乙行走的速度是甲的倍；（3）；（4）以上结论正确的是 ． 【答案】（1），（2），（4） 【思路点拨】本题考查了函数图象的识别，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．（1）由时，可得出A、B之间的距离为；（2）根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍；（3）根据路程二者速度和运动时间，即可求出；（4）根据甲走完全程所需时间两地间的距离甲的速度，即可求出．综上即可得出结论． 【规范解答】解：（1）当时， ∴A、B之间的距离为，故结论（1）正确； （2）乙的速度为， 甲的速度为， ， ∴乙行走的速度是甲的倍，故结论（2）正确； （3），故结论（3）错误； （4），故结论（4）正确． 故结论正确的有（1），（2），（4）． 故答案为：（1），（2），（4）． 24．（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可． 【规范解答】∵在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为， ∴，整理得， 由等腰三角形可得， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为，定义域为， 故答案为：，． 25．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）在“新冠病毒”防控期间，某药店购进甲、乙两种消毒剂共1000桶进行销售．已知甲种消毒剂每桶进价26元，售价35元；乙种消毒剂每桶进价17元，售价23元．设甲种消毒剂的销售数量为桶，该药店销售完这两种消毒剂共获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该药店销售完这两种消毒剂共获得的利润为8100元，则乙种消毒剂销售了多少桶？ 【答案】(1) (2)300桶 【思路点拨】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）根据题意甲每桶利润为9元，乙每桶利润为6元，且销售乙种消毒剂桶，据此分别求出甲、乙两种消毒剂的利润，求和即可得到答案； （2）根据（1）所求建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得，， 解得， ∴， 答：乙种消毒剂销售了300桶． 26．（24-25八年级上·安徽·期中）“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 【答案】(1)距离地面的高度，温度 (2) 【思路点拨】此题考查了列函数关系式、自变量、因变量等知识． （1）根据题意可得温度随着距离地面的高度变化，即可得到自变量和因变量； （2）由表格可知距离地面的高度每升高1千米，气温下降，据此即可得到表示的关系式． 【规范解答】（1）上表反映的变化关系中，温度随着距离地面的高度变化， ∴距离地面的高度是自变量，温度是因变量； 故答案为：距离地面的高度，温度 （2）解：根据表格可知，每升高1千米，气温下降， ∴用表示的关系式是； 即． 故答案为： 27．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知A、B两城由笔直的铁路连接，动车甲从A向B匀速前行，同时动车乙从B向A匀速前行，到达目的地时停止，其中动车乙速度较快，设甲乙两车相距，甲行驶的时间为，y关于t的函数图象如图所示． (1)填空：动车甲的速度为 ，动车乙的速度为 ； (2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义： (3)两车何时相距？ 【答案】(1) (2)的坐标为，实际意义是此时动车乙到达目的地，动车甲与动车乙的距离为 (3)和相距 【思路点拨】本题考查了函数应用中的相遇问题，从函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答． （1）根据图中信息即可得到两车的速度； （2）根据题意和图形即可得到点的坐标以及点表示的实际意义； （3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【规范解答】（1）解：动车甲的速度，动车乙的速度，， 故答案为：； （2）解：由题意可得，点的横坐标为：，纵坐标为：， 即点的坐标为， 该点坐标表示的实际意义是此时动车乙到达目的地，动车甲与动车乙的距离为； （3）解：由题意可得，当相遇前相遇，此时的时间为：， 当相遇后相遇，此时的时间为：， 综上：在和相距． 28．（24-25八年级上·全国·期中）一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度（单位：米）有下面的关系式：． (1)已知米，求落下所用的时间；（结果精确到） (2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约米，手拿物体高为米）（结果精确到） (3)如果一物体落地的时间为秒，求物体开始下落时的高度． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)米 【思路点拨】（1）将直接代入函数关系式求函数值即可； （2）先求出，然后将代入函数关系式求函数值即可； （3）将直接代入函数关系式求出自变量的值即可． 【规范解答】（1）解：将代入函数关系式，得： （秒）， 落下所用的时间为秒； （2）解：根据题意得： （米）， 则（秒）， 答：约需秒； （3）解：由题意可知：， 将代入，得： ， （米）， 即物体开始下落时的高度为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$