中职数学一轮复习 第一讲 集合与常用逻辑用语

第1讲 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合与常用逻辑用语 模块一 思维导图 模块二 知识梳理 模块三 考点精练模块一 思维导图 命题 集合 充要条件 必要条件 充分条件 子集与推出之间的关系 补集 并集 交集 集合的基本运算 不属于 属于 元素与集合之间的关系 描述法 列举法 定义及表示方法 非 或 且 逻辑联结词 常用逻辑用语 模块二 知识梳理 1.构成集合的元素具有的性质：_________、________、________。 2.元素和集合的关系：a是集合A中的元素:_________ a不是集合A中的元素:_________ 3.常用的数集 常用的 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 4.集合的表示方法：__________、__________ 5.集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含关系和非包含关系两种 （1）子集：A⊆B(或B⊇A)，空集是任何集合的子集，即∅⊆A 任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A （2）集合相等：集合A的元素与集合B的元素完全相同，A=B 若A⊆B且B⊆A，则A=B；若A=B,则A⊆B且B⊆A （3）真子集：A⫋B(或B⫌A)，空集是任何非空集合的真子集，即∅⫋A（A≠∅） 6.元素和集合之间是属于和不属于的关系，连接符号____、_____ 集合和集合之间是包含和不包含的关系，连接符号____、_____、 ______、______ 7.集合子集和真子集的个数 当一个集合里有n个元素时，这个集合的子集个数为____，真子集的个数_____,非空真子集的个数_______ 8.集合的运算 （1）交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} （2）并集：A∩B={x|x∈A且x∈B} （3）补集：∁UA={x|x∈U且x∉A} 9.命题：能判断真假的陈述语句，分为真命题和假命题 （1）逻辑联结词：“且”“或”“非” 任意的两个命题p和q，“p且q”记作“p∧q”；“p或q”记作“p∨q”；“非p”记作“¬p” （2）复合命题的真值表 p q p p p∨q 真 真 真 假 假 真 假 假 总结 10.充分条件和必要条件 如果p⟹q，则称p是q的充分条件，或称q是p的必要条件 如果p⟹q且q⟹p，则称p和q互为充分且必要条件，简称充要条件，记作p⟺𝑞 11.子集和推出的关系 如果集合A={𝑥|𝑝}，B={𝑥|q}，那么A⊆B与p⟹q等价 注：若p是q的充分不必要条件，则A⫋B 12.常用的两个量词 （1）“任意”：用符号∀表示，如：∀x∈R，都有x2≥0 （2）“存在”：用符号∃表示，如：∃x∈Z，使x-2<0 模块三 考点精炼 考点一 元素的性质 【例1】已知集合A含有a-1和3a+2两个元素，（1）求实数a满足的条件；（2）若-1∈A，试求实数a的值 【变式1-1】某集合中3个元素，a,b,c分别对应一个三角形的3个边长，则此三角形一定不是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【变式1-2】设x∈R，集合A中含有三个元素3,x2,x2-2x （1）求元素x应满足的条件；（2）若-2∈A，求实数x的值 考点二 集合之间的关系 【例2】（2022春考）已知集合M={1,2},N= {2,3,x}，若M⊆N，则实数x的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练2-1】满足{1}⊆A⊆{1,2，3，4}的集合A有（ ）个 A.5 B.6 C.7 D.8 【变式训练2-2】下列集合中，表示同一个集合的是（ ） A.M={(3,2)},N= {(2,3)} B. M={3,2},N= {2,3} C. M={(x,y)|x+y=1},N= {(x,y)|x2+y2=1} D. M={1,2},N= {(1,2)} 考点三 集合当中的符号 【例3】下列关系式错误的是（ ） A.-3∈ {x|x<2} B. {-3} ⫋ {x|x<4} C. {1,2} ⊆{1,2} D. ∅⊈{x|x<6} 【变式训练3-1】（2020春考）下列关系中正确的是（ ） A.0∈∅ B. 0∈{a} C. {ab} ⊆{b,a} D. {a}=∅ 考点四 集合的运算 【例4】已知全集U= {x ∈N+|x<10}，集合A= {1，2，3，4}，B= {3，5，7，9}，求（1） ∁UA∩B；（2）∁U（ A∪B ） 【变式训练4-1】设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S= {1，3，5}，集合T= {3，6}，则∁U（ S∪T ）=（ ） A. ∅ B. {1，3，5，6} C. {2，4，7，8} D. {2，4，6，8} 【变式训练4-2】设集合A= {x|x2-4x+3=0},B= {x|x2-ax+6=0}, 且A∩B中只有一个元素，求实数a的值 【变式训练4-3】若全集U=R，集合A={x|-2<x<4},集合B={x|x≤3}，则A∩B=___________，A∪B=___________，∁UA∩B___________ 考点五 复合命题的真假 【例5】已知p是假命题，q是真命题，则下列命题为真命题的是（ ） A. ¬q B. ¬p∧q C. ¬(p∨q) D. p∧q 【变式5-1】设p，q是两个命题，并且¬p∧q是真命题，则下列命题为真命题的是（ ） A. p∧q B. ¬p∧¬q C. ¬(p∨q) D. ¬p∨¬q 考点六 充分条件和必要条件 【例6】“a>0”是“|a|>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例6-1】设a，b是实数，则a2+b2≠0的充要条件是（ ） A. a≠0 B. b≠0 C. a≠0且b≠0 D. a≠0或b≠0 考点七 量词在集合和命题中的综合应用 【例7】（2019春考）设集合M={x|-2，0，2，4}，则下列命题为真命题的是（ ） A.，a是正数 B. ，b是正数 C. ，c是奇数 D. ，d是有理数 【例7-1】设命题p：，x2≥0，则¬p是（ ） A. ，x2<0 B. ，x2≤0 C. ，x2<0 D. ，x2≤0 【例7-2】（2022春考）下列命题为真命题的是（ ） A.1>0且2>3 B.1>2且3>5 C. ，cos x>1 D. ，x2≥0 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合与常用逻辑用语 模块一 思维导图 模块二 知识梳理 模块三 考点精练 模块一 思维导图 命题 集合 充要条件 必要条件 充分条件 子集与推出之间的关系 补集 并集 交集 集合的基本运算 不属于 属于 元素与集合之间的关系 描述法 列举法 定义及表示方法 非 或 且 逻辑联结词 常用逻辑用语 模块二 知识梳理 确定性 互异性 无序性 1.构成集合的元素具有的性质：__ _______、________、________。a∈A 2.元素和集合的关系：a是集合A中的元素:_________a∉A a不是集合A中的元素:_________ 3.常用的数集 常用的 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 4.集合的表示方法：__________、__________描述法 列举法 5.集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含关系和非包含关系两种 （1）子集：A⊆B(或B⊇A)，空集是任何集合的子集，即∅⊆A 任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A （2）集合相等：集合A的元素与集合B的元素完全相同，A=B 若A⊆B且B⊆A，则A=B；若A=B,则A⊆B且B⊆A （3）真子集：A⫋B(或B⫌A)，空集是任何非空集合的真子集，即∅⫋A（A≠∅）∈ ∉ 6.元素和集合之间是属于和不属于的关系，连接符号____、_____ 集合和集合之间是包含和不包含的关系，连接符号____、_____、= ⫋ ______、______ 7.集合子集和真子集的个数2n 2n 当一个集合里有n个元素时，这个集合的子集个数为____，真子集的个数_____,非空真子集的个数_______ 2n-2 2n-1 8.集合的运算 （1）交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} （2）并集：A∩B={x|x∈A且x∈B} （3）补集：∁UA={x|x∈U且x∉A} 9.命题：能判断真假的陈述语句，分为真命题和假命题 （1）逻辑联结词：“且”“或”“非” 任意的两个命题p和q，“p且q”记作“p∧q”；“p或q”记作“p∨q”；“非p”记作“¬p” （2）复合命题的真值表 p q p p p∨q 真 真 假 真 真 真 假 假 假 真 假 真 真 假 真 假 假 真 假 假 总结 与p的真值 相反 都真才真， 有假则假 有真则真， 都假才假 10.充分条件和必要条件 如果p⟹q，则称p是q的充分条件，或称q是p的必要条件 如果p⟹q且q⟹p，则称p和q互为充分且必要条件，简称充要条件，记作p⟺𝑞 11.子集和推出的关系 如果集合A={𝑥|𝑝}，B={𝑥|q}，那么A⊆B与p⟹q等价 注：若p是q的充分不必要条件，则A⫋B 12.常用的两个量词 （1）“任意”：用符号∀表示，如：∀x∈R，都有x2≥0 （2）“存在”：用符号∃表示，如：∃x∈Z，使x-2<0 模块三 考点精炼 考点一 元素的性质 【例1】已知集合A含有a-1和3a+2两个元素，（1）求实数a满足的条件；（2）若-1∈A，试求实数a的值 【答案】（1）a≠- ；（2）a=0或a=-1 【解析】（1）由集合中的元素具有互异性，可知a-1≠2a+2，a≠- （2）∵-1∈A，∴a-1=-1或3a+2=-1 当a-1=-1时，a=0，此时集合A中的元素为-1，2，符合题意 当3a+2=-1时，a=-1，此时集合A中的元素为-2，-1，符合题意 ∴a=0或a=-1 【变式1-1】某集合中3个元素，a,b,c分别对应一个三角形的3个边长，则此三角形一定不是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】D 【解析】根据元素集合的互异性，可知a≠b，a≠c，b≠c，可知该三角形一定不是等腰三角形 【变式2-2】设x∈R，集合A中含有三个元素3,x,x2-2x （1）求元素x应满足的条件；（2）若-2∈A，求实数x的值 【答案】（1）x≠0，x≠3且x≠-1；（2）x=-2 【解析】（1）根据集合元素的互异性，可知 x≠3 x≠x2-2x x2-2x≠3 即x≠0，x≠3且x≠-1 （2）∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1 又∵-2∈A，∴x=-2 考点二 集合之间的关系 【例2】（2022春考）已知集合M={1,2},N= {2,3,x}，若M⊆N，则实数x的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】若M⊆N，则集合M的元素都在集合N里，所以x的值是1 【变式训练2-1】满足{1}⊆A⊆{1,2，3，4}的集合A有（ ）个 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】符合条件的集合：{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4} 【变式训练2-2】下列集合中，表示同一个集合的是（ ） A.M={(3,2)},N= {(2,3)} B. M={3,2},N= {2,3} C. M={(x,y)|x+y=1},N= {y|x+y=1} D. M={1,2},N= {(1,2)} 【答案】B 【解析】当集合中的元素完全相同时，则两个集合相等 A. 集合M和集合N为点集，集合M和集合N代表不同的点 B. 集合元素具有无序性的性质，集合M和集合N当中的元素为2，3，因此M=N C. 集合M为点集，集合N为数集 D. 集合M为数集，集合N为点集 考点三 集合当中的符号 【例3】下列关系式错误的是（ ） A.-3∈{x|x<2} B. {-3}⫋{x|x<4} C. {1,2}⊆{1,2} D. ∅⊈{x|x<6} 【答案】D 【解析】A.元素和集合之间的关系，-3<2，所以-3是集合当中的元素 B.集合和集合之间的关系，集合{-3}是集合{x|x<4}的真子集 C. 任何一个集合都是它本身的子集 D.空集是任何非空集合的真子集 【变式训练3-1】（2020春考）下列关系中正确的是（ ） A.0∈∅ B. a∈{a} C. {ab} ⊆{b,a} D. {a}=∅ 【答案】B 【解析】A.空集中不含任何元素，所以0∉∅ B.元素和集合之间的关系，a是集合{a}中的元素，所以a∈{a} C.集合{ab}中的元素是ab，不在集合{b,a}中 D. 集合{a}中的元素是a，空集不含任何元素，所以两个集合不相等 考点四 集合的运算 【例4】已知全集U= {x ∈N+|x<10}，集合A= {1，2，3，4}，B= {3，5，7，9}，求（1） ∁UA∩B；（2）∁U（ A∪B ） 【答案】（1）∁UA∩B={5，7，9}（2）∁U（ A∪B ）={6，8} 【解析】（1）U= {x ∈N+|x<10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 则∁UA={5，6，7，8，9}，所以∁UA∩B={5，6，7，8，9}∩{3，5，7，9}={5，7，9} （2）A∪B={1，2，3，4}∪{3，5，7，9}={1，2，3，4，5，7，9} ∁U（ A∪B ）={6，8} 【变式训练4-1】设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S= {1，3，5}，集合T= {3，6}，则∁U（ S∪T ）=（ ） A. ∅ B. {1，3，5，6} C. {2，4，7，8} D. {2，4，6，8} 【答案】C 【解析】S∪T= {1，3，5，6}，∁U（ S∪T ）={2，4，7，8} 【变式训练4-2】设集合A= {x|x2-4x+3=0},B= {x|x2-ax+6=0}, 且A∩B中只有一个元素，求实数a的值 【答案】a=5或a=7 【解析】A= {x|x2-4x+3=0}={1，3} A∩B={1}或A∩B={3}，B={1}或B={3} 当B={1}时，1-a+6=0,a=7 当B={3}时，9-3a+6=0,a=5 综上所述，a=5或a=7 【变式训练4-3】若全集U=R，集合A={x|-2<x<4},集合B={x|x≤3}，则A∩B=___________，A∪B=___________，∁UA∩B=___________ 【答案】{x|-2<x≤3}；{x|x<4}；{x|x≤-2} 【解析】利用数轴求解 A∩B={x|-2<x≤3} A∪B={x|x<4} ∁UA∩B={x|x≤-2} 考点五 复合命题的真假 【例5】已知p是假命题，q是真命题，则下列命题为真命题的是（ ） A. ¬q B. ¬p∧q C. ¬(p∨q) D. p∧q 【答案】B 【解析】¬p与p的真值相反，p∧q都真才真，有假则假，p∨q有真则真，都假才假 A. q为真，¬q；B. p为假，¬p为真，q为真，¬p∧q为真 C. p∨q为真，¬(p∨q)为假；D. p∧q为假 【变式5-1】设p，q是两个命题，并且¬p∧q是真命题，则下列命题为真命题的是（ ） A. p∧q B. ¬p∧¬q C. ¬(p∨q) D. ¬p∨¬q 【答案】D 【解析】¬p∧q为真，¬p为真，q为真，p为假 A. p为假，q为真，p∧q为假；B. ¬p为真，¬q为假，¬p∧¬q为真 B. p∨q为真，¬(p∨q)为假；D. ¬p为真，¬q为假，¬p∨¬q为真 考点六 充分条件和必要条件 【例6】“a>0”是“|a|>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵a>0|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 【例6-1】设a，b是实数，则a2+b2≠0的充要条件是（ ） A. a≠0 B. b≠0 C. a≠0且b≠0 D. a≠0或b≠0 【答案】D 【解析】a2≥0，b2≥0，a2+b2≠0a≠0或b≠0 考点七 量词在集合和命题中的综合应用 【例7】（2019春考）设集合M={x|-2，0，2，4}，则下列命题为真命题的是（ ） A.，a是正数 B. ，b是自然数 C. ，c是奇数 D. ，d是有理数 【答案】D 【解析】A.-2，0不是正数，错误；B.-2不是自然数，错误 C.-2，0，2，4都是偶数，错误；D. -2，0，2，4都是有理数，正确 【例7-1】设命题p：，x2≥0，则¬p是（ ） A. ，x2<0 B. ，x2≤0 C. ，x2<0 D. ，x2≤0 【答案】A 【解析】对量词和结论进行否定，，x2≥0的否定是，x2<0 【例7-2】（2022春考）下列命题为真命题的是（ ） A.1>0且2>3 B.1>2且3>5 C. ，cos x>1 D. ，x2≥0 【答案】D 【解析】A. 1>0为真，2>3为假，1>0且2>3为假 B. 1>2为假，3>5为假，1>2且3>5为假 C. ∵-1≤cos x≤1，∴，cos x≤1，，cos x>1为假命题 D. x2恒大于等于0，正确 2 学科网（北京）股份有限公司 $$