26．1　二次函数 课件 2024—-2025学年华东师大版数学九年级下册

≠ 二次 自变量 常数项 A A －1 0 －1 3 y＝x2－x－2 －2 －3 x2－2x－3 5 y＝ax2－2ax＋a y＝－π x2＋16π 0<x<4 6或－6 二次 第26章　二次函数 26．1　二次函数 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 下列函数： ①y＝3－eq \r(3)x2；②y＝eq \f(2,x2)；③y＝x(3－5x)；④y＝(1＋2x)(1－2x)．其中是二次函数的有 (　　) A．1个　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个 【思路分析】根据二次函数的定义进行解答． 【自主解答】 【名师支招】函数关系式是整式，且化简后自变量的最高次数是2，二次项系数不为0的函数是二次函数． ①y＝3－eq \r(3)x2；③y＝x(3－5x)；④y＝(1＋2x)(1－2x)是二次函数，共3个，故选C. 【易错原因】忽视二次项系数不为0这一隐含条件 若y＝(m－1)·xm2＋m是关于x的二次函数，则m的值为(　　) A．－2 B．－2或1 C．1 D．不存在 【自主解答】 知识点1：二次函数的定义 1．下列关系式中， 属于二次函数的是(x为自变量) （ ） A．y＝eq \f(1,8)x2 B．y＝eq \r(x2－1) 　 C．y＝eq \f(1,x2) D．y＝ax2＋bx＋c 2．对于二次函数y＝－x2－1，其二次项系数a＝－1，一次项系数b＝0，常数项c＝－1. 3．若y＝xa－1＋2x是关于x的二次函数，则a＝3. 4．将二次函数y＝(x＋1)(x－2)化为一般形式为y＝x2－x－2. 知识点2：二次函数的函数值 5．已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝3时，y＝0，则b＝－2，c＝－3，故该二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.当x＝－2时，二次函数的值为5. 知识点3：实际问题中的二次函数关系式 6．某商品原价为a元，经两次降价后为y元，假设每次降价的百分率相同且为x，则y与x的函数关系式为y＝ax2－2ax＋a. 7．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的小圆，剩下圆环的面积是 y cm2，则y与x之间的函数关系式为y＝－π x2＋16π，自变量的取值范围是0<x<4. 8．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数n(n≥2)之间的函数关系式是m＝ n2－ n. m＝eq \f(1,2)n2－eq \f(1,2)n 解：y＝eq \f(180－2x,2)·x·20 ＝－20x2＋1 800x(0<x<90)． 9．某高中学校为高一新生设计学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉的底面周长为180 cm，高为20 cm，设底面宽为x cm, 抽屉的体积为y cm3，求y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 10．根据如图所示的程序计算函数值． (1)当输入的x的值为eq \f(2,3)时，输出的结果为eq \f(4,9 )； (2)当输入的数为6或－ 6时，输出的值为－4. eq \f(4,9) 11．如图是按照一定规律排列的一组图，图①中有1只羊，图②中有3只 羊，…，如果图 eq \f(1,2)n2＋eq \f(1,2)n 解：乙的说法对． 理由：对a2＋2a＋3配方可得(a＋1)2＋2， ∵无论a取何值，(a＋1)2≥0， 即有(a＋1)2＋2≥2， ∴a2＋2a＋3≥2≠0， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 12．关于x的函数y＝(a2＋2a＋3)x2＋3ax＋1，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与a的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 13．某公园门票是每张80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，每天进园人数就增多6人，试写出门票价格x(x≤80)元与该公园每天的门票收入y(元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？ 解：由题意知，当门票价格为x元时，则每张门票降价(80－x)元，那么每天进园人数就增加6(80－x)人，每天进园人数为200＋6(80－x)＝(680－6x)人． ∴y＝x(680－6x)＝－6x2＋680x(0＜x≤80)， ∴y是x的二次函数． 14．(眉山期中)如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C，E，B，F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，AB与DE相交于点P，当点B与点F重合后停止移动，设CE＝x，△PBE的面积为S. (1)求S与x之间的函数关系式， 并指出自变量的取值范围； (2)当x＝3时，求△PBE的面积． 解：(1)∵CE＝x，BC＝8，∴EB＝8－x. ∵△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠ABC＝ ∠DEF＝45°，∴△PBE是等腰直角三角形， ∴PB＝PE＝eq \f(\r(2),2)EB＝eq \f(\r(2),2)(8－x)， ∴S＝eq \f(1,2)PB·PE＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)(8－x)×eq \f(\r(2),2)(8－x)＝eq \f(1,4)(8－x)2＝eq \f(1,4)x2－4x＋16， 即S＝eq \f(1,4)x2－4x＋16(0≤x＜8)． (2)当x＝3时，S△PBE＝eq \f(1,4)(8－3)2＝eq \f(25,4). $$