第二十一章《二次函数与反比例函数》复习试题 2024--2025学年沪科版九年级数学上册

沪科版数学九年级上第二十一章《二次函数与反比例函数》复习试题 一．选择题（共10小题） 1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　） A．B． C．D． 2．下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（2，﹣） C．（﹣3，﹣） D．（，3） 3．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣2≤x≤3时，则（　　） A．﹣4≤y≤1 B．y≤5 C．1≤y≤5 D．﹣4≤y≤5 4．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣1＜x＜3 5．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，3），那么k的值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 6．如图，已知正比例函数y＝mx的图象与反比例函数的图象交于A（a，b），B（c，d）两点，ad+bc的值为（　　） A．﹣2m B．2m C．﹣2n D．2n 7．对于二次函数y＝（x﹣2）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标为（﹣2，0） D．当x＜2时，y随x的增大而减小 8．已知二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，且A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 9．如图，点（3，k）在双曲线y＝上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是（　　） A．3 B．2+ C．4 D．3+ 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，对称轴为：直线x＝﹣2，下列结论：②abc＜0；②4a﹣b＞0；③方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根；④16a﹣4b+c＞0．其中正确结论的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题） 11．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．（用＜号连接） 12．将y＝的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y＝kx+3k﹣1（k＞0）相交于两点，其中一个交点的横坐标为m，另一个交点的纵坐标为n，则（m+3）（n+1）＝　 　． 13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2．有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中错误的是 　 　．（写出所有错误结论的序号） 14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 　 　（填正确结论的序号）．①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b+c＜0；④3a+c＜0；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0． 15．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．线段AB的中点P在反比例函数y＝的图象上．若一次函数y＝mx+n的图象与y＝的图象有且只有一个第三象限的公共点Q，且与x轴、y轴分别交于C、D两点，试求出四边形ABCD的最小面积　 　． 16．区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小禾一家在五一小长假期间出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为100km/h，则他们通过此测速区间的时间为 　 　h． 17．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是　 　，方程x2+bx+c＝0的解是　 　． 18．已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，若点P为该抛物线的顶点，则使△PAB面积最小时抛物线的解析式为　 　． 三．解答题（共7小题） 19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点，连接OA，OB，直线AB与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点C的坐标和△OAB的面积． 20．已知一次函数y1＝mx+n（m≠0）和二次函数，下表给出了y1，y2与自变量x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y1 … 5 4 3 2 1 0 ﹣1 … y2 … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）求y2的解析式； （2）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集． 21．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛的某起跳台的高度OA为64m，基准点K到起跳台的水平距离为72m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度为y（m），水平距离为x（m），它们之间满足二次函数关系． （1）若运动员飞行的水平距离为24m时，恰好起跳后达到最大高度76m，请你求出此时y与x之间的函数关系式； （2）若h＝21，在（1）的条件下，该运动员的落地点能否超过基准点K？ 22．如图1，已知抛物线y＝ax2经过点A（2，1）． （1）求a的值； （2）如图2，点B（﹣4，m）在抛物线上，连接AB，在BA下方的抛物线上有一动点P．当△ABP面积最大时，点P的坐标及最大面积； （3）如图3，点M为x轴负半轴上一点，线段AM交抛物线于N．若△OMN为等腰三角形，求点N的坐标． 23．问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？ （1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，请探究是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？ （2）如果矩形A的边长为m和n，请你研究：m，n满足什么条件时，矩形B存在？ （3）x和y分别表示矩形B的两边长，且x，y满足的一次函数和反比例函数的图象如图所示，结合刚才的研究解答下列问题： ①满足条件的矩形B的两边长是多少？ ②这个图象所研究的矩形A的两边长是多少？ 24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值． 25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．C． 2．B． 3．D． 4．C． 5．B． 6．C． 7．C． 8．B． 9．C． 10．B． 二．填空题（共8小题） 11．y2＜y3＜y1． 12．﹣2． 13．①②④． 14．①③④． 15．48． 16．0.24． 17．x＝﹣1，x1＝﹣3，x2＝1． 18．y＝x2﹣4x+3． 三．解答题（共7小题） 19．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝2×（﹣4）＝﹣8． ∴反比例函数的解析式为y＝﹣． ∵点A（﹣4，n）在y＝﹣上， ∴n＝2． ∴A（﹣4，2）． ∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴． 解得． ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2． （2）∵C是直线AB与x轴的交点， ∴当y＝0时，x＝﹣2． ∴点C（﹣2，0）． ∴OC＝2． ∴S△OAB＝S△ACO+S△BCO＝×2×2+×2×4＝6． 20．解：（1）∵二次函数过（﹣1，0），（3，0），（0，3）， ∴y2＝a（x+1）（x﹣3）， ∴3＝﹣3a，解得a＝﹣1， ∴y2的解析式为y2＝﹣（x+1）（x﹣3），即y2＝﹣x2+2x+3； （2）比较表格数据可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集是0＜x＜3． 21．解：（1）∵运动员飞行的水平距离为24m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（24，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣24）2+76， 把（0，64）代入得：64＝a（0﹣24）2+76， 解得a＝﹣， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣（x﹣24）2+76； （2）当x＝72时，y＝﹣（72﹣24）2+76＝28＞21， ∴该运动员的落地点能超过基准点K． 22．解：（1）将A（2，1）代入解析式，得：4a＝1， 解得：； （2）由（1）知，抛物线的解析式为， 将B（﹣4，m）代入解析式得：m＝4， ∴B（﹣4，4）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（2，1），B（﹣4，4）分别代入解析式，得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为， 过点P作x轴垂线交AB于点Q，如图： 设，则， ∴， S△ABP＝S△QBP+S△AQP＝＝＝， ∵， ∴当x＝﹣1时，△ABP的面积最大，最大面积为，此时； （3）如图， 设， 设直线AN的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 将点A、N的坐标分别代入解析式，得： ， 解得， ∴直线AN的解析式为， 令y＝0，解得， ∴， ∵NM＝NO， ∴xM＝2xN， ∴， 解得：n1＝0（舍去），n2＝﹣1， ∴． 23．解：（1）存在． 设所求矩形的两边分别是x，y， 由题意得方程组， 消去y化简得2x2﹣7x+6＝0， ∵Δ＝49﹣48＞0，x1＝2；x2＝； 所以满足要求的矩形B存在； （2）存在， 理由：， ∴2x2﹣（m+n）x+mn＝0， ∴Δ＝（﹣m﹣n）2﹣8mn＝（m+n）2﹣8mn≥0 ∴当（m+n）2﹣8mn≥0时，矩形B存在； （3）设周长为k，面积为S，由x和y分别表示矩形B的两边长， ∴x+y＝，xy＝2S， ∴y＝﹣x+，y＝， ∵得（4，1）在函数y＝﹣x+和y＝的图象上， ∴1＝﹣4+，1＝， 解得k＝10，S＝2， ∵B的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半． ①由图象可知满足条件的矩形B的两边长为1和4； ②设矩形A的长是m、宽是n， ∴， 解得， ∴矩形A的两边长为5+和5﹣． 24．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得， ， 解得， 所以，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4． ∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3． ∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，即△ABC的面积是6； （3）设BC的解析式为y＝kx+t， 将B，C的坐标代入函数解析式，得 ， 解得， BC的解析式为y＝x﹣3， 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+， 当n＝时，PM最大＝． 25．解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0）， ∴． （2）当x＝0时，， ∴C（0，2）， 设直线BC为y＝kx+2， ∴3k+2＝0， 解得， ∴直线BC为， 设， ∴， ∴2PD+PE＝＝， 当时，有最大值， 此时． （3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK， ∴∠BCK＝∠BCT＝45°， ∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M， 如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3， ∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB， ∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG， ∴∠QCT＝∠BTG， ∵CT＝BT， ∴△CQT≌△TGB（AAS）， ∴QT＝GB，CQ＝TG， 设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m， ∴Q0＝3﹣m﹣2＝1﹣m， ∴T（m，m﹣1）， 由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2， 解得， ∴， 设CT为y＝nx+2， ∴， 解得n＝﹣5， ∴直线CT为y＝﹣5x+2， ∴， 解得或， ∴，，C（0，2），B（3，0），正方形CTBK． ∴， 同理可得直线CK为， ∴， 解得或， ∴， 综上，点M的坐标为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/1 14:13:01；用户：马丹；邮箱：18845904881；学号：49967352 学科网（北京）股份有限公司 $$