1.2 解直角三角形及应用（5个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.2 解直角三角形及应用（5个考点） 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【考点1 解直角三角形的相关计算】 1．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 根据角正切值可求得，，结合，列方程求解即可得出答案． 【详解】， 在中，，即， ， 在中，，即， 故， ． 故答案为：． 2．以为直径的上三点A、B、C，作的平分线交于D点，如图，过点D作交的延长线于E点，交的延长线于F点，若    （1）若，则的弧长为 ． （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）连接，，设，则，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，最后列出关于的方程进行计算，可求出，从而利用圆周角定理可得，再利用弧长公式进行计算，即可解答； （2）先根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：（1）连接，，    设， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 的弧长， 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定、解直角三角形的相关计算、勾股定理等知识． （1）由，，即可证明； （2）在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵在中，， ， ， ， ， ， ∴的长度为． 4．在中，，于点，点为线段的中点，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的性质，等边对等角等等，熟知正切和正弦的定义是解题的关键． （1）先由垂直的定义得到，再由正切的定义求出，则由勾股定理可得； （2）先证明；再由直角三角形的性质得到，则，进而得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 【考点2 解非直角三角形】 6．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 7．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 8．如图，在中，，，，则边的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，解得，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：2． 9．如图中，，在上，且，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】过点E作交于点F，过点A作交于点G，根据题意证明出，得到，然后由等腰三角形三线合一性质得到，，然后得到，设，则，根据勾股定理和表示出，进而得到，，然后证明出，得到，代入得到，然后在中利用勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点F，过点A作交于点G， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线，用未知数表示出各边． 10．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 11．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 12．如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 13．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过点作于点，由坡度的定义得，求得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过点作于点， 斜面坡度为， ， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 解得： 故选：C． 14．为了吸引更多的游客前来旅游，某景区采取了一系列的景区提升改造策略，景区的观光扶梯改造为改造项目之一．如图，为原扶梯的截面图，其中，．为了增强游客的体验感，拟在扶梯顶部建一个长米的观景平台，即米；为了改善扶梯的安全性能，拟将扶梯与地面的夹角改造为，即．图中，且，，三点共线，．通过计算发现调整后米，求扶梯的高．（结果精确到米，，，，）    【答案】米 【分析】过点作于点，根据，及即可判断四边形是平行四边形，进一步四边形是矩形，即可得到，，通过设，在中根据三角函数即可得到，进一步得到，在中根据三角函数即可得到，再根据，建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在，， ∴， ∴， 在，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴扶梯的高约为米．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键添加适当的辅助线，构造直角三角形． 15．水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、坡度的定义（是指地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，即坡角的正切值），熟记特殊角的三角函数值和坡度的定义是解题关键． （1）分别过、作下底的垂线，设垂足为、．在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度的值，也就得到了的长；以为底，为高即可求出的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积． （2）在中，由勾股定理求的长，即可得到的长；中，根据、的长即可求得坡角的正切值，即坡面的坡度． 【详解】（1）过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为： ． （2）在中，， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 16．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 【答案】建筑物的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，根据正切的含义，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：作于E点，作于F点，如图，设，， 则，，， 由勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴建筑物的高度约为米． 17．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 18．某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长， （2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，    在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴点到水平地面的距离米． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：建筑物高约米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键． 19．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)上升的高度为6米 (2)大树的高度约为24米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形函数的相关定义和运算是解题关键． （1）作于，根据题意可得，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得，进一步可得，，然后利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：作于，如图所示， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：乙同学从点到点的过程中，他上升的高度为6米； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴在矩形中，，， 在中，， ∵， ∴， 解得 ， 答：大树的高度约为24米． 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 20．如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 21．如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，易得四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案． 【详解】解：由题意得：四边形是矩形， ， 在中，， ， 答：乙建筑物的高为． 22．某综合实践研究小组为了测量广场上空气球离地面的高度，已知水平面，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点处分别测得气球的仰角为，为，已知，求气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：）    【答案】m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题，作，可得，进一步得，根据即可求解. 【详解】解：如图所示：作，    设， ∵ , ∴ ∴ ∵ ， ∴ 解得： 即：气球离地面的高度为m 23．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 两楼之间的距离为； （2）解：在中，，， ， ， 大厦的高度约为． 24．如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为． (1)求点A离地面的高度； (2)求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含的直角三角形等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，含的直角三角形是解题的关键． （1）由题意知，，，，，则； （2）由题意知，，，则，根据飞船从A处到B处的平均速度为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∴， ∴点A离地面的高度为； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴飞船从A处到B处的平均速度为 ． 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 25．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为，楼间距为，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为，已知，（参考数据，） (1)求楼间距；（结果保留根号） (2)王老师家住B栋3楼，点M处为地面1楼，楼房层高米，问王老师家能否照到春分日正午的太阳?并说明理由． 【答案】(1) (2)王老师家不能照到春分日正午的太阳，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． （1）连接，易得，，根据，进行求解即可； （2）求出的长，再求出王老师家离地面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则，则：四边形为矩形， ∴， 由题意得，，． ∴，， 又∵， ∴， 解得， ∴； （2）不能．理由如下： 由（1）得，， ∴， 王老师家距地面的距离为：， ∵， ∴王老师家不能照到春分日正午的太阳． 26．在一次户外综合实践活动中，九年级数学兴趣小组用无人机航拍测量公园内一条笔直的骑行步道的长度．由于无人机控制距离有限，为了安全，不能直接测量，他们采用如下方法：如图，在起点A的正上方点C处测得终点B的俯角；接着无人机在C处往正东方向水平飞行到达点D处，此时测得终点B的俯角． (1)________度；________度． (2)求骑行步道的长度．（结果保留根号） 【答案】(1)30，15 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的性质和判定，解答本题的关键根据俯角构造直角三角形． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点B作于点E．设，由是等腰直角三角形得出，根据列方程求出的值，然后证明出四边形是矩形，进而求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴； （2）解：过点B作于点E．设． ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点C起点A的正上方 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴． 27．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）    (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 在中，， 屋顶到横梁的距离为； （2）解：过点作，垂足为，如图所示：    则， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 经检验是原方程的根， ， ， 房屋的高约为． 28．如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【答案】(1)、两地的距离约为339.4米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解； （2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意知，， ，， ，， 在中，米， （米）， （米）． 答：、两地的距离约为339.4米； （2）解：过点作于点， 由（1）得（米）， ，，， ， ， 在中，，， （米）， 在中，， （米）， （米）． 29．如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）． 【答案】处距离灯塔的距离约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过作，垂足为，根据题意将和用表示出来，再结合得出方程，求得，在中，利用正弦求出． 【详解】解：如图，过作，垂足为， 根据题意，，，， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：处距离灯塔的距离约为． 30．由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于年月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，航母再航行海里到达处，此时测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．参考数据：，，，，， 【答案】还需航行的距离的长约为海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 设海里，利用正切的定义用表示出、，根据题意列出方程、解方程即可解答． 【详解】解：由题意可得，， 设海里， 在中，， ， 在中，， ， 由题意得，， 解得: ． 答：还需航行的距离的长约为海里． 31．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决． （1）过点C作于点D，分别在和中，解直角三角形即可求得的长； （2）由题意可得及的长，则计算即可求得结果． 【详解】（1）解：过点C作于点D， 由题意得，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故景点B和C处之间的距离为； （2）由题意得：，， ， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约． 32．如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 【答案】(1)点到直线的距离为 (2)现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，于，证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出的长即可得解； （2）解直角三角形得出的长，在求出的长，由勾股定理得出的长，最后由计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，于，   ， 则， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； （2）解：在中，，，， ∴， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 解直角三角形及应用（5个考点） 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【考点1 解直角三角形的相关计算】 1．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 2．以为直径的上三点A、B、C，作的平分线交于D点，如图，过点D作交的延长线于E点，交的延长线于F点，若    （1）若，则的弧长为 ． （2）若，则 ． 3．如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 4．在中，，于点，点为线段的中点，． (1)求的长； (2)求的值． 5．如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【考点2 解非直角三角形】 6．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 8．如图，在中，，，，则边的长为 ． 9．如图中，，在上，且，交于点，若，，则的长为 ． 10．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 11．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 12．如图，在中，，求和的长． 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 13．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 14．为了吸引更多的游客前来旅游，某景区采取了一系列的景区提升改造策略，景区的观光扶梯改造为改造项目之一．如图，为原扶梯的截面图，其中，．为了增强游客的体验感，拟在扶梯顶部建一个长米的观景平台，即米；为了改善扶梯的安全性能，拟将扶梯与地面的夹角改造为，即．图中，且，，三点共线，．通过计算发现调整后米，求扶梯的高．（结果精确到米，，，，）    15．水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 16．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 17．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 18．某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 19．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 20．如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 21．如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？ 22．某综合实践研究小组为了测量广场上空气球离地面的高度，已知水平面，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点处分别测得气球的仰角为，为，已知，求气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：）    23．如图，小明家所在居民楼高为，从楼顶C 处测得另一座大厦顶部A的仰角α是 ，大厦底部 B的俯角β是． (1)求两楼之间的距离； (2)求大厦的高度． (结果保留整数，参考数据：： ，，) 24．如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为． (1)求点A离地面的高度； (2)求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值） 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 25．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为，楼间距为，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为，已知，（参考数据，） (1)求楼间距；（结果保留根号） (2)王老师家住B栋3楼，点M处为地面1楼，楼房层高米，问王老师家能否照到春分日正午的太阳?并说明理由． 26．在一次户外综合实践活动中，九年级数学兴趣小组用无人机航拍测量公园内一条笔直的骑行步道的长度．由于无人机控制距离有限，为了安全，不能直接测量，他们采用如下方法：如图，在起点A的正上方点C处测得终点B的俯角；接着无人机在C处往正东方向水平飞行到达点D处，此时测得终点B的俯角． (1)________度；________度． (2)求骑行步道的长度．（结果保留根号） 27．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）    (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 28．如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 29．如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）． 30．由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于年月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，航母再航行海里到达处，此时测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．参考数据：，，，，， 31．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 32．如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$