1.2 解直角三角形及应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.2 解直角三角形及应用 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 知识点1 ：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， (1) 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【典例1】如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【变式1-1】如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【考点2 解非直角三角形】 【典例2】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式2-2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【变式2-3】如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【变式3-1】如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且． (1)求新坡面的坡比以及新坡面的长； (2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？ 【变式3-2】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【变式3-3】图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，） (1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数； (2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积． 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【典例4】某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，求旗杆的高度．    【变式4-1】某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【变式4-2】 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为，测得点B的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度（结果保留整数．参考数据：，，）． 【变式4-3】如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【典例5】如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里． (1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，） 【变式5-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【变式5-2】为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【变式5-3】小亮为测量某铁桥的长度，乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时，在A处发现桥的起点B在A点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进146米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东的方向上，求该桥的长度．（结果保留整数，参考数据：) 【答案】米 一、单选题 1．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 5．如图是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部A处的仰角为，则白塔的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 8．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 9．如图，在中，，是的中点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 10．某小区打算在一块长，宽的矩形空地上设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计），如图所示．已知规划的倾斜式停车位每个车位长，宽，中间安全空间距离不小于，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 二、填空题 11．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为 米． 12．如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 13．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 14．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 15．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 三、解答题 16．为传承酒泉文明、弘扬民族精神．某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼（如图①）高度的实践活动，测量鼓楼高度的实践报告如图②，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；前进了14米到达A处（测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．计算鼓楼的高度（结果保留整数）（，，，，，．） 17．如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 18．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 解直角三角形及应用 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【考点2 解非直角三角形】 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 知识点1 ：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， (1) 【考点1 解直角三角形的相关计算】 【典例1】如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：C． 【变式1-1】如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形是矩形，， ， ， 在中，， ， 是的中点 ， 在中，， ， 故选：D 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，利用菱形的性质，直角三角函数解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵菱形，，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-3】如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义． 根据算出，再算出，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【考点2 解非直角三角形】 【典例2】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式2-2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【变式2-3】如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 【考点3 解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ； (2)改建后需占路面宽度 的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 【变式3-1】如图，为一个斜面，坡比．斜面的高．为了减小小球下滑的速度，将坡面换成新坡面，且． (1)求新坡面的坡比以及新坡面的长； (2)原坡面的底部距离铁板的距离为．经过实验，坡面底部与铁板的距离必须大于，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面静止滑下，会不会与铁板相撞？ 【答案】(1)新坡面的坡比， (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的坡角即正切值，勾股定理，线段的和与差，三角形外角性质，等腰三角形性质，理解坡角的概念是解题的关键． （1）根据坡比得到，利用三角形外角性质得到，利用等腰三角形性质得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，即可得到新坡面的坡比以及新坡面的长； （2）根据题意得到，再与进行比较判断，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 新坡面的坡比； 新坡面的长为：； （2）解：由题知，， ， ， ， 小球从新坡面静止滑下，会与铁板相撞． 【变式3-2】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 【变式3-3】图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，） (1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数； (2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用． （1）如图，过C作于F，于G，解直角三角形即可得到结论； （2）过M作于，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）如图，过C作于F，于G， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． （2）过M作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 【考点4 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 【典例4】某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，求旗杆的高度．    【答案】18米 【分析】该题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质和判定，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线． 如图，过点D作于点H，则四边形是矩形，设，在中，求出，得出，，在中，求出，根据，求出，即可求解； 【详解】解：如图，过点D作于点H， 则四边形是矩形，    设， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 答：旗杆的高度为． 【变式4-1】某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长， （2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，    在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴点到水平地面的距离米． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：建筑物高约米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键． 【变式4-2】 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为，测得点B的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度（结果保留整数．参考数据：，，）． 【答案】居民楼的高度约为 【分析】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．过点C作于点E，则，先证明四边形是矩形，，在中，，，在中，，，求得，进而得到居民楼的高度． 【详解】解：如图，过点C作于点E，则， 由题意可知， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：居民楼的高度约为． 【变式4-3】如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)上升的高度为6米 (2)大树的高度约为24米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形函数的相关定义和运算是解题关键． （1）作于，根据题意可得，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得，进一步可得，，然后利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：作于，如图所示， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：乙同学从点到点的过程中，他上升的高度为6米； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴在矩形中，，， 在中，， ∵， ∴， 解得 ， 答：大树的高度约为24米． 【考点5 解直角三角形应用-方向角问题】 【典例5】如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里． (1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，） 【答案】(1)此时货轮与护航舰相距海里 (2)继续航行2小时，护航舰在灯塔P北偏东方向 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）如图1，过点P作，过点P作于点C，在中，算出海里，海里，在中，算出海里，即可求解； （2）如图2，在（1）的基础上，护航舰由B航行到处，由题意可知，在中，算出海里，解出（海里），即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作，过点P作于点C， ∴． 由题意可知：，，海里， ∴，． 在中，，即， ∴海里， ，即， ∴海里， 在中，，即， ∴海里， ∴（海里）． 答：此时货轮与护航舰相距海里． （2）解：如图2，在（1）的基础上，护航舰由B航行到处，由题意可知． ∴． 在中，，即， ∴海里， ∴（海里）， （小时）， 答：继续航行2小时，护航舰在灯塔P北偏东方向． 【变式5-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【答案】(1)渔船航行海里与小岛的距离最近． (2)救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题： （1）过点作于点，根据题意可得，解直角三角形求出的长即可； （2）解直角三角形得到的度数，进而求出的度数和的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示． 由题意，知． 在中，，海里， ∴海里． 答：渔船航行海里与小岛的距离最近． （2）解：由（1）得海里， ∵海里， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，海里， ∴海里． 答：救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【变式5-2】为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)海监船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题； （1）利用三角形的外角性质结合已知条件即可解决问题； （2）作于．求出的值即可判定． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，，， ， 故的度数为； （2）由（1）可知， （海里） 在中， （海里）， ， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【变式5-3】小亮为测量某铁桥的长度，乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时，在A处发现桥的起点B在A点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进146米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东的方向上，求该桥的长度．（结果保留整数，参考数据：) 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 过作于，过C作于，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过作于，过C作于， ∴， 有题意可得米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴米， ∴(米)， 答：桥的长度约为264米． 一、单选题 1．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理．先利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为米， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：A． 3．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 4．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 5．如图是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义．根据余弦定义：即可解答． 【详解】解：， ， 米， 米； 故选：D． 6．福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部A处的仰角为，则白塔的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考解直角三角形应用，关键在于能熟练地在不同直角三角形中解直角三角形． 过点作，垂足为，由中，，，，结合米，即得米． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， （米， 米， 白塔的高度为米． 故选：A． 7．如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义． 根据算出，再算出，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交直线于点， 在中利用坡度的定义求得的长，则即可求得，然后在直角中利用三角函数求得的长，进而求得的长. 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米)， 故选： B. 9．如图，在中，，是的中点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．过作于，由锐角的正切求出的长，由勾股定理求出长，由的正切，勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：过作于， 是的中点， ， ，，， ， ， ， ， ， 令，， ， ， ， ． 故选：B 10．某小区打算在一块长，宽的矩形空地上设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计），如图所示．已知规划的倾斜式停车位每个车位长，宽，中间安全空间距离不小于，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点作，交的延长线于点，求出，进一步求出，从而求出一侧可设6个停车位，再乘以2即可得到结果． 【详解】解，如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意得，， 由勾股定理得，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故取整数6， ∵另一侧与其对称， ， 故选：C． 二、填空题 11．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为 米． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角的问题，以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形，难度不大．过点作于点，利用直角三角形的解法得出，进而解答即可． 【详解】解：过点作于点， 当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为， 米，， （米）， 旗杆的高度（米）， 故答案为：． 12．如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 13．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角找出直角三角形各边之间的联系及熟练掌握特殊角的三角函数值．由题意可知：，再在中，根据，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 在中， ∴ 故答案为：． 14．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可． 【详解】解：如图， 设，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 15．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 三、解答题 16．为传承酒泉文明、弘扬民族精神．某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼（如图①）高度的实践活动，测量鼓楼高度的实践报告如图②，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；前进了14米到达A处（测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．计算鼓楼的高度（结果保留整数）（，，，，，．） 【答案】24米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 设，则，由锐角三角函数可得，从而可得，解得，即可求得结果． 【详解】解：设，则， 在中，， ∵， ， 在中，， ∵， ， ∴，解得：， 米． 故鼓楼的高度为24米． 17．如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 18．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$