第二十五章概率初步（B卷 培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第二十五章 概率初步（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列事件中,是必然事件的是(　　) A．两条线段可以组成一个三角形 B．400人中有两个人的生日在同一天 C．早上的太阳从西方升起 D．打开电视机,它正在播放动画片 2．（本题3分）从3个男同学和n个女同学中，随机叫1个人，若叫到男同学的概率为，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 3．（本题3分）下列说法正确的是(    )． A．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1 B．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业 C．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀) D．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面 4．（本题3分）有10张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字：1至10，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取三张卡片a，b，c，则这三张卡片a，b，c的数字正好是直角三角形的三边长的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）在一个不透明的口袋中，放入五个完全相同的小球，每个小球上分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”中的一个（不允许重复），从口袋里同时摸出两个小球，则下列事件是随机事件的是（    ） A．两个小球上数字之和等于1 B．两个小球上数字之和大于1 C．两个小球上数字之和等于9 D．两个小球上数字之和大于9 6．（本题3分）如图所示是用相同的正方形砖铺成的地板，一宝物藏在某一块下面，宝物在白色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图所示，随机闭合开关中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）    A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有-2，-1，1，将三张卡片背面朝上洗匀，从中抽出一张，并记为x，然后从余下的两张中再抽出一张，记为y，则点（x，y）在直线y=-x-1上方的概率为（ ） A． B． C． D．13 9．（本题3分）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 . 12．（本题3分）一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有1，﹣2，3，把这只小球的标号数字记作一次函数y＝kx＋b中的k，然后放回袋中搅匀后，把这只小球的标号数字记作一次函数y＝kx＋b中的b．则一次函数y＝kx＋b的图象经过一，二，三象限的概率 ． 13．（本题3分）“十·一”期间，某服装店为了吸引更多的顾客购买服装，在．店门口设计了一个转转盘促销活动：当顾客转动转盘，根据指针指示返还相应的现金，若指针指在分界线时，需要重新转动，直到指向数字为止，购买几件服装就转动几次转盘．李女士购买了两件服装，她得到返还的现金数不低于元的概率是 ． 14．（本题3分）为了估计一个水库中鱼的数目，首先从水库的不同地方捕出一些鱼，在这些鱼的身上做上记号，并记录出的鱼的数目m然后把鱼放回水库里，过一段时间后，在同样的地方再捕出一些鱼，记录这些鱼的数目P，数出其中带有记号的鱼的数目n，这样可以估计水库中鱼的数目为 . 15．（本题3分）五张背面完全相同且不透明的卡片分别写有，，0，1，2，充分洗匀并任意抽取一张读数记为a，关于x的分式方程有正整数解的概率为 ． 16．（本题3分）从，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 18． （本题4分）现有一枚均匀的正方体骰子，甲乙两人做掷骰子游戏，游戏规则是：若朝上的点数小于3，则甲获胜；若朝上的点数大于3，则乙获胜．你认为这个游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？若不公平，请你设计一个游戏规则，使游戏对甲乙双方是公平的． 19．（本题6分）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在． （1）估计摸到黑球的概率是 ； （2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值． 20．（本题6分）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案． 甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由） 21．（本题8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球 的次数m 58 96 116 295 　 　 601 摸到白球 的频率m/n 0.58 0.64   　 　 0.59 0.605 0.601 （1）请填出表中所缺的数据； （2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　（精确到0.01） （3）请据此推断袋中白球约有　 　只． 23．（本题10分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表： 摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为8”出现的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150 “和为8”出现的频率 (1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值． 24．（本题12分）党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，并绘制出如图的统计图1和图2．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为______°，并将条形统计图补充完整． (2)若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100，求这组数据的中位数和众数． (3)若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%确定最后得分，达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． (4)经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表法或画树状图的方法求冠亚军恰好是一男一女的概率． 25．（本题12分）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 概率初步（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列事件中,是必然事件的是(　　) A．两条线段可以组成一个三角形 B．400人中有两个人的生日在同一天 C．早上的太阳从西方升起 D．打开电视机,它正在播放动画片 【答案】B 【详解】A. 两条线段可以组成一个三角形是不可能事件，故错误，不符合题意； B. 400人中有两个人的生日在同一天是必然事件，故正确，符合题意； C. 早上的太阳从西方升起是不可能事件，故错误，不符合题意； D. 打开电视机，它正在播放动画片是随机事件，故错误，不符合题意； 故选B． 2．（本题3分）从3个男同学和n个女同学中，随机叫1个人，若叫到男同学的概率为，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】B 【分析】由男同学的数量除以总人数等于，再建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：，经检验符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是已知概率求数量，熟记概率公式是解本题的关键． 3．（本题3分）下列说法正确的是(    )． A．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1 B．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业 C．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀) D．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面 【答案】B 【分析】根据概率的意义逐项分析即可得到正确结论． 【详解】选项A，抛掷一次硬币，都有2种情况，即正、反，所以每次掷出硬币时出现正面朝上的概率为0.5，选项A错误； 选项B，“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业，选项B正确； 选项C，一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后不一定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)，选项C错误； 选项D，抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，不一定一次出现正面，一次出现反面，选项D错误. 故选B. 4．（本题3分）有10张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字：1至10，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取三张卡片a，b，c，则这三张卡片a，b，c的数字正好是直角三角形的三边长的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题能组成直角三角形的数组只有3，4，5，和6，8，10．由抽到3，4，5有3×2×1= 6种可能；抽到6，8，10也有6种可能；抽出三张牌共有10×9×8= 720种可能；根据概率公式即可求解． 【详解】1~10中能组成直角三角形的数组只有3，4，5， 和6，8，10. 抽到3，4，5有3×2×1= 6种可能； 抽到6，8，10也有6种可能； 抽出三张牌共有10×9×8= 720种可能； 数字正好是直角三角形的三边长的概率是： 故选：B 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率的求法，等可能事件的概率常用公式：P(A)等于事件A可能出现的次数与所有可能出现的次数的比值，进行求解． 5．（本题3分）在一个不透明的口袋中，放入五个完全相同的小球，每个小球上分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”中的一个（不允许重复），从口袋里同时摸出两个小球，则下列事件是随机事件的是（    ） A．两个小球上数字之和等于1 B．两个小球上数字之和大于1 C．两个小球上数字之和等于9 D．两个小球上数字之和大于9 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、两个小球上数字之和等于1是不可能事件； B、两个小球上数字之和大于1是必然事件； C、两个小球上数字之和等于9是随机事件； D、两个小球上数字之和大于9是不可能事件； 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．（本题3分）如图所示是用相同的正方形砖铺成的地板，一宝物藏在某一块下面，宝物在白色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】统计出图中正方形砖的总块数，再统计出白色砖的总块数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：图中正方形砖共18块， 白色砖共10块， 故宝物藏在白色区域的概率是：=． 故选C． 【点睛】此题考查了几何概率的求法，趣味性强，关键是统计出白色砖的块数与砖总块数，再计算其比值． 7．（本题3分）如图所示，随机闭合开关中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率． 【详解】解：画树状图，如图所示：    一共有6种等可能的情况，其中能让两盏灯泡同时发光的情况有2种， 则P（能让两盏灯泡同时发光）． 故选：C． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键． 8．（本题3分）如图，在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有-2，-1，1，将三张卡片背面朝上洗匀，从中抽出一张，并记为x，然后从余下的两张中再抽出一张，记为y，则点（x，y）在直线y=-x-1上方的概率为（ ） A． B． C． D．13 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意可得：所有可能出现的情况为（-2，-1）；（-2,1）；（-1，-2）；（-1,1）；（1，-2）和（1，-1）6种情况，符合条件的有（-2,1）（-1,1）和（1，-1）3种，则P=. 考点：概率的计算 9．（本题3分）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 10．（本题3分）如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率． 【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设， ， ∴， 解得：，， ∴M部分面积与整个圆面积的比：， ∴等于， 故选A． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 . 【答案】 【分析】由在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率 【详解】∵在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，共10个球且它们除颜色外其它都相同，∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是=． 故答案为． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 12．（本题3分）一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有1，﹣2，3，把这只小球的标号数字记作一次函数y＝kx＋b中的k，然后放回袋中搅匀后，把这只小球的标号数字记作一次函数y＝kx＋b中的b．则一次函数y＝kx＋b的图象经过一，二，三象限的概率 ． 【答案】 【分析】画出树状图展示所有9种可能的结果数，再找出k>0，b>0的结果数，然后根据一次函数和概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有9种可能的结果数，其中k>0，b>0的结果数为4 所以一次函数经过一、二、三象限的概率为 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了一次函数的性质，掌握这些是本题解题关键． 13．（本题3分）“十·一”期间，某服装店为了吸引更多的顾客购买服装，在．店门口设计了一个转转盘促销活动：当顾客转动转盘，根据指针指示返还相应的现金，若指针指在分界线时，需要重新转动，直到指向数字为止，购买几件服装就转动几次转盘．李女士购买了两件服装，她得到返还的现金数不低于元的概率是 ． 【答案】 【分析】列举出所有情况，让她获得现金数不低于50元的情况数除以总情况数即为所求的概率 【详解】解：由题意得，李女士能转动2次转盘，2次可能得到的情况为：(10，10)，(10，20)，(10，30)，(10，40)，(20，10)，(20，20)，(20，30)，(20，40)，(30，10)，(30，20)，(30，30)，(30，40)，(40，10)，(40，20)，(40，30)，(40，40)共计16种， 她获得现金数不低于50元的情况数：1+2+3+4=10 ∴李女士获得现金数不低于50元的概率是：10÷16= 故答案为： 【点睛】本题考查的是列举法求两步事件的概率，注意随机转两次转盘，属于放回事件． 14．（本题3分）为了估计一个水库中鱼的数目，首先从水库的不同地方捕出一些鱼，在这些鱼的身上做上记号，并记录出的鱼的数目m然后把鱼放回水库里，过一段时间后，在同样的地方再捕出一些鱼，记录这些鱼的数目P，数出其中带有记号的鱼的数目n，这样可以估计水库中鱼的数目为 . 【答案】 【分析】设鱼塘里约有鱼x条，由于从鱼塘里随机捞出m条鱼做上记号，然后放回鱼池里去，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再在同样的地方再捞出p条鱼，其中带有记号的鱼有n条，由此可以列出方程n：p= m：x，解此方程即可求解． 【详解】设整个鱼塘约有鱼x条，由题意得： n：p= m：x， 解得：x=． 答：整个鱼塘约有鱼条． 故答案为． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：当事件的概率不易求出时，可根据其中的某事件发生的频率来估计这个事件的概率． 15．（本题3分）五张背面完全相同且不透明的卡片分别写有，，0，1，2，充分洗匀并任意抽取一张读数记为a，关于x的分式方程有正整数解的概率为 ． 【答案】 【分析】解分式方程得出，根据分式方程有正整数解得出且，再求出的值，利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 分式方程有正整数解， 且， 且， 或2， 使分式方程有正整数解的的值有两个， 的值使关于的分式方程有正整数解的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解、求概率熟练掌握概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键． 16．（本题3分）从，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为 【答案】 【分析】分别令为，1，2，算出一次函数与坐标围成的三角形的面积，在将满足面积为的a的取值，代入不等式，求解不等式，得出最终满足要求的a的值的个数，再除以3即可求解． 【详解】当时，可化为， 当时，， 当时，， 则：与x轴交点为，与y轴交点为， 即所围成的三角形面积为； 当时，可化为， 同理可求得：与x轴交点为，与y轴交点为， 即所围成的三角形的面积为； 当时，可化为， 同理可求得：与x轴交点为，与y轴交点为， 即所围成的三角形的面积为，(舍去)； 当时，不等式组可化为， 不等式组的解集为，无解； 当时，不等式组可化为， 解集为，解得； 则满足条件的a的数只有1， ∵共计有，1，2这三个数字， ∴使关于x的一次函数的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为P=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式的应用以及一次函数图象上点的坐标的特征．用到的知识点为：概率=所求情况数与总数之比．本题还考查了解一元一次不等式组的问题．题目难度不大，但是解答过程较为复杂，注意细心计算． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 【答案】第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率P＝． 【分析】列举出所有情况，看第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】列表如下：   第一次 第二次 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2) 3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3) 4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4) 5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6．5) 6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6) 由表知第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率P＝＝． 【点睛】考查概率的求法及列表法与树状图法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数是解决本题的关键． 18．（本题4分）现有一枚均匀的正方体骰子，甲乙两人做掷骰子游戏，游戏规则是：若朝上的点数小于3，则甲获胜；若朝上的点数大于3，则乙获胜．你认为这个游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？若不公平，请你设计一个游戏规则，使游戏对甲乙双方是公平的． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由与新规则见解析 【分析】根据题意求出甲获胜的概率和乙获胜的概率，二者比较一下大小得出结论；再设计一个游戏规则，使甲、乙获胜的概率相等即可． 【详解】解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 投掷一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数所有可能是：1、2、3、4、5、6， 则甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ， 游戏规则不公平； 设计一个公平的游戏规则：若朝上的点数小于等于3，则甲获胜；若朝上的点数大于3，则乙获胜；理由如下： 甲获胜的概率，乙获胜的概率为， ， 游戏对甲乙双方是公平的． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 19．（本题6分）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在． （1）估计摸到黑球的概率是 ； （2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值． 【答案】（1）；（2）n＝6 【分析】（1）取出黑球的概率＝1﹣取出红球的概率； （2）首先根据红球的个数和摸出红球的概率求得黑球的个数，然后根据概率公式列式求解即可． 【详解】解：（1）P（取出黑球）＝1﹣P（取出红球）＝1﹣＝； 故答案为：； （2）设袋子中原有黑球x个， 根据题意得：＝， 解得：x＝18， 经检验x＝18是原方程的根， 所以黑球有18个， ∵又放入了n个黑球， 根据题意得：， 解得：n＝6． 经检验：符合题意 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 20．（本题6分）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案． 甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由） 【答案】（1）不公平；（2）不公平． 【分析】(1)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． (2)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． 【详解】(1)、甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法， 小明 小刚 2 3 4 5 2 （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） 所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平； (2)、不公平．理由如下： 小明 小刚 2 3 4 2 （2，3） （2，4） 3 （3，2） （3，4） 4 （4，2） （4，3） 所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平． 21．（本题8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球 的次数m 58 96 116 295 　 　 601 摸到白球 的频率m/n 0.58 0.64   　 　 0.59 0.605 0.601 （1）请填出表中所缺的数据； （2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　（精确到0.01） （3）请据此推断袋中白球约有　 　只． 【答案】（1）填表见解析（2）0.60（3）12. 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量=频率直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数. 【详解】解：（1）填表如下： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （2）答案为：0.60； （3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12（只）． 22．（本题10分）已知M(x，y)是平面直角坐标系xOy中的点，其中x是从l、2、3三个数中任取的一个数，y是从l、2、3、4四个数中任取的一个数 . (l)计算由x、y确定的点M(x，y)在函数y= -x+5的图象上的概率； (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜；若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由. 若不公平，请写出公平的游戏规则； (3)定义“点M(x，y)在直线x+y=n上”为事件A(2≤n≤7，n为整数)，则当A的概率最大时，n的所有可能的值为 .（不需要解答过程） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）4、5 . 【分析】（1）先确定出由x、y确定的点有多少个，再确定出符合题意的点M的坐标有多少个，再结合概率公式即可解答； （2）分别求出两人胜的概率，进行比较可判断游戏是否公平，再设计出使得两个人胜的概率都相等的规律即可； （3）分别求出使得n=2、3、4、5、6、7时事件A的概率，再进行比较分析即可解答. 【详解】解：（1）由x、y确定的点有3×4=12（个）， 其中在y=-x+5的图象上的有点M的坐标有（1，4），（2，3），（3，2）， 则P=； （2）P（小明胜）=，P（小红胜）=； 游戏规则改为：若x，y满足xy＞6则小明得， 若x、y满足xy＜6则小红得； （3）4、5 . 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，列举法求概率及游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一次函数图像上点的坐标满足函数关系式． 23．（本题10分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表： 摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为8”出现的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150 “和为8”出现的频率 (1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________； (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值． 【答案】(1) (2)不可以取4，理由见解析，x=6 【分析】（1）根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可； （2）根据小球分别标有数字3、3、5、x，用列表法或画树状图法说明当x=4时，得出数字之和为9的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：利用图表得出： 实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是， 故答案为：； （2）解：不可以取4．理由如下： ∵当x=4时， 画树状图如下： ∴两个小球上数字之和为9的概率是：=≠， 当x=6时，两个小球上数字之和为9的概率是． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率以及利用树状图或列表法求概率，正确列表是解题的关键． 24．（本题12分）党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，并绘制出如图的统计图1和图2．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为______°，并将条形统计图补充完整． (2)若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100，求这组数据的中位数和众数． (3)若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%确定最后得分，达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． (4)经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表法或画树状图的方法求冠亚军恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)54，图见解析 (2)众数为96，中位数为 (3)小敏能参加决赛 (4) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数; （1）先用组的人数除以组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算组人数所占的百分比，最后用360°乘以组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以组所占百分比，即可求出组的人数，即可补充条形统计图; （2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答即可； （3）将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答； （4）画出树状图，根据概率公式求解即可； 【详解】（1）参加此次竞赛总人数：（人）， A组所占百分比：， A组所在扇形的圆心角度数， B组人数：（人）， 条形统计图如图所示：    故答案为：54． （2）排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100， ∴中位数为：， ∵96出现次数最多， ∴众数为96， 综上：众数为96，中位数为； （3）小敏最后得分：， ∴小敏能参加决赛． （4）画树状图如下：    ∴一共有20种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有12种情况， ∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为． 25．（本题12分）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 【答案】(1)，树状图见详解； (2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数； (3)2次． 【分析】（1）根据题意，绘制树状图，分析可知小军行动路线共有12种可能情况，可进入中心的有4种可能情况，进而计算进入迷宫中心的概率． （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． （3）可设小军次进入迷宫中心，根据题意设不等式，解不等式即可． 【详解】（1）树状图如下： 由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为． （2）不公平，理由如下： 方法一：由树状图可知，， ，． 所以不公平． 方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平． 方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率． ，， 所以不公平． 要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数． （3）设小军次进入迷宫中心，则， 解之得． 所以小军至少2次进入迷宫中心． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$