第二十五章概率初步（A卷 提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第二十五章 概率初步（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列事件属于必然事件的是（　　） A．经过有交通信号的路口，遇到红灯 B．任意买一张电影票，座位号是双号 C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落 D．三角形中，任意两边之和大于第三边 2．（本题3分）下列事件中，是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．水涨船高 C．拔苗助长 D．瓮中捉鳖 3．（本题3分）下列说法正确的是（　　） A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B．“367人中有2人同月同日生”为必然事件 C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 4．（本题3分）一个不透明的盒子装有个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为（    ） A．8 B．10 C．20 D．40 5．（本题3分）为加强疫情防控，某社区成立了A、B、C三个志愿者小组，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P(摸到红球）等于（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，一只松鼠先经过第一道门（，或），再经过第二道门（或）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（本题3分）下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．    下面有四个推断： ①当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的概率是0.860； ②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852； ③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵； ④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确 其中合理的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．（本题3分）从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）从长度分别为3，5，8，9的四条线段中随机抽取三条，能构成三角形的概率是 ． 12．（本题3分）某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ． 13．（本题3分）现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ． 14．（本题3分）如图，在2×2网格中放置了三枚棋子，在其他格点处再放置1枚棋子，使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是 ． 15．（本题3分）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    16．（本题3分）有四张正面分别标有﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b，设P点的坐标为（a，b）．如图，点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率是 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？ 18．（本题4分）小王和小明用如图所示的同一个转盘进行“配紫色”游戏，游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则配成紫色；如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）小王赢，否则，小明赢． （1）请你通过列表法分别求出小王和小明获胜的概率． （2）你认为这个游戏公平吗?请说明理由． 下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． (1)计算表中a，b的值； (2)估计该麦种的发芽概率； (3)如果该麦种发芽后，只有的麦芽可以成活，现有麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？ 试验种子n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 1 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 1 a b 20．（本题6分）王老师将3个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组部分统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 127 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.254 0.253 ______ （1）根据上表数据计算= ．估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ．（精确到0. 01） （2）估算袋中白球的个数． 21．（本题8分）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． (1)求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． (2)求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 22．（本题10分）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖． （1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来； （2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P． 23．（本题10分）2023年，央视举办的《主持人大赛》受到广泛的关注．某中学学生会就对《主持人大赛》节目的喜爱程度在校内对部分学生进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别记作A，B，C，D．根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)将条形统计图补充完整，并标明数据； (2)扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为______； (3)若选“不太喜欢”的人中有两名女生和两名男生，从选“不太喜欢”的人中挑选两名学生了解不太喜欢的原因，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中给定以下五个点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D,E(0,-6),从这五个点中选取三点,使经过三点的抛物线满足以y轴的平行线为对称轴.我们约定经过A,B,E三点的抛物线表示为抛物线ABE. (1)符合条件的抛物线共有多少条?不求解析式,请用约定的方法一一表示出来. (2)在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A,B,C,D,E代表以上五个点,玩摸球游戏,每次摸三个球.请问:摸一次,三球代表的点恰好能确定一条符合条件的抛物线的概率是多少? (3)小强、小亮用上面的五球玩游戏,若符合要求的抛物线开口向上,小强可以得1分;若抛物线开口向下,小亮得5分,你认为这个游戏谁获胜的可能性大一些?说说你的理由. 25．（本题12分） 活动1：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，计算甲胜出的概率．（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球） 活动2：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序： → → ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则第一个摸球的同学胜出的概率等于 ，最后一个摸球的同学胜出的概率等于 ． 猜想：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，n（n为正整数）的n个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系． 你还能得到什么活动经验？（写出一个即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 概率初步（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列事件属于必然事件的是（　　） A．经过有交通信号的路口，遇到红灯 B．任意买一张电影票，座位号是双号 C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落 D．三角形中，任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】必然事件就是一定会发生的事件，根据定义即可判断． 【详解】A、经过某一有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，故本选项错误； B、任意买一张电影票，座位号是双号，属于不确定性事件中的可能性事件，故本选项错误； C、向空中抛一枚硬币，不向地面掉落，是不可能事件，故本选项错误； D、三角形中，任意两边之和大于第三边为必然事件，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了随机事件，解题关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 2．（本题3分）下列事件中，是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．水涨船高 C．拔苗助长 D．瓮中捉鳖 【答案】A 【详解】A、是随机事件，故A选项符合题意； B、是必然事件，故B选项不符合题意； C、是不可能事件，故C选项不符合题意； D、是必然事件，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件的定义，解题的关键是熟练掌握随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（本题3分）下列说法正确的是（　　） A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B．“367人中有2人同月同日生”为必然事件 C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 【答案】B 【分析】根据可能性大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断． 【详解】检查某批次灯泡的使用寿命调查具有破坏性，应采用抽样调查，A错； 一年有366天所以367个人中必然有2人同月同日生，B对； 可能性是1％的事件在一次试验中有可能发生，故C错； 3，5，4，1，-2按从小到大排序为-2，1，3，4，5，3在最中间故中位数是3，D错． 故选B. 【点睛】区分并掌握可能性、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 4．（本题3分）一个不透明的盒子装有个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为（    ） A．8 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得，＝0.2， 解得，m＝20， 经检验m=20是所列方程的根且符合实际意义， 故选：C． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 5．（本题3分）为加强疫情防控，某社区成立了A、B、C三个志愿者小组，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用列表法列举即可解答． 【详解】根据题意列表如下： 由表可知总的组合结果有9种，两人选同一个小组的结果有3种， 即选到同一个小组的概率为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了用列举法求解概率的知识，按照题意准确作出列表是解答本题的关键． 6．（本题3分）一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P(摸到红球）等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】袋中有2个红球，3个蓝球和5个白球，故共有球10个，所以从中任意摸出一个球，则P(摸到红球）=，故选C． 7．（本题3分）如图，一只松鼠先经过第一道门（，或），再经过第二道门（或）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的结果数，再根据概率公式求解即可，熟练掌握用树状图或列表法求概率解题的关键． 【详解】画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的只有种结果， ∴松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率为， 故选：． 8．（本题3分）从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查概率的计算公式，设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，根据，，得出，则的可能取值有，，，最后逐一计算即可，熟记公式是解题的关键． 【详解】设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，则都为正整数，且，， ∵， ∴， ∴的可能取值有，，，， 当时，， ∴，只有种可能； 当时，， ∴，或，，有种可能； 当时，， ∴，，或，或，，有种可能； 当时，， ∴，或，或，或，，有种可能， 共种可能，其中恰好有张红桃的可能有种， ∴所求概率为， 故选：． 9．（本题3分）下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．    下面有四个推断： ①当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的概率是0.860； ②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852； ③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵； ④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确 其中合理的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案． 【详解】解：当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的频率是0.860，但概率不一定是0.860，故①错误； 随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852，故②正确； 试验条件下“移植成活”的概率是0.852，因此与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵，故③正确； 在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852不一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确，故④错误； 其中合理的是②③， 故选C． 【点睛】本题考查用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数p的附近，那么事件A发生的概率，掌握上述内容是解题的关键． 10．（本题3分）从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式组，再根据不等式组无解，分式方程有整数解即可得解． 【详解】解：， 由①得，x≤a， 由②得，x＞， 可见，x取-3，-2，-1，0时，不等式组无解； 解分式方程得， x=， 当a取-3，-1，1时，分式方程有整数解， 当a取-1时，分式方程x=2是增根． 综上，a取-3时，符合题意，P=． 故选A． 【点睛】本题考查简单事件的概率、不等式组以及分式方程，能求解分式方程是解题的关键． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）从长度分别为3，5，8，9的四条线段中随机抽取三条，能构成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数．再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组数，就可求出概率． 【详解】这四条线段中任取三条，所有的结果有： （3，5，8），（3，5，9），（5，8，9），（3，8，9） 共4个结果， 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 其中能构成三角形的有（5，8，9），（3，8，9）两种情况， 故能构成三角形的概率是， 故答案为． 【点睛】考查了概率的求法以及三角形的三边关系，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 12．（本题3分）某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ． 【答案】 【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右， 设草鱼的条数为x，可得： ； 解得：x=2400， 经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义 ∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 13．（本题3分）现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ． 【答案】/ 【分析】由平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆和菱形，利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是圆、菱形，概率是； 故答案为． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 14．（本题3分）如图，在2×2网格中放置了三枚棋子，在其他格点处再放置1枚棋子，使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据图形设计出第四枚棋子的位置，进而可得出答案. 【详解】 如图所示，使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是：＝，故答案为. 【点睛】本题主要考查了概率的求解，解本题的要点在于得到使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的情况数. 15．（本题3分）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    【答案】 【分析】直接由概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光， 任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果， 小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比． 16．（本题3分）有四张正面分别标有﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b，设P点的坐标为（a，b）．如图，点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率是 ． 【答案】 【分析】先确定抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），再利用树状图展示所有12种等可能的结果数，然后找出满足条件的P点的个数，再利用概率公式计算． 【详解】解：解方程组， 可得或， 所以抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4）， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）有4种，分别为（﹣1，1）、（0，1）、（0，2）、（1、2）， 所以点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率==． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？ 【答案】甲班成功的机会大，理由见解析. 【分析】首先分别求出在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手的概率，然后进行比较，哪个大在哪个班成功的机会大． 【详解】∵已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，甲班身高在160厘米以上的女同学3人，乙班身高在160厘米以上的女同学8人， ∴在甲班被抽到的概率为，在乙甲班被抽到的概率为， ∵＞， ∴在甲班被抽到的机会大． 18．（本题4分）小王和小明用如图所示的同一个转盘进行“配紫色”游戏，游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则配成紫色；如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）小王赢，否则，小明赢． （1）请你通过列表法分别求出小王和小明获胜的概率． （2）你认为这个游戏公平吗?请说明理由． 【答案】（1）小王获胜的概率为，小明获胜的概率为．（2）不公平，理由见解析 【分析】（1）求情况数与总情况数之比即可解决问题； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，通过（1）答案即可判断本题中即小王获胜与小明获胜的概率是否相等，即可得出结论． 【详解】解：（1） 第二次 第一次 红 黄 蓝 绿 红 （红红） （红黄） （红蓝） （红绿） 黄 （黄红） （黄黄） （黄蓝） （黄绿） 蓝 （蓝红） （蓝黄） （蓝蓝） （蓝绿） 绿 （绿红） （绿黄） （绿蓝） （绿绿） P小王胜=，P小明胜= 所以，小王获胜的概率为，小明获胜的概率为． （2）因为P小王胜=，P小明胜=，则， 所以这个游戏不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．（本题6分）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 1 4 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 1 a b (1)计算表中a，b的值； (2)估计该麦种的发芽概率； (3)如果该麦种发芽后，只有的麦芽可以成活，现有麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？ 【答案】(1)， (2)估计该麦种的发芽概率为 (3)有的麦种可以成活为秧苗 【分析】（1）用发芽频数除以实验种子数即可求得发芽频率； （2）观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率； （3）用小麦种子总重量乘以发芽率即可求得结果． 【详解】（1）解：计算表中，， 答：的值分别为，； （2）解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近， 所以该麦种的发芽概率约为， 答：该麦种的发芽概率为； （3）解：， 答：大约有千克的麦种可以成活为秧苗． 【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率． 20．（本题6分）王老师将3个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组部分统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 127 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.254 0.253 ______ （1）根据上表数据计算= ．估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ．（精确到0. 01） （2）估算袋中白球的个数． 【答案】（1）0.251，0.25；（2）9个 【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）用概率公式列出方程求解即可． 【详解】（1）251÷1000＝0.251； ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.251；0.25． （2）设袋中白球为x个， ＝0.25， 解得x＝9． 经检验，x=9是原方程的解， 答：估计袋中有9个白球， 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． 21．（本题8分）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． (1)求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． (2)求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法求概率，以及利用树状图法求概率，解题的关键在于根据题意得出比赛情况． （1）根据题意画出树状图，得到总的情况有种，其中甲得1分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题； （2）根据题意列举出两轮比赛情况（甲，乙），得到总的情况有种，其中乙得2分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题； 【详解】（1）解：根据题意画树状图如下： 由图知，总的情况有种，其中甲得1分的情况有种， “第一轮比赛后，甲得1分”的概率为． （2）解：根据题意可得两轮比赛情况（甲，乙）如下： 第一轮 第二轮 由上可知，总的情况有种，其中乙得2分的情况有种， “两轮比赛结束后，乙得2分”的概率为． 22．（本题10分）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖． （1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来； （2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P． 【答案】（1）列表见解析；（2）. 【分析】（1）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果； （2）根据概率公式进行解答即可． 【详解】（1）列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 （2）由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种，所以抽奖一次中奖的概率为：P==． 答：抽奖一次能中奖的概率为． 【点睛】考点：列表法与树状图法 23．（本题10分）2023年，央视举办的《主持人大赛》受到广泛的关注．某中学学生会就对《主持人大赛》节目的喜爱程度在校内对部分学生进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别记作A，B，C，D．根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)将条形统计图补充完整，并标明数据； (2)扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为______； (3)若选“不太喜欢”的人中有两名女生和两名男生，从选“不太喜欢”的人中挑选两名学生了解不太喜欢的原因，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图、利用树状图求概，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据等级的人数除以占的百分比求出调查的学生数，再求出等级以及等级的人数，再补全统计图即可； （2）用乘以比较喜欢所占的百分比即可； （3）利用树状图列出所有结果即可得到所求的概率． 【详解】（1）解：本次被调查对象共有：（人， 被调查者“比较喜欢”B等级的人数有：（人； 等级的人数有：（人， 补充完整如图所示； （2）解：由（1）可知等级B的人数为20人， 则扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为 故答案为：； （3）解：两名女生记为、，两名男生记为、，用树状图表示从四名学生中任取两名学生的情况如图所示： 从四名学生中任取两名学生的情况共有12种结果， 而这两名学生恰好是一男一女的共有8种结果， 故所求的概率为． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中给定以下五个点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D,E(0,-6),从这五个点中选取三点,使经过三点的抛物线满足以y轴的平行线为对称轴.我们约定经过A,B,E三点的抛物线表示为抛物线ABE. (1)符合条件的抛物线共有多少条?不求解析式,请用约定的方法一一表示出来. (2)在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A,B,C,D,E代表以上五个点,玩摸球游戏,每次摸三个球.请问:摸一次,三球代表的点恰好能确定一条符合条件的抛物线的概率是多少? (3)小强、小亮用上面的五球玩游戏,若符合要求的抛物线开口向上,小强可以得1分;若抛物线开口向下,小亮得5分,你认为这个游戏谁获胜的可能性大一些?说说你的理由. 【答案】(1) ABE　ACE　BCD　BCE　BDE　CDE；(2) ；(3)这个游戏两人获胜的可能性一样，理由解析. 【分析】（1）利用概率的知识可知道从A、B、C、D、E五个点中任意选取三点，共有10种组合，然后再根据条件选出6种情况； （2）直接利用概率的求算方法求解即可； （3）先判断这6条抛物线的开口方向再利用概率求算． 【详解】解：(1)从A,B,C,D,E五个点中任意选取三点,共有以下10种组合,分别如下: ABC　ABD　ABE　ACD　ACE. ADE　BCD　BCE　BDE　CDE. ∵A,D所在直线平行于y轴,A,B,C都在x轴上, ∴A,D不能在符合要求的同一条抛物线上,A,B,C也不能在符合要求的同一条抛物线上, 于是符合条件的抛物线有如下六条: ABE　ACE　BCD　BCE　BDE　CDE (2)摸一次,三球代表的点恰好能确定一条符合条件的抛物线的概率为. (3)这个游戏两人获胜的可能性一样. 理由是:在可以确定的六条抛物线中,通过观察五点位置可知:抛物线BCE开口向下,其余五条开口向上,每摸一次, 小强获得分数的平均值为×1=; 小亮获得分数的平均值为×5=, ∴这个游戏两人获胜的可能性一样. 【点睛】本题考核知识点：二次函数与统计综合、概率应用.解题关键点：熟记二次函数与概率相关知识. 25．（本题12分） 活动1：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，计算甲胜出的概率．（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球） 活动2：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序： → → ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则第一个摸球的同学胜出的概率等于 ，最后一个摸球的同学胜出的概率等于 ． 猜想：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，n（n为正整数）的n个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系． 你还能得到什么活动经验？（写出一个即可） 【答案】（1）；（2）丙、甲、乙、，；（3）P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出），抽签是公平的，与顺序无关．（答案不唯一）． 【详解】试题分析：（1）画出树状图法，判断出甲胜出的概率是多少即可． （2）首先对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，然后画出树状图法，判断出第一个摸球的丙同学和最后一个摸球的乙同学胜出的概率各等于多少即可． （3）首先根据（1）（2），猜想这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出）；然后总结出得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关． 试题解析：（1）如图1， ， 甲胜出的概率为：P（甲胜出）=； （2）如图2， ， 对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，则第一个摸球的丙同学胜出的概率等于，最后一个摸球的乙同学胜出的概率也等于，故答案为丙、甲、乙、，； （3）这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出）． 得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关．（答案不唯一）． 考点：列表法与树状图法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$