专题4 等可能条件下的概率（10个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题4 等可能条件下的概率（10个考点） 【考点01 可能性的大小】 【考点02 概率公式的计算】 【考点03 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【考点04 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【考点05 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【考点06 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】 【考点07 列举法或树状图求概率（电路问题）】 【考点08 列举法或树状图求概率（数字问题）】 【考点09 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 【考点10 几何概率】 【考点01 可能性的大小】 1．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．明天会下雨 B．从只装有8个白球的袋子中摸出红球 C．抛一枚硬币正面朝上 D．在一个标准大气压下，加热到100℃水会沸腾 2．一个不透明的袋中装有白球4个，红球若干个，它们除颜色外没有任何区别，现把袋中的球充分搅匀后随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中红球的个数可能是（    ） A．不多于3个 B．3个 C．4个 D．5个或5个以上 3．如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，估计下列个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（  ） A．指针落在标有的区域内 B．指针落在标有的区域内 C．指针落在标有偶数或奇数的区域内 D．指针落在标有奇数的区域内 4．一个盒中有9个红球，8个白球，7个黑球，10个黄球，这些球除了颜色外都一样，现从中任取一球，则在以下事件中，可能性最小的是（   ） A．取出的一个球是红球 B．取出的一个球是白球 C．取出的一个球是黑球 D．取出的一个球是黄球 【考点02 概率公式的计算】 5．点A、B、C在同一条直线上，点D在直线外，过A，B，C，D四个点中的任意3个点，能画出图形“圆”的概率是（   ） A． B． C． D． 6．下列四个图形中，从中任取一个是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D．1 7．将一个正六面体骰子掷一次，点数是4的概率是（　　） A． B． C． D． 8．如图，一个小球从点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均相等的结果，那么，小球最终到达点的概率是（   ） A． B． C． D． 9．掷一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子一次，则掷出奇数向上的概率是（   ） A． B． C． D． 10．在4张分别写有，0，3.14，的卡片中随机抽取一张，抽到无理数的概率是 ． 【考点03 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 11．将分别标有“我”“爱”“数”“学”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别．随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的概率是（    ） A． B． C． D． 12．如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是 ． 13．三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张． (1)甲先抽一张卡片，则抽到的卡片上数字为偶数的概率为________； (2)用树状图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率． 14．中国古代的印刷术、造纸术、火药和指南针是对世界具有很大影响的“四大发明”，它是中国古代创新的智慧成果．为了增强学生对四大发明的了解，某兴趣小组收集到了四大发明的相关知识，并制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（卡片除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌子上． (1)从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“造纸术”的概率为______； (2)从这四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张．请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两次取出的卡片都相同的概率． 15．3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上． (1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________； (2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率． 【考点04 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 16．甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，那么甲获胜的概率是 ． 17．如图，小明和小刚分别设计了两个转盘（每一个转盘小的扇形面积均相等），两人利用设计出的两个转盘进行“配紫色”游戏，即每人将两个转盘各转动一次，如果红色和蓝色分别出现在两个转盘上，那就说明可以配成紫色，那么小明转出紫色的概率是 ． 18．如图，可以自由转动的圆形转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中标有数字“0”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交线时，不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； (2)转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为偶数的概率． 19.五一节期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费260元，转了两次转盘． (1)该顾客最少可得 元购物券，最多可得 元购物券； (2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 20．如图是一个转盘，转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3” (1)直接写出转动转盘一次，指针指向奇数的概率是 ； (2)小刚与小亮一起玩转盘游戏：两人各转一次转盘，若两次指针指的数字均为奇数，则小刚获胜；若两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则小亮获胜，问该游戏对双方公平吗？请借用树状图或列表法，计算说明． 【考点05 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 21．“十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行锻炼．四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，太原体育中心，太原奥体中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是A和B的概率． 22．一只不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从袋中任意摸出个球，记录颜色后不放回、摇匀，再从中任意摸出个球．求两次摸到红球颜色的概率．（请用树状图或列表解决问题） 23．不透明的布袋中有标有数字4，，，5的四个小球，除数字外其余全部相同，现将从袋中随机地摸取一个，球上的数字记为，不放回，再随机地摸取一个，球上数字记为． (1)请你用列表法或树状图法写出所有可能的结果； (2)求所选出的，能使坐标点落在第四象限的概率． 24．一个不透明的袋中只装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，不放回，再从袋中摸出一个球． (1)求摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）； (2)现再将个红球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是红球的概率为．求的值． 【考点06 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】 25．有4张正面分别标有数字的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，放回后再任意抽取一张，则抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ． 26．一个不透明的袋子中装有个小球，它们除分别标有的数字，，不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一个球后放回并摇匀袋子中摸出一个球后放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率是 ． 27．如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 28．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的2个红球，2个白球，1个黑球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为 ． 29．喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，则两人恰好抽到同一部的概率是 ． 30．一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别标有数字，，2，每张卡片除数字不同外其余均相同．现随机从中摸出一张卡片，记录所摸取的卡片上的数字后放回并搅匀，再随机摸取一张卡片，记录卡片上的数字，用列表法或树形图法求两次记录数字之和是正数的概率． 31．三原色是指色彩中不能再分解的三种基本颜色，其中色光三原色分别为红、绿、蓝，这三种颜色按一定比例混合可以呈现其他颜色．现将正面写有红、绿、蓝字样的三张完全相同且不透明的卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从三张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有“红”的概率为______； (2)先从三张卡片中随机抽取一张，记下颜色后放回、洗匀，再重新抽取一张，记下颜色．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的概率．（已知红配绿呈黄色） 【考点07 列举法或树状图求概率（电路问题）】 32．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（    ） A． B． C． D． 33．如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（    ）    A． B． C． D． 34．物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关，，中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（   ） A． B． C． D． 35．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 36．在一次物理实验课上，王林同学设计了如图所示简易电路，随机闭合其中两个开关，能使灯泡发亮的概率为 ．    37．如图所示，电路连接完好，且各个元件工作正常，随机闭合三个开关中的任何两个，两个小灯泡同时发光的概率为 ．    【考点08 列举法或树状图求概率（数字问题）】 38．用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 39．四张相同的卡片上分别写有数字，，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图像经过第二、三、四象限的概率为 ． 40．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌而数字分别为2，3，4，5．将这四张扑克牌背朝上，洗匀．从中随机抽取一张不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字和为奇数的概率． 41．一个不透明的盒子中放有三张分别写有数字，，的卡片，卡片除数字外完全相同．小蕊从三张卡片中随机抽取一张，以卡片上的数字作为十位数，记录数字后放回，再从中随机抽取一张，以卡片上的数字作为个位数，求这个两位数小于或等于的概率． 【考点09 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 42．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 43．九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有五个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，5，游戏规则是：参加联欢会的50名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至50名同学都模完， （1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率 （2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上有多少个同学表演节目？ 44．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 45．不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个． (1)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (2)若在口袋种再添加a个蓝球，充分摇匀，从中摸出一个球，使得摸到红球的概率是，试求a的值． 46．小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 47．福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒． (1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______； (2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好． 48．某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取． (1)求小敏与小明均取到奖品A的概率； (2)求小川得到两件奖品的概率． 【考点10 几何概率】 49．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 50．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 51．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． B． 52．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 53．如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是 ． 54．如图，等腰内接于，，，则小针针尖落在内的概率为 ． 55．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 等可能条件下的概率（10个考点） 【考点01 可能性的大小】 【考点02 概率公式的计算】 【考点03 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【考点04 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【考点05 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【考点06 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】 【考点07 列举法或树状图求概率（电路问题）】 【考点08 列举法或树状图求概率（数字问题）】 【考点09 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 【考点10 几何概率】 【考点01 可能性的大小】 1．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．明天会下雨 B．从只装有8个白球的袋子中摸出红球 C．抛一枚硬币正面朝上 D．在一个标准大气压下，加热到100℃水会沸腾 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A、明天会下雨是随机事件，故A不符合题意； B、从只装有8个白球的袋子中摸出红球是不可能事件，故B符合题意； C、抛一枚硬币正面朝上是随机事件，故C不符合题意； D、在一个标准大气压下，加热到100℃水会沸腾是必然事件，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．一个不透明的袋中装有白球4个，红球若干个，它们除颜色外没有任何区别，现把袋中的球充分搅匀后随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中红球的个数可能是（    ） A．不多于3个 B．3个 C．4个 D．5个或5个以上 【答案】A 【分析】根据取到白球的可能性较大，可以判断出白球的数量大于红球的数量，即可求解． 【详解】∵袋子中装有４个白球，取到白球的可能性较大， ∴袋中白球的数量大于红球的数量， ∴袋中红球的个数不多于3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了可能性的大小，根据题意判断出白球的数量大于红球的数量是解题的关键． 3．如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，估计下列个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（  ） A．指针落在标有的区域内 B．指针落在标有的区域内 C．指针落在标有偶数或奇数的区域内 D．指针落在标有奇数的区域内 【答案】C 【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可． 【详解】解：A、指针落在标有5的区域内的概率是； B、指针落在标有10的区域内的概率是0； C、指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1； D、指针落在标有奇数的区域内的概率是； 故选：C． 【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性． 4．一个盒中有9个红球，8个白球，7个黑球，10个黄球，这些球除了颜色外都一样，现从中任取一球，则在以下事件中，可能性最小的是（   ） A．取出的一个球是红球 B．取出的一个球是白球 C．取出的一个球是黑球 D．取出的一个球是黄球 【答案】C 【分析】此题考查概率即可能性大小的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据题意分析可得：一个盒中有9个红球，8个白球，7个黑球，10个黄球，黑球数目最少；求得相应的概率，比较即可． 【详解】解：根据概率公式可得： A、取出的一个球是红球的概率； B、取出的一个球是白球的概率； C、取出的一个球是黑球的概率； D、取出的一个球是黄球的概率． 故选：C． 【考点02 概率公式的计算】 5．点A、B、C在同一条直线上，点D在直线外，过A，B，C，D四个点中的任意3个点，能画出图形“圆”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查确定圆的条件和概率公式，先确定四点中，每三点一组，可分为4组，而能画出圆的有3组，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：四点中，每三点一组，共有；；；四种情况， 而能画出圆的是；；三种情况， ∴画出图形“圆”的概率是， 故选：B 6．下列四个图形中，从中任取一个是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义和求简单事件的概率，属于基础题型，熟练掌握中心对称图形的概念和求解的方法是解题的关键． 先根据中心对称图形的定义判断其中的中心对称图形的个数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：在以上4个图形中，第2个和第4个是中心对称图形， ∵任取一个是中心对称图形的有2种情况，共有4种等可能的结果， ∴任取一个是中心对称图形的概率是：． 故选：B． 7．将一个正六面体骰子掷一次，点数是4的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．注意本题是放回实验．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：骰子上有6个数，点数是4的只有1种情况， ∴点数是4的概率是． 故选：A． 8．如图，一个小球从点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均相等的结果，那么，小球最终到达点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率．根据图形得出小球能够最终到达的点的所有可能情况数为4，小球最终到达H点的结果数为1，再根据概率公式可计算出小球最终到达H点的概率即可． 【详解】解：根据图形可知：小球最终到达的点有E、F、G、H，即共有4种等可能的结果数，其中小球最终到达H点的结果数为1， ∴小球最终到达H点的概率为． 故选：B． 9．掷一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子一次，则掷出奇数向上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，解题时牢记公式是关键．在正方体骰子中，写有奇数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：在正方体骰子中，朝上的数字为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5；骰子共有6面， ∴掷出奇数向上的概率为：． 故选：C． 10．在4张分别写有，0，3.14，的卡片中随机抽取一张，抽到无理数的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了概率公式以及无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案． 【详解】解：∵4个数字中，无理数是， ∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率的是， 故答案为：． 【考点03 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 11．将分别标有“我”“爱”“数”“学”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别．随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用画树状图或列表法求概率，根据题意画树状图得出所有等可能的结果数，再找出抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“数学”的结果数为2， ∴抽出的卡片上的汉字能组成“数学”的概率 ． 故选B． 12．如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为、、、，则属于化学变化的有、， 画树状图如下： ， 共有12种等可能出现的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的情况有种， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是， 故答案为：． 13．三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张． (1)甲先抽一张卡片，则抽到的卡片上数字为偶数的概率为________； (2)用树状图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查用列表法或画树状图法求概率， （1）由甲先抽一张卡片，可能出现的数字有种，而且数字出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有种，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们抽到相同数字卡片的情况，再利用概率公式即可求得答案；解题的关键是掌握计算概率的公式：概率等于所求情况数与总情况数之比，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 【详解】（1） 解：∵甲先抽一张卡片，可能出现的数字有种，而且数字出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有种； ∴抽到的卡片上数字为偶数的概率为， 故答案为：； （2） 画树状图得： ∵共有种等可能的结果，他们抽到相同数字卡片的有种情况， ∴他们抽到相同数字卡片的概率为：． 14．中国古代的印刷术、造纸术、火药和指南针是对世界具有很大影响的“四大发明”，它是中国古代创新的智慧成果．为了增强学生对四大发明的了解，某兴趣小组收集到了四大发明的相关知识，并制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（卡片除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌子上． (1)从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“造纸术”的概率为______； (2)从这四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张．请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两次取出的卡片都相同的概率． 【答案】(1) (2)两次取出的卡片都相同的概率为 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“造纸术”的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 由表知，共有16种等可能结果，其中两次取出的卡片都相同的有4种结果， 所以两次取出的卡片都相同的概率为． 15．3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上． (1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________； (2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样， 洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率， 故答案为：； （2）解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为、、， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种， 抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为． 【考点04 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 16．甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，那么甲获胜的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法求概率，概率公式等知识点，根据题意画出树状图，再由“概率所求情况数与总情况数之比”求解是解题的关键． 画出树状图，可以得到一共有种情况，然后计算出数字之和为偶数的情况有种，根据概率公式计算可得答案． 【详解】解：画出树状图如下： 共有种可能的结果，数字之和为偶数的情况有种， 甲获胜的概率为， 故答案为：． 17．如图，小明和小刚分别设计了两个转盘（每一个转盘小的扇形面积均相等），两人利用设计出的两个转盘进行“配紫色”游戏，即每人将两个转盘各转动一次，如果红色和蓝色分别出现在两个转盘上，那就说明可以配成紫色，那么小明转出紫色的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．用树状法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率． 【详解】解：画树状图如图所示， 共有12种等可能结果，其中能配成紫色的只有2种， ∴P（配成紫色）； 故答案为：． 18．如图，可以自由转动的圆形转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中标有数字“0”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交线时，不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； (2)转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何概率，树状图法或列表法求解概率： （1）用所在区域的圆心角度数和除以360度即可得到答案； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次转出的数字之和为偶数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可. 【详解】（1）解：， ∴转动转盘一次，则转出的数字是的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9中等可能性的结果数，其中两次转出的数字之和为偶数的结果数有5种， ∴两次转出的数字之和为偶数的概率为. 19.五一节期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费260元，转了两次转盘． (1)该顾客最少可得 元购物券，最多可得 元购物券； (2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 【答案】(1)20，80 (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得20元购物券，最多可得元购物券； （2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图得 则该顾客最少可得元购物券，最多可得元购物券； 故答案为：，； （2）∵共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于元的有种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于元的概率为： 20．如图是一个转盘，转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3” (1)直接写出转动转盘一次，指针指向奇数的概率是 ； (2)小刚与小亮一起玩转盘游戏：两人各转一次转盘，若两次指针指的数字均为奇数，则小刚获胜；若两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则小亮获胜，问该游戏对双方公平吗？请借用树状图或列表法，计算说明． 【答案】(1) (2)该游戏对双方公平 【分析】本题考查了概率问题，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 根据题意，再根据概率公式即可解答． 【详解】（1）∵转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3”， ∴转动转盘一次，指针指向奇数的概率是， 故答案为：； （2）该游戏对双方公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次指针指的数字均为奇数的结果有4种，两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后）的结果有4种， ∴小刚获胜的概率＝，小亮获胜的概率＝， ∴小刚获胜的概率＝小亮获胜的概率， ∴该游戏对双方公平． 【考点05 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 21．“十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行锻炼．四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，太原体育中心，太原奥体中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是A和B的概率． 【答案】抽到的两张卡片恰好是A和B的概率为． 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片编号恰好是和B的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片编号恰好是和B的结果有2种， 故所求概率为． 答：抽到的两张卡片恰好是A和B的概率为． 22．一只不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从袋中任意摸出个球，记录颜色后不放回、摇匀，再从中任意摸出个球．求两次摸到红球颜色的概率．（请用树状图或列表解决问题） 【答案】 【分析】本题考查的是用树状图或列表法求概率，解题的关键是数形结合．画树状图，共有种等可能的结果，其中次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中次都摸到红球的结果有种， 次都摸到红球的概率为． 23．不透明的布袋中有标有数字4，，，5的四个小球，除数字外其余全部相同，现将从袋中随机地摸取一个，球上的数字记为，不放回，再随机地摸取一个，球上数字记为． (1)请你用列表法或树状图法写出所有可能的结果； (2)求所选出的，能使坐标点落在第四象限的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意列表得出所有等可能的结果数； （2）从表格中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： 4 5 4 5 由图表知，共有12种等可能的结果数； （2）解：共有12种等可能的结果数，其中点落在第四象限的有 ，共4种情况， 则所选出的，能使坐标点落在第四象限的概率是． 24．一个不透明的袋中只装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，不放回，再从袋中摸出一个球． (1)求摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）； (2)现再将个红球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是红球的概率为．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，已改概率求数量，解分式方程： （1）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到摸出的球恰好颜色不同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）根据概率计算公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设用A、B表示两个白球，C表示红球，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中摸出的球恰好颜色不同的结果数有4种， ∴摸出的球恰好颜色不同的概率为； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 【考点06 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】 25．有4张正面分别标有数字的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，放回后再任意抽取一张，则抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ． 【答案】/0.625 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 0 4 -2 3 -4 2 0 0 4 4 3 2 4 8 由表知，共有16种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的有10种结果， 所以抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为， 故答案为：． 26．一个不透明的袋子中装有个小球，它们除分别标有的数字，，不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一个球后放回并摇匀袋子中摸出一个球后放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练画出树状图或列表是解题的关键．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为负数的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图得： 共有种等可能的结果，其中两次摸出的球所标数字之和为负数的有种， 则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率， 故答案为：． 27．如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故答案为：． 28．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的2个红球，2个白球，1个黑球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图求概率，先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有种等情况数，其中两次都摸到红球的有种，则两次都摸到红球的概率为； 故答案为：． 29．喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，则两人恰好抽到同一部的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用树状图法或列表法求概率，画出树状图，共有16种可能的结果，其中两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解∶ 把《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的卡片记作A、B、C、D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种， 甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为， 故答案为：． 30．一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别标有数字，，2，每张卡片除数字不同外其余均相同．现随机从中摸出一张卡片，记录所摸取的卡片上的数字后放回并搅匀，再随机摸取一张卡片，记录卡片上的数字，用列表法或树形图法求两次记录数字之和是正数的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【详解】画树状图 或列表     第一次 第二次 2 0 1 2 0 1 4 由表格知，共有9种等可能结果，其中两次记录数字之和是正数的有3种结果， 所以两次记录数字之和是正数的概率为． 31．三原色是指色彩中不能再分解的三种基本颜色，其中色光三原色分别为红、绿、蓝，这三种颜色按一定比例混合可以呈现其他颜色．现将正面写有红、绿、蓝字样的三张完全相同且不透明的卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从三张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有“红”的概率为______； (2)先从三张卡片中随机抽取一张，记下颜色后放回、洗匀，再重新抽取一张，记下颜色．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的概率．（已知红配绿呈黄色） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到的卡片上写有“红”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到的卡片上写有“红”的结果有1种， 抽到的卡片上写有“红”的概率为． 故答案为：． （2）解：列表如下： 红 绿 蓝 红 （红，红） （红，绿） （红，蓝） 绿 （绿，红） （绿，绿） （绿，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，绿） （蓝，蓝） 共有9种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的结果有：（红，绿），（绿，红），共2种， 抽到的两张卡片上的颜色可以配成黄色的概率为． 【考点07 列举法或树状图求概率（电路问题）】 32．在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况， ∴能让红灯发光的概率为． 故选：A． 33．如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下：    共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：A． 34．物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关，，中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与画树状图求概率，画树状图得出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率为． 故选：A． 35．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 【答案】 方案2 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）先列表得到方案1的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）先列表得到方案2的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：（1）方案1所有情况如下表： ① ② 从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为通路的有1种， 所以该电路为通路的概率为； 故答案为：， （2）方案2更稳定可靠，理由如下： 由（1）得，方案1中电路系统正常工作的概率为， 方案2中从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案2中电路系统正常工作的概率为 方案2更稳定可靠． 故答案为：方案2． 36．在一次物理实验课上，王林同学设计了如图所示简易电路，随机闭合其中两个开关，能使灯泡发亮的概率为 ．    【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，掌握列表法或画树状图或列表是解题的关键，利用画树状图求解即可． 【详解】依据题意画树状图如下：    共有6种等可能的结果，其中能使灯泡发亮的结果有4种， ∴能使灯泡发亮的概率 ． 37．如图所示，电路连接完好，且各个元件工作正常，随机闭合三个开关中的任何两个，两个小灯泡同时发光的概率为 ．    【答案】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下：    由树状图可知，共有种等结果，其中两个小灯泡同时发光的结果有种， ∴两个小灯泡同时发光的概率为， 故答案为：． 【考点08 列举法或树状图求概率（数字问题）】 38．用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法求概率，先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可．注意0不能在最高位． 【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，列表如下： 1 2 3 0 10 20 30 1 21 31 2 12 32 3 13 23 一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32， ∴是偶数的概率为， 故选：D． 39．四张相同的卡片上分别写有数字，，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图像经过第二、三、四象限的概率为 ． 【答案】 【分析】本体考查概率及一次函数的性质，根据图像经过第二、三、四象限得到及，找出所有情况及两个都小于0的情况结合概率公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵图像经过第二、三、四象限， ∴及， 树状图如图， 总共有：种情况，同时小于0的情况有2种， ∴， 故答案为：． 40．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌而数字分别为2，3，4，5．将这四张扑克牌背朝上，洗匀．从中随机抽取一张不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字和为奇数的概率． 【答案】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和是奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的结果有8种， ∴抽取的这两张牌的牌面数字和为奇数的概率为， 41．一个不透明的盒子中放有三张分别写有数字，，的卡片，卡片除数字外完全相同．小蕊从三张卡片中随机抽取一张，以卡片上的数字作为十位数，记录数字后放回，再从中随机抽取一张，以卡片上的数字作为个位数，求这个两位数小于或等于的概率． 【答案】． 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，画出树状图是解题的关键． 【详解】画树状图为： 共有种等可能的结果，两位数小于或等于的结果有个， ∴两位数小于或等于的概率为． 【考点09 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 42．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 43．九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有五个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，5，游戏规则是：参加联欢会的50名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至50名同学都模完， （1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率 （2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上有多少个同学表演节目？ 【答案】（1）；（2） 估计有20名同学参加即兴表演． 【分析】（1）列表，根据列表得出所有情况数和两个数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式即可得出答案； （2）表演即兴节目的同学数学生总数相应概率． 【详解】（1）列表如下： 由表格知：共有20种等可能结果，其中两个数字之和为偶数有8个 所以小朱参加即兴表演的概率为 （2） 答：估计有20名同学参加即兴表演． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是同时从盒子里一次摸出两个乒乓球．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目部分相应概率． 44．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 45．不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个． (1)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (2)若在口袋种再添加a个蓝球，充分摇匀，从中摸出一个球，使得摸到红球的概率是，试求a的值． 【答案】(1) (2)a的值是5 【分析】（1）先画梳妆台求出所有可能情况数和两次摸到都是红球的情况数，然后根据概率公式求解即可； （2）根据概率的意义列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意画出树状图如下：    共有6种等可能的结果数，其中两次摸到都是红球的有2种结果， 所以两次摸到都是红球的概率是． （2）解：根据题意得： ，解得：， 经检验是原方程的解． 答：a的值是5． 【点睛】本题主要考查了运用树状图法求概率、概率公式的应用等知识点，正确画出树状图和列出分式方程是解答本题的关键． 46．小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 【答案】(1) (2)25，125，75 (3)谨慎参加类似游戏 【分析】（1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少； （3）谨慎参加类似游戏． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 【点睛】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． 47．福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒． (1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______； (2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好． 【答案】(1) (2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析 【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解； （2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断． 【详解】（1）解：列表得： 4 2 1 1 4 / 2 / 1 / 1 / 共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况， ∴． 故答案为：． （2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元， 则可兑换4元的概率为，兑换2元的概率为，兑换1元的概率为， 因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）； 若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元， 由（1）可知， 可兑换6元的概率为， 可兑换5元的概率为， 可兑换3元的概率为， 可兑换2元的概率为， 因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）； ∵， ∴李同学应该买一个小盲盒好． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键． 48．某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取． (1)求小敏与小明均取到奖品A的概率； (2)求小川得到两件奖品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意画出树状图，确定所有可能数和满足题意得可能数，然后根据概率公式计算即可； （2）由题意可知：当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品，然后再根据（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中小敏与小明均抽到奖品A的情况有2种，故所求概率为：． （2）解：由题意可知当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品， 由（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种． 故小川得到两件奖品的概率为：． 【点睛】本题主要考查了列树状图求概率、互斥事件等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 【考点10 几何概率】 49．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 50．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率问题．设矩形中，，先求出，再由概率公式求解即可． 【详解】解：如图， 设矩形中，， ∵点分别是的中点， ∴ ； 同理可得： ， ∴， ∴， 故选：A ． 51．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，以及七巧板特点，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为， 根据七巧板特点有， 又大正方形的面积为：， 小球停留在阴影部分的概率是：， 故选：． 52．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 【答案】 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比几何概率．利用击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案． 【详解】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个， 落在黑色区域即获得笔记本的概率为， 故答案为：． 53．如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的定义，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个， ∴假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是． 故答案为： 54．如图，等腰内接于，，，则小针针尖落在内的概率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是求出圆的半径．连接并延长交于点D，连接，根据针尖落在阴影区域的概率就是等腰三角形的面积与圆的面积之比，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点D，连接， ∵等腰内接于，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中 ，， ∴， 解得：， 即的半径为， ∴的面积为， ∴小针针尖落在内的概率为． 故答案为： 55．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和几何概率问题，因为是平行四边形，所以关于点O中心对称，所以，再根据几何概率即可求得答案． 【详解】解：由题意可知关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴飞镖恰好落在阴影区域的概率=． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$