专题5.1 分式混合运算与化简求值（七大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题5.1 分式混合运算与化简求值（七大题型） 【题型1 分式混合运算】 【题型2 分式化简求值-直接代入】 【题型3 分式化简求值-选择性代入】 【题型4 分式化简求值-整体代入】 【题型5 设比例系数或消元法求值】 【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】 【题型7 恒指不变数】 【题型1 分式混合运算】 【典例1】化简： (1)； (2)． 【变式1-1】化简： (1)； (2)． 【变式1-2】分式的计算： (1)； (2)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-4】计算． (1)； (2)． 【题型2 分式化简求值-直接代入】 【典例2】先化简，再求值：，其中． 【变式2-1】先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】先化简，再求值：，其中，． 【变式2-3】先化简再求值：，其中． 【变式2-4】先化简，再求代数式的值：，其中． 【变式2-5】先化简，再求值：   ，其中 【题型3 分式化简求值-选择性代入】 【典例3】先化简，再求值：，再从，，0，1，2中取一个数代入求值其中． 【变式3-1】先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 【变式3-2】先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【变式3-3】先化简，再选一个你喜欢的的值，求的值． 【变式3-4】先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取． 【变式3-5】先化简：，并在，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值． 【题型4 分式化简求值-整体代入】 【典例4】已知，求的值． 【变式4-1】 先化简，再求值：，其中x满足． 【变式4-2】先化简，再求值：，其中a满足． 【变式4-3】先化简，再求值：，其中x满足 【变式4-4】先化简，再求值，其中a满足方程． 【题型5 设比例系数或消元法求值】 【典例5】已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式5-3】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】若，的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】 【典例6】化简求值．，其中，． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中m，n满足． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中满足． 【题型7 恒指不变数】 【典例7】已知，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论为何值，的值不变． 【变式7-1】试说明无论，取何值（，的取值要保证式子有意义），代数式的值保持不变． 【变式7-2】已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【变式7-3】请你说明，在代数式有意义的情况下，无论x取何值，代数式的值都不变． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 分式混合运算与化简求值（七大题型） 【题型1 分式混合运算】 【题型2 分式化简求值-直接代入】 【题型3 分式化简求值-选择性代入】 【题型4 分式化简求值-整体代入】 【题型5 设比例系数或消元法求值】 【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】 【题型7 恒指不变数】 【题型1 分式混合运算】 【典例1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先化简计算括号，再将除法化为乘法，借助于平方差公式和完全平方公式计算； （2）先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）分子分母先因式分解，将除号变为乘号，再进行分式的约分化简即可； （2）先运用分配律展开，再进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式1-2】分式的计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可求解； 本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则即可. （1）利用分式的混合运算法则即可求解； （2）将分子、分母因式分解后，约分即可求解； （3）通分后即可求解； （4）利用分式的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【变式1-4】计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先通分，化为同分母分式，再计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 分式化简求值-直接代入】 【典例2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】题目主要考查分式的化简求值，根据分式的四则混合运算法则化简，然后代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式2-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先算除法，再算减法，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式2-3】先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2-4】先化简，再求代数式的值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法与除法法则化简分式，再把x的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式2-5】先化简，再求值：   ，其中 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则与运算顺序是关键；先把括号里的第一项约分，再通分相加，最后计算除法；然后把字母的值代入化简后的式子中计算出值即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 【题型3 分式化简求值-选择性代入】 【典例3】先化简，再求值：，再从，，0，1，2中取一个数代入求值其中． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 【变式3-1】先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 【答案】，取，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴取，原式． 【变式3-2】先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，计算过程中注意分式有意义的条件是解题关键． 首先根据分式的运算法则化简算式，之后根据分式有意义的条件选择恰当的数代入化简后的算式求值即可 ． 【详解】解： ∵， ∴， ∵且a为整数 ∴当时，原式． 【变式3-3】先化简，再选一个你喜欢的的值，求的值． 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3-4】先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组得出不等式组的整数解，从中选取使分式有意义的的值代入计算可得． 【详解】解：， ， ， ， 不等式组， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，，，， 当，，时，原式没有意义， 当时，原式． 【变式3-5】先化简：，并在，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，代入求值，运用分式的性质，乘法公式，进行计算，根据分式的分母不能为零，确定取值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵当，2时，原分式无意义， ∴x可以是0或1，当时，原式． 【题型4 分式化简求值-整体代入】 【典例4】已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求式子化简为，再把变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 【变式4-1】 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】先把化简得，再利用整体代入法求值即可．本题考查分式的化简求值，已知代数式的值求式子的值，掌握分式的化简求值的一般方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【变式4-2】先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】；7 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式混合运算法则化简原式，然后将代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式4-3】先化简，再求值：，其中x满足 【答案】，1． 【分析】本题考查分式的化简求值，先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体思想代入求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式． 【变式4-4】先化简，再求值，其中a满足方程． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先把除法化为乘法，再约分得到化简的结果，由可得，再代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 【题型5 设比例系数或消元法求值】 【典例5】已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键． 由已知可以得到，把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值． 【详解】解：已知，可以得到， 即， 则原式， 故选：D． 【变式5-1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，已知式子的值求代数式的值，数量掌握消元思想是解题的关键． 先将变形得，再代入代数式消去a，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-2】已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，根据得，再将的分子分母变形为含的式子，即可解题． 【详解】解：由得， 则 ． 故选：A． 【变式5-3】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，由得，代入进行计算即可得出答案． 【详解】解： ， ． ． 故选：D． 【变式5-4】若，的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据可得：，据此求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据求出，应用整体代入法是解题的关键． 【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】 【典例6】化简求值．，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式， 其中，则，， 原式． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中m，n满足． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，非负数，熟练掌握分式的运算顺序和法则，非负数的非负性，是解决本题的关键．分式化简顺序是先算括号内的，再计算除法，最后计算减法．先根据分式的混合运算的法则化简，再根据完全平方式及算术平方根的非负性求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ； ， ， ， 当时，原式． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、算术平方根的非负性的应用，先将除法转化为乘法，约分即可化简，再计算减法即可化简分式，根据算术平方根的非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ； ，，， ，， 解得：，， 原式． 【题型7 恒指不变数】 【典例7】已知，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论为何值，的值不变． 【答案】见解析 【分析】根据分式的除法和加减法可以化简题目中等号右边的式子，然后观察结果即可说明在右边代数式有意义的条件下，不论为何值，y的值不变． 【详解】 ， ∴在有意义的条件下，不论为何值，的值不变． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 【变式7-1】试说明无论，取何值（，的取值要保证式子有意义），代数式的值保持不变． 【答案】详见解析 【分析】将式子进行约分化简，得到值为1，即可得证结论． 【详解】证明：原式= = =1 ∴无论x，y取何值（x，y的取值要保证式子有意义），原式的值都为1，保持不变． 【点睛】本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质，能将分式通分与约分． 【变式7-2】已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1)；且； (2)①；② 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可； （2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可； ②先化简分式，代入，约分后可得答案． 【详解】（1）解：； ∵繁分式有意义， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）①∵，． ∴ ； ②∵， ∴， ； 【变式7-3】请你说明，在代数式有意义的情况下，无论x取何值，代数式的值都不变． 【答案】见解析 【分析】将原式进行化简，得到最终结果为3，即可证明无论x取何值，代数式的值都不变． 【详解】证明： 在代数式有意义的情况下，无论x取何值，代数式的结果均为3，即无论x取何值，代数式的值都不变． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$