精品解析：辽宁省大连市部分学校2024～2025学年高三上学期10月联考数学试题

2024-2025学年（上）学期 高三数学试卷 （考试时间:120分钟，满分：150分） 第I卷 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意) 1. 已知集合，则集合（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合，由交集运算即可求解. 【详解】 ， 所以 故选：B 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题否定的方法写出即可. 【详解】因命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以“，”的否定为：，. 故选：B 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 4. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 13 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，再由基本不等式得出答案. 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 5. 已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的图象特征，将不等式转化成或 【详解】根据偶函数的图象特征， 可知当时，，当时， 由，得， 等价于或 解得，或． 所以不等式解集为： 故选：D 6. 设函数有个不同零点，则正实数的范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得在上有个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围． 【详解】令，解得，即在上仅有一个零点， 所以只需在上有个不同零点即可． 当时，，所以，即. 故选：C. 7. 已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得在上单调递增，则不等式等价于，即，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解； 【详解】解：因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增， 则等价于，即， 令，，， 因为，所以，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以的最大值为； 故选：B 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题构建函数，判断函数的单调性和奇偶性，再利用抽象函数单调性比较函数值大小即得. 【详解】令，由是定义在上的奇函数， 可得是定义在上的偶函数， 又因为时，， 所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数， 构建，则， 可知在内单调递增，则，可得； 构建，则， 可知在内单调递增，则，可得； 由，可得， 故，所以； 设，则， 所以在单调递增， 故，所以，即 所以，所以， 故选：D 【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法中，正确的是（     ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 函数的最小正周期是 D. 设，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值可判断A，根据不等式性质及特殊值可判断B，利用特殊值判断C，换元后由对勾函数的性质判断D. 【详解】对于选项A，若，则，故A错误； 对于选项B，能推出，但不能推出，例如：，故B正确； 对于选项C，由，不相等，所以不是它的周期，故C错误； 对于选项D，令，则， 由对勾函数可知在上单调递增， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）． A. 该函数的解析式为 B. 该函数图象的对称轴方程为， C. 该函数的单调递增区间是， D. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解. 【详解】由题图可知，，周期， 所以，则， 因为当时，，即， 所以，，即，， 又，故， 从而，故A正确； 令，，得，，故B错误； 令，， 得，，故C正确； 函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变， 可得到，故D正确． 故选:ACD 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和. 【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称， 即的图象关于直线对称，则 由，可得，又， 所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，即，即函数的周期为4， 由，可得，因为的周期为4， 所以， 则，即， 所以的图象关于点对称，故B正确； 因为的图象关于直线对称，则， 所以，所以， 因为的周期为4，所以的周期也为4.由， 可得，所以，故C正确； 由，可得，所以， 即 ，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系. 第II卷 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数在上为单调函数，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数法可知，在上为单调函数，分函数在上为增函数、减函数两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上为单调函数. 当在上为单调递增函数时，则，解得； 当在上为单调递减函数时，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先构造函数，利用，最终求得，即时，恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得的取值范围. 【详解】设，则，故，则，又因为，即，所以，，，因为，所以在上恒成立，其中，理由如下：构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，，从而得证. 故，故，实数a的取值范围为 故答案为： 【点睛】切线放缩是一种很重要的方法，再使用导函数证明不等式或者求参数的取值范围时，经常使用，常见的切线放缩有以下几个：，，，等，在做题中做到灵活运用，可以有很好的效果. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导得函数的单调区间，进一步得最值； （2）在区间上恒成立，分离参数即可求解. 【小问1详解】 当时，， 且， 令，即； ，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取最小值为． 【小问2详解】 因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立． 即在上恒成立， 则在上恒成立， 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则， 所以，实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求的值域； （3）若且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间：，单调递减区间： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的性质求值域； （3）根据正弦的两角差公式求解. 【小问1详解】 ， 当时，单调递增， 即， ∴的单调递增区间：， 当时，单调递减， 即， 的单调递减区间：； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴的值域为； 【小问3详解】 ∵， ∵，∴， ∴， ∴. 17. 已知函数． （1）若a＝2，求函数在处的切线方程； （2）若函数的极大值不小于2a，求实数a的取值范围． 【答案】（1）x＋y－2＝0 （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解； （2）利用导数求得函数的极大值，得，再构造函数即可得解. 【小问1详解】 当a＝2时，，则， 所以， 所以在处的切线方程为：，即x＋y－2＝0． 【小问2详解】 因为函数的定义域为，又． ①当时，对任意的，， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不合题意，舍去． ②当时，令，得． 当时，，当时，， ∴函数在单调递增，在单调递减． 函数的极大值， 整理得：． 令，其中， 因为，所以函数在上单调递增，且． 由可得， ∴． 故实数a的取值范围是． 18. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换化简，进一步由周期公式以及整体代入法可得对称中心； （2）通过化简得到，分离参数可得，进一步由换元法即可求解. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期为：， ，， 所以的对称中心的坐标为：； 【小问2详解】 由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到， 再向下平移1个单位得到， 再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到 即， ， ， 可得 ， 令， 在上单调递减， 所以， 在上有解，需， ， 的取值为. 19. 设是定义域为的函数，当时，. （1）已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； （3）已知，且对任意，当时，有，证明：. 【答案】（1） 不妨设，在区间上严格减， 对任意，有， 又， 函数在区间上是严格减函数； （2） （3） 当时， 由条件知， 当时，对任意，有， 即， 又的值域是，， 当时，对任意，有， ， 又的值域是，， 综上可知，任意，. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可； （3）利用题目条件，代入，分和两种情况进行讨论即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增， 当在区间上严格减时，在区间上是严格减， 又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值， 因为.是函数的极值点， 所以是的根，所以， 当时，. 令，解得或， 所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 满足条件，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（上）学期 高三数学试卷 （考试时间:120分钟，满分：150分） 第I卷 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意) 1. 已知集合，则集合（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 13 B. C. D. 8 5. 已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（       ） A. B. C. D. 6. 设函数有个不同零点，则正实数的范围为（    ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法中，正确的是（     ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 函数的最小正周期是 D. 设，则的最小值为 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）． A. 该函数的解析式为 B. 该函数图象的对称轴方程为， C. 该函数的单调递增区间是， D. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 第II卷 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，则__________ 13. 已知函数在上为单调函数，则的取值范围为__________. 14. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求的值域； （3）若且，求的值. 17. 已知函数． （1）若a＝2，求函数在处的切线方程； （2）若函数的极大值不小于2a，求实数a的取值范围． 18. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 19. 设是定义域为的函数，当时，. （1）已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； （3）已知，且对任意，当时，有，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $