期中真题必刷易错、压轴60题（25个考点专练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（湘教版2019选择性必修第一册）

期中真题必刷易错、压轴60题（25个考点专练） 一．等差数列的性质（共1小题） 1．（2023秋•双清区校级期中）已知数列是等差数列，其前项和为，则下列说法错误的是　　 A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列 C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列 二．等差数列的通项公式（共1小题） 2．（2023秋•永定区校级期中）在等差数列中，，，则　　 A．5 B．8 C．10 D．14 三．等差数列的前n项和（共2小题） 3．（2023秋•永定区校级期中）已知是等差数列的前项和，，则　　 A．20 B．28 C．36 D．4 4．（2023秋•江华县校级期中）在等差数列中，，则　　 A．15 B．30 C．45 D．60 四．由等差数列的前n项和求解数列（共1小题） 5．（2023秋•永定区校级期中）已知数列的前项和公式为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值及对应的值． 五．直线的倾斜角（共2小题） 6．（2023秋•衡阳县校级期中）若直线过点，，则此直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•北湖区校级期中）直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 六．直线的斜率（共2小题） 8．（2023秋•隆回县校级期中）关于直线，下列说法正确的有　　 A．过点， B．斜率为 C．倾斜角为 D．在轴上的截距为1 9．（2023秋•北湖区校级期中）将直线绕着原点顺时针旋转，得到新直线的斜率是 　　． 七．直线的截距式方程（共2小题） 10．（2023秋•武陵区校级期中）写出一个截距相等且不过第一象限的直线方程 　　． 11．（2023秋•攸县校级期中）若直线的方程为． （1）若直线与直线垂直，求的值． （2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程． 八．直线的一般式方程与直线的性质（共2小题） 12．（2023秋•隆回县校级期中）若直线过两点，，则直线的一般式方程是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•汉寿县校级期中）直线，的图像可能是　　 A． B． C． D． 九．直线的一般式方程与直线的平行关系（共3小题） 14．（2022秋•祁阳县校级期中）已知直线与平行，则的值是　　 A．1 B．2或5 C．5 D．1或2 15．（2023秋•汉寿县校级期中）已知直线，，不能围成三角形，则实数的取值可能为　　 A．1 B． C． D． 16．（2023秋•汉寿县校级期中）已知直线与的交点为． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求过点且垂直于直线的直线方程． 一十．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题） 17．（2022秋•长沙期中）若直线与垂直，则实数　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•衡阳县校级期中）已知两条直线，，求满足下列条件的，值． （Ⅰ）且过点； （Ⅱ）且原点到这两直线的距离相等． 19．（2023秋•新邵县校级期中）已知的三个顶点分别为，，． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）求的面积． 一十一．过两条直线交点的直线系方程（共1小题） 20．（2023秋•湖南期中）已知，，，是直线为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是　　 A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 一十二．与直线关于点、直线对称的直线方程（共1小题） 21．（2023秋•湖南期中）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为　　 A． B． C． D． 一十三．圆的一般方程（共1小题） 22．（2023秋•北湖区校级期中）曲线与轴所围成区域的面积为　　 A． B． C． D． 一十四．直线与圆的位置关系（共10小题） 23．（2023秋•开福区校级期中）已知点在圆上，直线与两坐标轴的交点分别为，，则的面积的最大值是　　 A． B．8 C． D．9 24．（2023秋•新邵县校级期中）圆关于直线对称，则的最小值是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•武陵区校级期中）过点的直线与圆交于，两点，则当时，直线的斜率为　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•湖南期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，，为切点，则下列说法正确的是　　 A．圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1 B．四边形面积的最小值为1 C．当为等边三角形时，点的坐标为 D．直线过定点 27．（2023秋•攸县校级期中）已知，直线，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线段长的最小值为 　　． 28．（2023秋•新邵县校级期中）在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为　 　． 29．（2022秋•邵阳期中）已知为圆上任意一点，则的最大值是 　　． 30．（2023秋•衡阳县校级期中）已知圆关于直线对称，且过点和原点． （1）求圆的方程； （2）相互垂直的两条直线，都过点，若，被圆所截得弦长相等，求此时直线的方程． 31．（2023秋•新邵县校级期中）已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线与圆的位置关系； （3）当时，求直线被圆截得的弦长． 32．（2023秋•邵东市校级期中）已知直线经过两直线与的交点，且与直线垂直． （1）求直线的方程； （2）若点到直线的距离为，求实数的值． 一十五．圆与圆的位置关系及其判定（共1小题） 33．（2023秋•湖南期中）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是　　 A． B． C． D． 一十六．直线和圆的方程的应用（共1小题） 34．（2022秋•衡阳县校级期中）已知圆，直线， （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线被圆截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求的值以及最短长度． 一十七．圆方程的综合应用（共1小题） 35．（2023秋•祁阳市校级期中）动点在圆上，动点在圆上，则下列说法正确的是　　 A．两个圆心所在的直线斜率为 B．两个圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆公切线有两条 D．的最小值为0 一十八．椭圆的几何特征（共5小题） 36．（2023秋•祁阳市校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 37．（2022秋•邵阳期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，若，那么△的面积为　　 A． B． C． D． 38．（2022秋•大祥区校级期中）过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于、、、四点，则四边形面积的最大值与最小值之差为　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•祁阳市校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点，在椭圆外，点在椭圆上，则　　 A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是， C．存在点使得 D．的最小值为1 40．（2022秋•怀化期中）求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）长轴是短轴的3倍且经过点； （2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为． 一十九．直线与椭圆的综合（共4小题） 41．（2022秋•武冈市期中）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 42．（2023秋•攸县校级期中）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．直线与椭圆交于不同的两点，． （1）求椭圆的方程； （2）当的面积为时，求的值． 43．（2023秋•衡阳县校级期中）已知椭圆经过点，，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于，两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上，求证：平行四边形的面积为定值． 44．（2022秋•鹤城区校级期中）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若为原点），且，求直线的斜率． 二十．抛物线的焦点与准线（共2小题） 45．（2023秋•雨花区校级期中）抛物线焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•衡阳县校级期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点，反射后，再经抛物线上另一点，反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．与之间的距离为4 二十一．直线与抛物线的综合（共1小题） 47．（2022秋•岳麓区校级期中）已知抛物线，，，其中，过的直线交抛物线于，两点． （1）当直线垂直于轴，且为直角三角形，求实数的值； （2）若四边形是平行四边形，当点在直线上时，求实数，使得． 二十二．双曲线的几何特征（共7小题） 48．（2023秋•永定区校级期中）下列命题中正确的是　　 A．双曲线与直线有且只有一个公共点 B．平面内满足的动点的轨迹为双曲线 C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 49．（2022秋•武冈市期中）已知曲线，　　 A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是椭圆，且其离心率为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是双曲线，其离心率为或 50．（2023秋•湖南期中）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线交双曲线于、两点，线段的中垂线交轴于点．若，则双曲线的离心率取值范围是 　　． 51．（2022秋•大祥区校级期中）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为　　． 52．（2022秋•怀化期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为 　　． 53．（2022秋•岳麓区校级期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的两条渐近线分别交于、两点，若，，则的离心率为 　　． 54．（2022秋•武冈市期中）已知双曲线，的左焦点是，则的值为　　． 二十三．直线与双曲线的综合（共1小题） 55．（2022秋•雨花区校级期中）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4． （1）求的方程； （2）如图，点为双曲线的下顶点，直线过点且垂直于轴位于原点与上顶点之间），过的直线交于，两点，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标． 二十四．曲线与方程（共1小题） 56．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，，曲线上任意一点满足：． （1）求曲线的方程； （2）设点是曲线上的任意一点，过原点的直线与曲线相交于，两点，若直线，的斜率都存在，并记为，．试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论； （3）设曲线与轴交于、两点，点在线段上，点在曲线上运动．若当点的坐标为时，取得最小值，求实数的取值范围． 二十五．直线与圆锥曲线的综合（共4小题） 57．（2023秋•衡阳县校级期中）设抛物线与两坐标轴的交点分别记为，，，曲线是经过这三点的圆． （1）求圆的方程． （2）过作直线与圆相交于，两点， 用坐标法证明：是定值． 设，求的最大值． 58．（2023秋•汉寿县校级期中）已知，，为平面上的一个动点．设直线，的斜率分别为，，且满足．记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的动直线与曲线交于，两点．曲线上是否存在定点，使得恒成立（直线不经过点？若存在，求出点的坐标，并求的最小值；若不存在，请说明理由． 59．（2023秋•汉寿县校级期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点，若，求的取值范围； （Ⅲ）作直线与椭圆交于不同的两点，，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值． 60．（2023秋•武陵区校级期中）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错、压轴60题（25个考点专练） 一．等差数列的性质（共1小题） 1．（2023秋•双清区校级期中）已知数列是等差数列，其前项和为，则下列说法错误的是　　 A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列 C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列 【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论． 【解答】解：数列是等差数列，其前项和为，（为常数），为常数，故数列一定是等比数列，故正确； 若中有负数，则可能无意义，故错误； ，是一个关于的一次函数，故数列一定是等差数列，故正确； ，当时，它是一个常数，故数列可能是常数数列，故正确， 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题． 二．等差数列的通项公式（共1小题） 2．（2023秋•永定区校级期中）在等差数列中，，，则　　 A．5 B．8 C．10 D．14 【分析】由题意可得，进而可得公差，可得，代值计算即可． 【解答】解：在等差数列中，， ，解得， 公差， 故选：． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题． 三．等差数列的前n项和（共2小题） 3．（2023秋•永定区校级期中）已知是等差数列的前项和，，则　　 A．20 B．28 C．36 D．4 【分析】由等差数列的下标和性质化简已知条件，利用等差数列的求和公式计算即可． 【解答】解：等差数列中，， 解得， 则． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，属于基础题． 4．（2023秋•江华县校级期中）在等差数列中，，则　　 A．15 B．30 C．45 D．60 【分析】由等差数列的性质可得：．即可得出． 【解答】解：由等差数列的性质可得：． ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的性质，属于基础题． 四．由等差数列的前n项和求解数列（共1小题） 5．（2023秋•永定区校级期中）已知数列的前项和公式为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值及对应的值． 【分析】（1）利用递推式即可得出； （2）利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）当时，； 当时，， 当时上式也成立，． （2）． 当或8时，取得最小值，为． 【点评】本题考查了递推式的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 五．直线的倾斜角（共2小题） 6．（2023秋•衡阳县校级期中）若直线过点，，则此直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，求得倾斜角的值． 【解答】解：直线过点，， 直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 由，可得， 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式、直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题． 7．（2023秋•北湖区校级期中）直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】由直线的方程可知其斜率，从而可得其倾斜角． 【解答】解：直线的斜率，设其倾斜角为，，， 则， ，， 故选：． 【点评】本题考查直线的倾斜角，求得直线的斜率是关键，属于基础题． 六．直线的斜率（共2小题） 8．（2023秋•隆回县校级期中）关于直线，下列说法正确的有　　 A．过点， B．斜率为 C．倾斜角为 D．在轴上的截距为1 【分析】验证点不适合方程判断；求出直线在轴上的截距判断；化直线方程为斜截式，求得斜率判断；进一步求出直线的倾斜角判断． 【解答】解：对于直线，取时，，故错误； 取时，，即直线在轴上的截距为，故错误； 化直线方程为斜截式：，可得直线的斜率为，故正确； 设其倾斜角为，则，，故正确． 故选：． 【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算求解能力，是基础题． 9．（2023秋•北湖区校级期中）将直线绕着原点顺时针旋转，得到新直线的斜率是 　　． 【分析】求得已知直线的斜率和倾斜角，可得要求直线的倾斜角和斜率． 【解答】解：直线的斜率为，倾斜角为， 直线绕着原点顺时针旋转，可得新直线的倾斜角为， 其斜率为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查运算能力，是一道基础题． 七．直线的截距式方程（共2小题） 10．（2023秋•武陵区校级期中）写出一个截距相等且不过第一象限的直线方程 　　． 【分析】用截距式求得满足条件的直线的方程． 【解答】解：由于经过点、的直线，满足在坐标轴上的截距相等且不过第一象限， 一个截距相等且不过第一象限的直线方程为，即， 故答案为：． 【点评】本题主要考查求直线的截距式方程，属于基础题． 11．（2023秋•攸县校级期中）若直线的方程为． （1）若直线与直线垂直，求的值． （2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程． 【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得． （2）当时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，，．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出． 【解答】解：（1）直线与直线垂直， ，解得． （2）当时，直线化为：．不满足题意． 当时，可得直线与坐标轴的交点，，． 直线在两轴上的截距相等，，解得：． 该直线的方程为：，． 【点评】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 八．直线的一般式方程与直线的性质（共2小题） 12．（2023秋•隆回县校级期中）若直线过两点，，则直线的一般式方程是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可． 【解答】解：因为直线过两点，， 所以直线的方程为，即， 故选：． 【点评】本题主要考查用两点式求直线的方程，属于基础题． 13．（2023秋•汉寿县校级期中）直线，的图像可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意利用直线的斜率和直线在轴上的截距，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：直线的斜率为，在轴上的截距为，的斜率为，在轴上的截距为， 中，直线的斜率大于零，而直线在轴上的截距小于零，矛盾，故排除； 中，直线的斜率大于零，而直线在轴上的截距大于零， 直线在轴上的截距大于零，的斜率为，小于零，满足题意； 中，直线在轴上的截距为，大于零，的斜率为，小于零， 直线的斜率小于零，直线在轴上的截距小于零，故满足题意； 中，直线的斜率为大于零，直线在轴上的截距为 小于零，矛盾，故排除， 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率和直线在轴上的截距，属于基础题． 九．直线的一般式方程与直线的平行关系（共3小题） 14．（2022秋•祁阳县校级期中）已知直线与平行，则的值是　　 A．1 B．2或5 C．5 D．1或2 【分析】由题意，利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得的值． 【解答】解：直线与平行， 当时，即时，直线为：，直线为：，显然这两条直线平行． 当当时，由题意可得，，求得， 综上可得，或， 故选：． 【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题． 15．（2023秋•汉寿县校级期中）已知直线，，不能围成三角形，则实数的取值可能为　　 A．1 B． C． D． 【分析】由题意可得，故其中有2条直线平行，或者三线经过同一个点．再根据两条直线平行的性质，三直线共点问题，求出的值． 【解答】解：直线，，不能围成三角形， 故其中有2条直线平行，或者三线经过同一个点． 若其中有2条直线平行，则，或，求得，或． 若 三线经过同一个点，则直线和直线的交点在上， 故有，求得， 故选：． 【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，三直线共点问题，属于基础题． 16．（2023秋•汉寿县校级期中）已知直线与的交点为． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求过点且垂直于直线的直线方程． 【分析】（1）先求出点的坐标，设出直线方程代入即可；（2）根据直线的垂直关系求出直线方程即可． 【解答】解：（1）由解得 所以点的坐标是．（2分） 因为所求直线与平行，所以设所求直线的方程为． 把点的坐标代入得：，得． 故所求直线的方程为（7分） （2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为：． 把点的坐标代入得：，得， 故所求直线的方程为：．（12分） 【点评】本题考查了求直线的交点坐标，考察直线的位置关系，考察求直线方程问题，是一道基础题． 一十．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题） 17．（2022秋•长沙期中）若直线与垂直，则实数　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，求得的值． 【解答】解：直线与垂直， ，求得， 故选：． 【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题． 18．（2023秋•衡阳县校级期中）已知两条直线，，求满足下列条件的，值． （Ⅰ）且过点； （Ⅱ）且原点到这两直线的距离相等． 【分析】（Ⅰ）通过的充要条件得到关系式，过点得到方程，然后求出，的值； （Ⅱ）利用得到，通过原点到这两直线的距离相等．即可求出，． 【解答】解（Ⅰ），（1） 又过点，则（2） 联立（1）（2）可得，，．（6分） （Ⅱ）依题意有，，且， 解得，或．（12分） 【点评】本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，平行与垂直的条件的应用，考查计算能力． 19．（2023秋•新邵县校级期中）已知的三个顶点分别为，，． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）求的面积． 【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方程． （2）计算，到直线的距离为，得到面积． 【解答】解：（1），， ，故边的垂直平分线的斜率， 又的中点为， 边的垂直平分线为，即； （2）由已知可得， 所在的方程为，即， 到直线的距离为， 的面积． 【点评】本题考查直线方程的求法，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题． 一十一．过两条直线交点的直线系方程（共1小题） 20．（2023秋•湖南期中）已知，，，是直线为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是　　 A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【分析】由题意，可得，结合直线的斜率存在，得到，，再根据选项分别判断即可． 【解答】解：由题意得， 则， （直线的斜率存在，， 故与相交， 方程组总有唯一解．，错误，正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，，，在直线， 即上， 但已知这两个点在直线上， 这两条直线不是同一条直线， 不可能是方程组的一组解，错误． 故选：． 【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线斜率的求法，属于中档题． 一十二．与直线关于点、直线对称的直线方程（共1小题） 21．（2023秋•湖南期中）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，求出关于的对称点的坐标，然后根据直线方程的两点式，算出反射光线所在直线方程． 【解答】解：设关于的对称点为， 则有，且，解得：，，即， 因此，反射光线所在直线为，整理得． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、点关于直线的对称点的求法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 一十三．圆的一般方程（共1小题） 22．（2023秋•北湖区校级期中）曲线与轴所围成区域的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆的标准方程求解即可． 【解答】解：由，可得，， 所以曲线表示圆，的部分； 因为圆心坐标为，所以圆关于轴对称， 所以曲线与轴所围成区域的面积为． 故选：． 【点评】本题考查了圆的方程应用问题，是基础题． 一十四．直线与圆的位置关系（共10小题） 23．（2023秋•开福区校级期中）已知点在圆上，直线与两坐标轴的交点分别为，，则的面积的最大值是　　 A． B．8 C． D．9 【分析】求出圆的圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的最大距离，再求出，代入三角形面积公式求解． 【解答】解：如图， 圆的圆心到直线的距离． 则圆上的点到直线的距离的最大值为3． 又直线与两坐标轴交点分别为，， ． 面积的最大值为． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题． 24．（2023秋•新邵县校级期中）圆关于直线对称，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知求得圆心坐标，代入直线方程，可得，再由基本不等式求最值． 【解答】解：由圆，得圆心坐标为， 又圆关于直线对称， ，即，得， 又，，． 当且仅当，即时上式等号成立． 的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 25．（2023秋•武陵区校级期中）过点的直线与圆交于，两点，则当时，直线的斜率为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意画出图形，可知与（或重合），再由，可得直线的倾斜角，进一步求得直线的斜率． 【解答】解：如图，圆的圆心坐标为，半径为2，则在圆上， 则与（或重合），不妨设与重合． 又，直线的倾斜角为或， 可知直线的斜率为或，即或， 故选：． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想，是中档题． 26．（2023秋•湖南期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，，为切点，则下列说法正确的是　　 A．圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1 B．四边形面积的最小值为1 C．当为等边三角形时，点的坐标为 D．直线过定点 【分析】求得圆上的点到直线的距离的最小值，可判断；求得四边形的面积，结合到直线的距离，可判断；求得的长，可得的长，进而求得的坐标，可判断；求得四点，，，所在圆的方程，与圆的方程联立，可得直线的方程，可判断． 【解答】解：圆的圆心为，半径为1， 可得圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的距离的最小值为， 可得圆上有两个点到直线的距离等于1，故错误； 四边形面积为， 而的最小值为，则的最小值为1，故正确； 当为等边三角形时，可得，，， 可得，，由，解得，或，故错误； 设，由四点，，，共圆，可得圆的方程为，联立圆， 可得直线的方程为，即，令，且，解得，即直线恒过定点，，故正确． 故选：． 【点评】本题考查圆的方程，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 27．（2023秋•攸县校级期中）已知，直线，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线段长的最小值为 　1　． 【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理得答案． 【解答】解：的圆心坐标为，半径为2， 如图， ，要使最小，则最小，为圆心到直线的距离，即． 的最小值为． 故答案为：1． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化、数形结合思想，是基础题． 28．（2023秋•新邵县校级期中）在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为　　． 【分析】先将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，半径是定值3，所以直线，才能满足截得的弦长是定值． 【解答】解：将圆化为标准式得 圆心，半径， 令，消去得， 所以圆心在直线上， 又直线经过点， 若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值， 直线与圆心所在直线平行， 设方程为，将代入得， 直线的方程为． 故答案为． 【点评】有关直线与圆的位置关系的问题，一般采用几何法，即先求出圆心与半径，然后画出图象，利用点到圆心的距离，半径，弦长等的关系解决问题． 29．（2022秋•邵阳期中）已知为圆上任意一点，则的最大值是 　　． 【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由的几何意义，即圆上的动点与定点连线的斜率求解． 【解答】解：化圆为， 可得圆心坐标为，半径为1． 又为圆上任意一点， 则的几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率． 如图， 设过与圆相切的直线方程为， 即， 由，解得或． 的最大值是． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题． 30．（2023秋•衡阳县校级期中）已知圆关于直线对称，且过点和原点． （1）求圆的方程； （2）相互垂直的两条直线，都过点，若，被圆所截得弦长相等，求此时直线的方程． 【分析】（1）设圆心坐标为，利用圆过点和原点，求出，即可求圆的方程； （2）利用圆的对称性，直接求出直线的斜率，写出直线方程即可． 【解答】解：（1）设圆心坐标为，则， ，， 圆的方程为； （2）设圆的圆心为，、被圆所截得弦长相等， 由圆的对称性可知，直线的斜率， 直线的方程为：或． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法、直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题． 31．（2023秋•新邵县校级期中）已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线与圆的位置关系； （3）当时，求直线被圆截得的弦长． 【分析】（1）把直线的方程化为，令，求出方程组的解即得； （2）根据圆的圆心到定点的距离，得出点在圆内，直线与圆相交； （3）求时圆心到直线的距离，利用勾股定理求出直线被圆所截得的弦长即可． 【解答】解：（1）证明：直线的方程可化为： ， 令，解得， 直线恒过定点； （2）圆的圆心，半径， 点与圆心的距离， 点在圆内，即直线与圆相交； （3）当时，直线的方程为， 由圆心到直线的距离为， 半径， 直线被圆所截得的弦长为． 【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，以及直线恒过定点的问题，也考查了直线被圆所截得弦长的计算问题，是综合性题目． 32．（2023秋•邵东市校级期中）已知直线经过两直线与的交点，且与直线垂直． （1）求直线的方程； （2）若点到直线的距离为，求实数的值． 【分析】（1）求出交点坐标，利用与直线垂直，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可求实数的值． 【解答】解：（1）联立两直线与，得交点， 与直线垂直， 直线的方程为； （2）点到直线的距离为， ， 或1． 【点评】本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题． 一十五．圆与圆的位置关系及其判定（共1小题） 33．（2023秋•湖南期中）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出两圆相交的充要条件，即圆心距大于半径差的绝对值，小于半径和的绝对值，据此求出的集合，再从选项中找到该集合的真子集． 【解答】解：由题意知：，；，， 所以，所以要使两圆相交，只需， 即， 显然只有选项中的集合是的真子集，满足题意． 故选：． 【点评】本题考查充分条件与必要条件的判断方法，属于中档题． 一十六．直线和圆的方程的应用（共1小题） 34．（2022秋•衡阳县校级期中）已知圆，直线， （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线被圆截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求的值以及最短长度． 【分析】（1）直线的方程可化为，要使直线恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得，易得定点；（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；当直线时，直线被圆截得的弦长最短 【解答】解：（1）证明：直线的方程可化为（3分）（5分） 所以直线恒过定点（6分） （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长．（8分） 当直线时，直线被圆截得的弦长最短 直线的斜率为 由解得 此时直线的方程是 圆心到直线的距离为 所以最短弦长是（12分） 【点评】本题考查直线恒过定点问题，采用分离参数法，借助于解方程组求解；圆中的弦长，应充分利用其图象的特殊性，属于基础题 一十七．圆方程的综合应用（共1小题） 35．（2023秋•祁阳市校级期中）动点在圆上，动点在圆上，则下列说法正确的是　　 A．两个圆心所在的直线斜率为 B．两个圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆公切线有两条 D．的最小值为0 【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，圆上，其圆心为，半径为1，圆，其圆心为，半径为4，则两个圆心所在的直线斜率，正确； 对于，圆，圆心为，半径为1，圆，圆心为，半径为4，圆心距，两圆外切，没有相交弦，错误， 对于，圆心距，两圆外切，有3条公切线，错误； 对于，由的结论，两圆外切，则的最小值为0，正确； 故选：． 【点评】本题考查圆方程的综合应用，注意圆的标准方程，属于中档题． 一十八．椭圆的几何特征（共5小题） 36．（2023秋•祁阳市校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意画出图形，由椭圆定义结合三角形中位线定理可得答案． 【解答】解：如图， 设线段的中点为，连接，连接，则， 椭圆的方程为， ，，，即，， ， ， △是等边三角形，则，即直线的倾斜角为． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程及其性质，考查三角形中位线定理的应用，属于中档题． 37．（2022秋•邵阳期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，若，那么△的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意定义及余弦定理列式求得的值，再由三角形面积公式求解． 【解答】解：由椭圆定义可得：， 在△中，，， 由余弦定理可得： ， ． △的面积为． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查焦点三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题． 38．（2022秋•大祥区校级期中）过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于、、、四点，则四边形面积的最大值与最小值之差为　　 A． B． C． D． 【分析】由椭圆可得，，．分类讨论： 当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形面积． 当直线和的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得，．利用四边形面积即可得到关于斜率的式子，再利用基本不等式即可得出．进而得到四边形面积最大值与最小值之差． 【解答】解：由椭圆的可得，，． ①当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形面积． ②当直线和的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为． 联立，化为， ，．． 把换成可得． 四边形面积． 当且仅当，即时取等号． 综上可知：四边形面积的最小值是，最大值是2． 四边形面积的最大值与最小值之差． 故选：． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、四边形面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 39．（2023秋•祁阳市校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点，在椭圆外，点在椭圆上，则　　 A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是， C．存在点使得 D．的最小值为1 【分析】由已知求得，再由点在椭圆外求得的范围，由离心率公式求得的范围判断；由已知求解，再由的取值范围是，判断；由的最大值为钝角判断；由椭圆定义及基本不等式求得的最小值判断． 【解答】解：由已知得，，而点，在椭圆外，则，解得， ，故错误； 由，得，又点在椭圆上， 的取值范围是，，，故正确； 当在短轴的一个端点处时，最大，此时， ，，此时为钝角，则存在点使得，故正确； ， 当且仅当时取等号，故正确． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题． 40．（2022秋•怀化期中）求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）长轴是短轴的3倍且经过点； （2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为． 【分析】（1）由题意分类设出椭圆的标准方程，结合已知求得，的值得答案； （2）由已知可得椭圆的长半轴长与半焦距间的关系，联立方程组求得，的值，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求． 【解答】解：（1）若焦点在轴上，设方程为． 椭圆过点，，得， ，． 方程为． 若焦点在轴上，设方程为． 椭圆过点，，得， 又，， 方程为． 综上所述，椭圆方程为或； （2）由已知，有，解得， 从而， 所求椭圆方程为，或． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，训练了利用待定系数法求椭圆的标准方程，是中档题． 一十九．直线与椭圆的综合（共4小题） 41．（2022秋•武冈市期中）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【分析】（1）由题可知，，解出和的值即可； （2）分两大类进行讨论：①当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，消去，写出韦达定理，结合可得或，分别找出两种情形下直线所过的定点，并利用圆的几何性质可得点的坐标；②当直线的斜率不存在时，此时为，，验证，是否符合题意即可． 【解答】解：（1）离心率， ， 又， ，， 把点代入椭圆方程得，，解得， 故椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立，得， 由△，知， 设，，，，则，， ，，，，即， ，化简整理得，， 或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点． ，点在以为直径的圆上， 故当点为的中点，即，时，，为定值； ②当直线的斜率不存在时，设其方程为，，，且， ，，，，解得或2（舍， ，，此时，为定值． 综上所述，存在定点，，使得为定值，且该定值为． 【点评】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，涉及分类讨论的思想和先猜后证的方法，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力、转化与化归能力和运算能力，属于难题． 42．（2023秋•攸县校级期中）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．直线与椭圆交于不同的两点，． （1）求椭圆的方程； （2）当的面积为时，求的值． 【分析】（1）由已知列关于，，的方程组，求得，的值，则椭圆方程可求； （2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到直线的距离，得到三角形的面积，进一步得到关于的方程求解． 【解答】解：（1）由题意得，解得，， 椭圆的方程为； （2）由，得． 设点，的坐标分别为，，，， 则，，，， ． 又点到直线的距离， 的面积为：． 由，整理得：， 解得舍），故． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 43．（2023秋•衡阳县校级期中）已知椭圆经过点，，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于，两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上，求证：平行四边形的面积为定值． 【分析】（1）由题意可得关于，，的方程组，求得，的值，则椭圆方程可求； （2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到．利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值． 【解答】（1）解：由题意， ，解得，． 椭圆方程为； （2）证明：联立，得． △． 设，，，， 则，． ． 四边形是平行四边形， ， 则． 又点在椭圆上，，即． ． 又点到直线的距离． 平行四边形的面积． 即平行四边形的面积为定值． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 44．（2022秋•鹤城区校级期中）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若为原点），且，求直线的斜率． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，运用离心率公式和，，的关系，可得，，进而得到所求椭圆方程； （Ⅱ），设的方程为，联立椭圆方程，求得的坐标，的坐标，由，运用斜率之积为，解方程即可得到所求值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，即，，， 解得，， 可得椭圆方程为； （Ⅱ），设的方程为， 代入椭圆方程， 可得， 解得或， 即有，， ，令，可得，， 又，， 可得，解得， 可得的斜率为． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题． 二十．抛物线的焦点与准线（共2小题） 45．（2023秋•雨花区校级期中）抛物线焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据为抛物线上一点，且，可确定的坐标，利用的面积，求出，即可求得抛物线的方程． 【解答】解：由题意，，，准线方程为，，． 的横坐标为， 的纵坐标为， 的面积为， ， ， 抛物线的方程为． 故选：． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定的坐标． 46．（2023秋•衡阳县校级期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点，反射后，再经抛物线上另一点，反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．与之间的距离为4 【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项； 点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项； 根据抛物线的定义可知，，可判断选项； 由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项． 【解答】解：如图所示， 由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项正确； 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， ，即选项正确； 由抛物线的定义可知，，即选项正确； 与平行， 与之间的距离，即选项错误； 故选：． 【点评】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题． 二十一．直线与抛物线的综合（共1小题） 47．（2022秋•岳麓区校级期中）已知抛物线，，，其中，过的直线交抛物线于，两点． （1）当直线垂直于轴，且为直角三角形，求实数的值； （2）若四边形是平行四边形，当点在直线上时，求实数，使得． 【分析】（1）由题意，可求得，两点坐标，进而可得，求解即可； （2）假设存在实数，使得．设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标，即可求得的值． 【解答】解：（1）由题意，代入抛物线中，解得， 不妨取，，， 则，，， 为直角三角形， ，解得或， 经检验不合题意，故； （2）存在时，使得． 由题意可得四边形为平行四边形，则， 设直线，，，，，联立，得， 由题意，判别式△，，， 要使．则，又，，，， 即， 化简，得， 即，代入解得． 故时，有． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算的应用，考查转化思想，计算能力，属中档题． 二十二．双曲线的几何特征（共7小题） 48．（2023秋•永定区校级期中）下列命题中正确的是　　 A．双曲线与直线有且只有一个公共点 B．平面内满足的动点的轨迹为双曲线 C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 【分析】联立求出双曲线与直线只有一个交点，可判断；举出反例可判断；根据焦点在轴上，得到不等式组，求出，可判断；由双曲线焦距和渐近线方程，得到，，得到双曲线方程，可判断． 【解答】解：对于，解方程组得唯一解， 所以双曲线与直线有且只有一个公共点，所以对； 对于，当时，满足的动点的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以错； 对于，若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则且，解得，所以对； 对于，设双曲线标准方程为，由，则， 渐近线方程为，即，由，解得，， 双曲线的标准方程为，所以错． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 49．（2022秋•武冈市期中）已知曲线，　　 A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是椭圆，且其离心率为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是双曲线，其离心率为或 【分析】由，可得为焦点在轴上的椭圆，可判断；由，求得离心率，可判断；由，求得双曲线的渐近线方程，可判断；由，讨论，，求得离心率，可判断． 【解答】解：曲线， 若，则是焦点在轴上的椭圆，故正确； 若，则是椭圆，且，故错误； 若，则是双曲线，其渐近线方程为，故正确； 若，则是双曲线，当，可得双曲线的焦点在轴上， 可得，当，可得双曲线的焦点在轴上， 可得，故正确． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想、分类讨论思想和运算能力，属于中档题． 50．（2023秋•湖南期中）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线交双曲线于、两点，线段的中垂线交轴于点．若，则双曲线的离心率取值范围是 　　． 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段的中垂线的方程，进而可求点和，结合运算求解即可． 【解答】解：设双曲线的右焦点为，， ，，则直线， 联立方程，消去得：， △，，， 则， 设线段的中点，， 则，， 即，且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即 ，整理得， 则，注意到双曲线的离心率， 双曲线的离心率取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于难题． 51．（2022秋•大祥区校级期中）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为　13　． 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【解答】解：圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 设双曲线的左右焦点为，， 连接，，，，可得 ． 当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值13． 故答案为：13． 【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题． 52．（2022秋•怀化期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为 　　． 【分析】由题意可得：，，，解得，，即可得出双曲线的标准方程． 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为， ，，， 解得，， 则双曲线的标准方程为， 故答案为：． 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 53．（2022秋•岳麓区校级期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的两条渐近线分别交于、两点，若，，则的离心率为 　　． 【分析】设出双曲线的渐近线方程，以及直线的方程，联立方程组求得，的坐标，结合向量共线的坐标表示，以及向量垂直和直角三角形的性质，化简整理可得，的关系，由离心率公式可得所求值． 【解答】解：设双曲线的渐近线方程为，的方程为， 设，直线的方程为， 联立，可得，， 联立，可得，， 由，可得， 化为，① ，可得，， 即，化为，② 由①②可得， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，以及方程思想和化简运算能力，属于中档题． 54．（2022秋•武冈市期中）已知双曲线，的左焦点是，则的值为　1　． 【分析】本题根据可得，，再根据即可计算出结果． 【解答】解：由题意，可知，即． ， ，． ． 故答案是：1． 【点评】本题主要考查双曲线的基础知识及基本计算．本题属基础题． 二十三．直线与双曲线的综合（共1小题） 55．（2022秋•雨花区校级期中）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4． （1）求的方程； （2）如图，点为双曲线的下顶点，直线过点且垂直于轴位于原点与上顶点之间），过的直线交于，两点，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标． 【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得，，即得答案； （2）根据，，，四点共圆结合几何性质可推出，设，，，，，，从而可以用点的坐标表示出，再设直线，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入的表达式中化简，可得答案． 【解答】解：（1）因为实轴长为4，即，， 又，所以， 故的方程为； （2）由，，，四点共圆可知，， 又，即， 故， 即，所以， 设，，，，，， 由题意可知，则直线，直线， 因为在直线，所以，代入直线方程，可知， 故坐标为，所以， 又， 由，则， 整理可得， 当直线斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线，代入双曲线方程：中， 可得，所以， 又 ， 所以， 故，即，所以点坐标为． 【点评】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，属于难题． 二十四．曲线与方程（共1小题） 56．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，，曲线上任意一点满足：． （1）求曲线的方程； （2）设点是曲线上的任意一点，过原点的直线与曲线相交于，两点，若直线，的斜率都存在，并记为，．试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论； （3）设曲线与轴交于、两点，点在线段上，点在曲线上运动．若当点的坐标为时，取得最小值，求实数的取值范围． 【分析】（1）算出向量的坐标，从而得到关于、的表达式，代入题中等式并化简，即得：，即为所求曲线的方程． （2）设，，，，，将、坐标分别代入（1）中求出的椭圆方程，再作差化简整理，可得．由此化简，得的值恒等于，与点的位置和直线的位置无关． （3）将代入椭圆方程，可得且，由此化简得．因为当点的坐标为时取得最小，所以结合二次函数的性质得，解之得．最后结合，即可得到实数的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，可得 ，， ， 由此可得，， 又，且， ， 化简整理得：，即为所求曲线的方程． （2）因为过原点的直线与椭圆相交的两点，关于坐标原点对称， 所以可设，，，，． ，，在椭圆上， ，①．，② ①②，得． 又，， ， 因此，的值恒等于，与点的位置和直线的位置无关． （3）由于在椭圆上运动，可得且 ， 由题意，点的坐标为时，取得最小值， 即当时，取得最小值，而，故有，解之得． 又椭圆与轴交于、两点的坐标为、，而点在线段上，即， ，实数的取值范围是． 【点评】本题给出曲线上的动点满足的向量等式，求曲线的方程并讨论斜率之积为定值的问题，着重考查了轨迹方程的求法、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆位置关系和向量的数量积运算等知识，属于中档题． 二十五．直线与圆锥曲线的综合（共4小题） 57．（2023秋•衡阳县校级期中）设抛物线与两坐标轴的交点分别记为，，，曲线是经过这三点的圆． （1）求圆的方程． （2）过作直线与圆相交于，两点， 用坐标法证明：是定值． 设，求的最大值． 【分析】（1）根据题意，设圆的方程为，由待定系数法，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，讨论直线的斜率存在与不存在，联立直线与圆的方程，结合根与系数的关系代入计算，即可得到结果； 根据题意，联立直线与圆的方程，结合韦达定理，由基本不等式即可得到结果． 【解答】解：（1）设抛物线与轴分别交于，，交轴于点， 令，则，即，令，则，则．， 设圆的方程为， 则，解得， 则，化为标准式为． （2）证明：当直线的斜率不存在时，则方程为， 联立，可得或， 即，则，，则； 当当直线的斜率存在时，设方程为， 联立直线与圆的方程，消去可得， 设，，，， 由根与系数的关系可得，， 且， ， 则 ，是定值． 由可知，当直线的斜率不存在时，， 且，则，，则； 当直线的斜率存在时，设方程为， 则 ． 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 58．（2023秋•汉寿县校级期中）已知，，为平面上的一个动点．设直线，的斜率分别为，，且满足．记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的动直线与曲线交于，两点．曲线上是否存在定点，使得恒成立（直线不经过点？若存在，求出点的坐标，并求的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设点，然后根据列方程，整理即可得到曲线的方程； （2）当直线的斜率不存在时，根据列方程得到或，然后分别验证或时是否成立，即可得到，然后在三角形中利用等面积和勾股定理得到，，即可得到，然后求最小值即可． 【解答】解：（1）设点，则， 因为，所以， 整理，得， 所以曲线的方程为． （2）当直线的斜率不存在时方程为， 代入曲线的方程中，得，解得， 所以此时，， 设，，则①， ，， 因为，所以②， 联立①②，解得或（舍去），，所以或， 当时，且当直线的斜率存在时， 设直线方程为，，，，， 因为直线经过时，所以， 联立，得， 所以，， 所以，， 所以 ， 所以，即， 当时，同理可得，所以此时不恒成立， 所以存在定点使，， 设点到直线的距离为，因为三角形为直角三角形， 所以，， 所以， 当直线斜率不存在时，，， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 则，， 当时，； 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上，存在定点使，的最小值为． 【点评】本题考查了轨迹方程的求法，椭圆的性质，直线与圆锥曲线的综合，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题． 59．（2023秋•汉寿县校级期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点，若，求的取值范围； （Ⅲ）作直线与椭圆交于不同的两点，，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值． 【分析】（Ⅰ）的方程为：，由到直线的距离为3，可求，结合连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，即可求出求椭圆的方程； （Ⅱ）由，可得的坐标，代入椭圆方程，即可求的取值范围； （Ⅲ）分类讨论，写出线段垂直平分线方程，利用，结合韦达定理，即可求实数的值． 【解答】解：（Ⅰ）设，的坐标分别为，，其中 由题意得的方程为： 到直线的距离为3， 有，解得（2分） ① 由题意知：，即② 联立①②解得：，， 所求椭圆的方程为（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为 设，，， ，，，， （7分） 又是椭圆上的一点，则 解得：或（9分） （Ⅲ）由，设， 根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为 把它代入椭圆的方程，消去，整理得： 由韦达定理得，则， 线段的中点坐标为 （1）当时，则有，线段垂直平分线为轴 于是 由，解得：（11分） （2）当时，则线段垂直平分线的方程为 由点是线段垂直平分线的一点，令，得： 于是 由，解得： 代入，解得： 综上，满足条件的实数的值为或．（14分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 60．（2023秋•武陵区校级期中）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点． 【分析】（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，．由此能求出双曲线的方程． （Ⅱ）由，得，由△，且，得，且．设，、，，由以为直径的圆过原点，知．由此能够求出． 【解答】解：（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，． 又，，． 所以双曲线的方程是． （Ⅱ）①由 得， 由△，且，得，且． 设，、，，因为以为直径的圆过原点，所以， 所以． 又，， 所以， 所以，解得． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用，合理地进行等价转化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$