第一章 勾股定理 1.1.1 探索勾股定理教学设计2024-2025学年北师大版数学八年级上学期

第一章 勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　探索勾股定理 作为平面几何有关度量的最基本定理，勾股定理的探究方法有很多，而且在各种探究方法中蕴含着十分丰富的数学思想．因此，本节力图引导学生探究并掌握勾股定理，利用勾股定理解决具体的问题．勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，在数学的发展中起着重要的作用．学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解． 【置疑导入】 做一做：观察图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1 cm，BC＝0.75 cm.请你用直尺测量出边AB的长度． 想一想：观察图2，以△ABC的三边为边分别作正方形，然后分别算出三个正方形的面积，并找出三个正方形的面积之间的数量关系． 探一探：结合以上行为，回归到Rt△ABC中，试着探索出Rt△ABC的三边满足怎样的数量关系． 【说明与建议】　说明：此背景通过构造正方形，利用正方形的面积能让学生快速地发现勾股定理，同时也为后续利用面积法验证勾股定理做了铺垫．建议：提前布置任务，让学生从观察地板镶嵌图案等方式感受勾股定理的存在，在学生观察的同时引导学生思考解决问题的方式． 命题角度1　利用勾股定理求长度 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝(B) A．12 B．13 C．14 D．15　　 命题角度2　利用勾股定理求面积 2．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作正方形，面积分别为225，400，S，则S为(D) A．175 B．600 C．25 D．625 命题角度3　勾股定理的简单应用 3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了8步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草． “商高是公元前十一世纪的中国人” 商高是公元前十一世纪的中国人．当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期．在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话．周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度．”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五．”即我们常说的勾三股四弦五．什么是“勾”“股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”．商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时，径隅(就是弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”． 关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也．”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的． 欧洲人则称这个定理为毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯(Pythagoras)是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人．希腊另一位数学家欧几里德(Euclid，是公元前三百年左右的人)在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”．并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺．因此这一定理又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”．所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了． 尽管希腊人称勾股定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”，法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”，但据推算，他们发现勾股定理的时间都比我国晚．我国是世界上最早发现勾股定理这一几何宝藏的国家！ 课题 第1课时　探索勾股定理 授课人 素养目标 1.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法． 2．会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题. 3．在观察、猜想、归纳、验证等过程中，培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力，学会用数学的思维解决问题． 教学重点 勾股定理的探索过程． 教学难点 分清直角边和斜边． 授课类型 新授课 课时 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 什么叫直角三角形？ 学生回忆并回答，为本课的学习提供知识基础. 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系．事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系．让我们一起去探索吧！ 从实际问题入手，激起学生的学习兴趣，调动学生的主动性，从而让学生投入到本节课中. 活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．在纸上作出一个直角三角形，分别测量它们的三条边长，观察三边长的平方之间有什么关系，与同伴交流． 2．(1)观察教材第2页图1­2，正方形A中有________个小方格，即A的面积为________平方单位． 正方形B中有________个小方格，即B的面积为________平方单位． 正方形C中有________个小方格，即C的面积为________平方单位． (2)你是怎样得出上面的结果的？学生思考交流并加以回答．(留给学生充足的时间，让学生体验正方形C的面积求法的多样性) (3)图1­2中，A，B，C的面积之间有什么关系？ 师生活动：学生交流后形成共识，教师板书SA＋SB＝SC. 3．我们也不难发现教材第2页图1­2中的直角三角形是等腰直角三角形．如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种关系呢？ 投影教材第2页图1­3. 师生活动：让学生先独立思考，教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思维过程．若计算正方形C的面积有困难，教师应适时点拨，介绍割补以及拼图等方法，同时借助多媒体动态演示得出在一般的直角三角形中，SA＋SB＝SC仍然成立． 三个正方形之间的面积关系能用直角三角形的三边关系表示吗？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么就有a2＋b2＝c2. 1.此次探究，能帮助学生初步感受直角三角形三边之间的关系，这为进一步验证勾股定理做好了铺垫． 2．割补以及拼图等方法是本节课的教学难点，需要调动全体同学的积极性，留给学生充足的时间探究，同时借助多媒体动态演示，使学生感受方法的技巧，获得掌握知识的快感，这对于学生良好思维品质的形成有重要作用. 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度． 解：左边未知正方形的面积为225，右边x＝8. 巩固对新知的理解，培养学生灵活应用所学知识解决数学问题的能力. 活动三：开放训练、体现应用 例2　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°. ①若a＝3，b＝4，则c2＝25，c＝5； ②若a＝6，b＝8，则c2＝100，c＝10； ③若a＝40，b＝9，则c＝41； ④若a＝15，b＝8，则c＝17． 【变式训练】 如图，做一个长80 cm，宽60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长至少为100cm. 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 活动四：课堂检测 【课堂检测】 1.在△ABC中，∠C＝90°.若 a＝5，b＝12，则 c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40． 2．等腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6cm，面积为48cm. 3．下列说法中正确的是(C) A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则a2＋b2＝c2 4．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为(C) A．42 B．32 C．42或 32 D．37 或 33 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第4页习题1.1第1、2、4题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力. 板书设计 第1课时　探索勾股定理 1．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么就有a2＋b2＝c2. 提纲挈领，重点突出. 教学反思 反思，更进一步提升. ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$