4.4.1对数函数的概念教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024年优质课竞赛 4.4.1 对数函数的概念 1、 教材分析 1. 知识的承上启下作用 承上：对数函数是在学生学习了指数及指数函数、对数的概念和运算的基础上进行的。指数与对数是互逆的运算关系，学生对指数函数的研究方法和相关性质有了一定的了解，这为对数函数的学习提供了重要的知识铺垫和方法借鉴。 启下：对数函数是基本初等函数之一，是进一步学习函数的基础，为后续学习幂函数、三角函数等其他函数以及函数的综合应用、解决实际问题等提供了重要理论支持和方法指导。 3.教材的呈现方式： 从具体到抽象：教材通先通过一些具体的实例，如放射性物质的衰变问题，引导学生观察数据之间的关系，从中发现对数的规律，进而引出对数函数的概念。 对比与类比：教材在归纳对数函数概念时，将对数函数与指数函数进行类比，让学生发现它们之间的联系和区别。 :4.思想方法的渗透： 类比思想：类比指数函数的研究方法和性质，来学习对数函数，让学生体会到数学知识之间的内在联系和统一性，培养学生的类比推理能力。 转化思想：对数函数与指数函数关联较强，在对数函数概念的教学中，经常需要用到指数式与对数式的互化。 具体到抽象：从实际情境出发，通过具体的对数函数学习，抽象出对数函数的一般形式。 2、 学情分析 1. 学生知识基础 学生在学习对数函数之前，已经掌握了指数函数的概念、图象和性质。对于指数与对数的互化关系有一定的认识，能够进行简单的指数式与对数式的转化。学生已经学习了对数的概念和运算性质，了解对数是指数运算的逆运算，为理解对数函数与指数函数的关系奠定了基础。 2.学生认知能力 高中学生的思维能力逐渐成熟，具备一定的抽象思维和逻辑推理能力。能够通过具体实例进行观察、分析和归纳，从而理解抽象的数学概念。学生在学习过程中，能够运用类比的方法，将对数函数与指数函数的学习方式进行类比，从而更好地理解对数函数的概念。 3.学生学习特点 学生对新的数学概念往往存在一定的好奇心和求知欲，但也可能会因为概念的抽象性而感到困惑和畏惧。因此，在教学过程中，要通过生动的实例和直观的图象，激发学生的学习兴趣，降低学习难度。 三、教学目标： 1. 从具体情境出发，类比指数函数定义，抽象出对数函数的定义（数学抽象）； 2. 通过指、对数函数的关系，掌握对数函数定义域及其求法（逻辑推理） 3. 能借助对数函数解决简单的实际问题（数学建模） 四、教学重难点： 1. 从具体函数出发，抽象出对数函数的概念 2. 准确理解对数函数的定义并掌握定义域求解方法 3. 借助指数式与对数式的互化来解决问题 五、教学过程 教学 环节 教学内容 设计意图 引入概念 情境 情境1：某景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的倍； 2年后，游客人次是2001年的倍； 3年后，游客人次是2001年的倍； … 年后，游客人次是2001年的倍. 游客人次的倍数关系表示为的指数函数：(∈[0,+∞)).指数函数解决的问题：已知经过的年数，可以推算游客人次是2001年的几倍. 问：若已知旅游人次变为2001年的y倍，则经过的年数=____________. 情境2：生物体内碳14含量与死亡年数间的关系为： 死亡1年后，生物体内碳14含量为原来的倍； 死亡2年后，生物体内碳14含量为原来的倍； 死亡3年后，生物体内碳14含量为原来的倍； … 死亡年后，生物体内碳14含量为原来的倍. 即生物体内碳14含量的倍数表示为死亡年数的一个指数函数关系：，∈[0,+∞). 问：若已知某死亡生物体内碳14含量为原来的倍，则死亡年数=__________. 从学生熟悉的实例出发，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，初步渗透指、对数互化的研究思路。 数学史 从1614年苏格兰数学家纳皮尔提出对数（函数），到1770年瑞士数学家欧拉指出“对数源于指数”，现在看来微不足道的一步，引得无数数学家为之奋斗了一百多年，数学的魅力着实让人折服！ 再次提出指、对数互化，并通过数学史引起学生学习的兴趣，同时让学生感受数学研究的艰辛和不易。 概念 生成 【再探考古的奥秘】 实际考古过程中，往往是先测定生物体内碳14含量y，利用对数式来计算该生物体的死亡年数。借助表和图来理解这种对应关系： 指数函数，∈[0,+∞) 碳14含量 死亡年数 0.10 19034.65 0.20 13304.65 0.30 9952.81 … … 0.90 870.98 1.00 0.00 思考： 从碳14含量（倍）到死亡年数的对应是函数关系吗？ 先回顾函数的概念： 一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合 的一个函数. 对照函数概念理解： 碳14含量的取值范围：（集合） 死亡年数的范围：（集合） 碳14含量与死亡年数存在函数关系！ 综合分析：从具体到抽象的过程 类比指数函数的定义，形成对数函数的定义： 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 通过具体函数的对比，总结对数函数符合的基本特征： （1）与； （2）与； （3）与。 归纳：（1）整个式子前面的系数是“1”； （2）； （3）真数位置只能是“”，且真数必须大于零. 通过观察形式的相似性和统一性，借助符号来表达共同的规律，一方面体现出数学符号语言的重要性，另一方面体现从具体到抽象的研究思路。 借助类比思想，通过形式定义的方式的得到对数函数的定义。 通过判断性问题，进一步强化对数函数的形式特征。 概念 剖析、 应用 【概念辨析】 1.已知集合，集合 （1）从集合到集合的对应关系是__③___； （2）从集合到集合的对应关系是__④___. ①.②. ③.④. 【简单应用】 2.已知函数是对数函数，求. 【定义域问题】 例1.(1)； (2). 及时演练： (1)；(2) ； (3)；(4). 【实际应用】 例2：已知某动物细胞分裂（一分为二）周期为30天，且细胞均得以存活。在理想状态下培养一个这种细胞: （1） 大约经过多少天后该细胞的数量将超过1000个？ （2） 借助计算工具得到如下一些数据（见PPT表格），你能发现什么规律？ 【概念辨析】从集合与集合间的对应关系出发，帮助学生了解和掌握对数函数与指数函数的关联。 【简单应用】 一是强化对数函数的形式特征，二是巩固对数函数求值问题。 【定义域问题】 强化对数函数真数大于零的特征，掌握“对数型”函数的定义域求解。 【实际应用】 从实际背景出发，建立简单的对数函数模型，进一步了解对数函数的实际意义，初步体会对数增长的特点。 课堂 小结 1　 本课学习了哪些内容？ 从实例出发，介绍了对数函数的概念；了解了对数函数与指数函数的关系；学会了对数函数定义域、解析式的求解，了解了对数函数的简单应用。 2　 运用了哪些数学思想？ 类比：类比指数函数形式定义，得到了对数函数的概念； 具体到抽象：从某一个特殊的函数出发，得到对数函数的基本形式. 梳理课堂知识，理清课堂脉络，强调细节，同时为学生研究其他形式的新函数和后续对数函数性质的学习做了铺垫。 课后 思考 课后思考与练习： （1）若在同一个对数函数的图象上，求t的值. （2）函数与函数是同一个函数吗？为什么？ 6、 教学反思 1. 在教学过程中，要注意引导学生积极参与思考，通过实例和练习加深对对数函数概念的理解，强化定义域、对应关系在对数函数概念教学中的重要性。 2. 要关注学生在理解对数函数与指数函数关系时可能出现的困难，为后续学习指、对数函数的关联提供依据。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$