期中模拟卷（提升卷）（考试范围：集合+逻辑语言+不等式+函数）-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

期中模拟卷（提升卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．若命题“，”为假命题，则该命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 4．已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 6．已知函数，设，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 7．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C．4046 D．4047 8．已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（    ） A．要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若不等式的解集为或，则 11．对于集合，则下面结论正确有（   ） A．如果，那么； B．如果，，那么； C．如果，，那么 D．如果，，那么 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 13．若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 14．定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度（矩形的周长保持不变），则的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 17．设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 18．已知幂函数． (1)若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式； (2)若在R上单调递增，求函数在上的最大值． 19．已知定义域为的函数满足：对任意的，，都有，当时，． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若，对任意的，关于的不等式在区间内有解，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟卷（提升卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得或， ， 故， 故选：A 2．若命题“，”为假命题，则该命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，，为真命题， 所以，可得， A是一个必要不充分条件，B是一个既不充分也不必要条件， C是一个充要条件，D是一个充分不必要条件. 故选：D 3．已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】A 【详解】由题意可知，，故， 当且仅当时，即时等号成立，取得最小值3. 故选：A. 4．已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其对称轴为 若函数在区间上是单调增函数，则，∴ 若函数在区间上是单调减函数，则，∴ 所以，实数k的取值范围是. 故选：A. 5．若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】依题意，“，使得成立”是假命题， 所以是真命题， 所以在区间上恒成立， 设函数，由于在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以， 所以，所以A选项符合，BCD选项不不符合. 故选：A 6．已知函数，设，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】D 【详解】在同一直角坐标系中作出函数,,， 根据题意可得函数为图中黑线表示部分， 根据图像可得，点A为函数与的交点， 所以解得，故点A的横坐标为， 点B为函数与的交点， 所以，解得，故点B的横坐标为， 点C为函数与的交点， 所以，得，故点C的横坐标为， 所以函数, 由图像可知，当时，函数有最小值为. 故选：D. 7．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C．4046 D．4047 【答案】D 【详解】函数既是二次函数又是幂函数，∴，∴为偶函数； 因为函数是R上的奇函数， 所以为定义域R上的奇函数； ， . 故选：D. 8．已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨令，则由得：， 令，则在上单调递增； ，， 为定义在上的奇函数，在上单调递增； 由得：，即， ，解得：，即不等式的解集为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，，， 定义域关于原点对称，且，则是奇函数， 且该反比例函数在单调递减，故A正确； 选项B，，当时，与都单调递增， 则在单调递增，故B错误； 选项C，，由图象可知该函数为奇函数， 且在单调递减，故C正确； 选项D，，由， 知，，不满足在区间单调递减，故D错误. 故选：AC. 10．下列命题正确的是（    ） A．要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若不等式的解集为或，则 【答案】AD 【详解】对于A，要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 令，则有， 解得，故A正确； 对于B，∵在上恒成立，令， 则，解得，故B错误； 对于C，∵关于x的不等式的解集是，∴， 则关于x的不等式的不等式等价于，即， 解得或，故C错误； 对于D，若不等式的解集为或，则， 得，，，所以，故D正确． 故选：AD. 11．对于集合，则下面结论正确有（   ） A．如果，那么； B．如果，，那么； C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】AC 【详解】对于A：因为，，所以，故，故A正确； 对于B：因为，，所以c为偶数，且不能被4整除， 若，则存在，使得，，， 因为和同奇或同偶，若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故B不正确； 对于C：因为，，所以存在，使得，， 所以 ， 因为，，所以，故C正确． 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【详解】由题意及，可得，即， ∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 13．若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14．定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为， 当时，所以； 当时，则在上单调递增，所以； 综上可得； 因为对，，使得， 所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 又，， 当时，，则有，解得， 当时，，不符合题意； 当时，，则有，解得． 综上所述，可得的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或． 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）， 当时，， 当时，， 综上所述，或． 16．已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度（矩形的周长保持不变），则的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）设折叠后点变成，    在与中，， 因为，又， 所以，则． （2）由题意，矩形的周长为． 设，则． 因为为直角三角形，所以，解得，从而， 所以 当且仅当，即时等号成立， 此时，满足， 故时，的面积取得最大值，为． 17．设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）不等式. 即对一切实数恒成立， 当时，， 即不等式仅对成立，不满足题意， 当时，要使对一切实数恒成立. 则，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）当时，解得. 当时，. ①若，的解为； ②若，当即时，解得. 当时，，的解为或. 当时，，的解为或. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 18．已知幂函数． (1)若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式； (2)若在R上单调递增，求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，解得或， 当时，在R上单调递增，不合题意，舍去； 当时，在定义域上不单调，所以， 设，则，时， 因为关于对称，所以， 所以； （2）由（1）可知，在R上单调递增，满足要求， 由题意知，，作出大致图象如图：    易得，， 所以可判断在上的最大值在，，中取得． 当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则； ②若，则． 综上可知，在区间上，. 19．已知定义域为的函数满足：对任意的，，都有，当时，． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若，对任意的，关于的不等式在区间内有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递增，证明见解析； (3)或或. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 令，则， 令，则，即， 所以为奇函数，得证； （2）单调递增，证明如下： 令，则，且， 所以，而当时，， 所以，故单调递增，得证； （3）由题设， 由（1）（2）知：在区间上单调递增，且为奇函数， 所以的值域为， 对任意的，关于的不等式在区间内有解， 只需，即在上恒成立， 所以，即或或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$