专题05一元一次方程（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题05一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的相同解问题 【解惑】已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【融会贯通】 1．已知关于x的方程与的解相同， 则的值为（    ） A．25 B． C．9 D． 2．如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ． 3．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 类型二、一元一次方程的整数解 【解惑】已知关于的一元一次方程的解为整数，且关于的多项式为六次多项式，则所有满足条件的整数的和为（    ） A．9 B．16 C．24 D．48 【融会贯通】 1．已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 2．若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 3．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______； (2)若有理数对，则______； (3)当满足等式的是整数时，求整数的值． 类型三、一元一次方程的新定义计算 【解惑】定义新运算为：，如果，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【融会贯通】 1．定义新运算“※”，规定：，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 3．定义， 例如：，． 请完成下列问题： (1)_________，_________． (2)已知，求的值． (3)当时，求的值． 类型四、一元一次方程的的整体带入 【解惑】若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 【融会贯通】 1．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 类型五、一元一次方程的应用——电费与水费问题 【解惑】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【融会贯通】 1．2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 2．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 3．根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量）：水费为4.3元/，其中自来水为3.35元/，污水处理费为0.95元/． 第二阶梯 用水量：水费为5.97元/，其中自来水为5.02元/，污水处理费为0.95元/． 第三阶梯（用水量）：水费为11元/，其中自来水为10.05元/，污水处理费为0.95元/． 素材3 如某用户2024年2月份用水，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定水费 （1）某用户2024年4月用水，则应缴水费 元（用含的代数式表示）． 任务2 确定污水处理费 （2）已知某用户2024年5月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户5月份需缴污水处理费多少元？ 任务3 确定用水量 （3）如果该用户2024年6、7月份共用水（7月份用水量超过6月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户6、7月份各用水多少吨？ 类型六、一元一次方程的应用——方案问题 【解惑】当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【融会贯通】 1．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 2．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 3．佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件进价为_______元，每件乙种商品利润率为_______； (2)在“春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？ 类型七、一元一次方程的应用——几何动点问题 【解惑】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F．设点P的运动时间为t（秒）： (1)当P、Q两点相遇时，求t的值； (2)在整个运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）； 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线线路运动一周停止． 备用图 (1)求点B的坐标； (2)在移动过程中，当点P到y轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)当点P在的线路上移动时，是否存在点P使的面积是12，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合题：如图，在长方形ABCD中，，．动点P从点B出发沿向点C运动，速度是；动点Q从点C出发沿向点B运动，速度是点P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止，设运动的时间是t秒． (1)用含t的代数式表示线段与的长； (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？ (3)当t为何值时，三角形的面积为？ 3．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)①当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） ②当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到的中点时，求线段的长． (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 类型八、一元一次方程的规律 【解惑】用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放： (1)第5个图案有 张白色小正方形纸片； (2)第n个图案有 张白色小正方形纸片； (3)第几个图案中白色纸片有2023张？ 【融会贯通】 1．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 2．观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 3．（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 类型九、一元一次方程的新定义方程 【解惑】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“美好方程”，求n的值． 【融会贯通】 1．定义：若关于的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，，则方程为“差解方程”，根据题意，解决下面问题： (1)方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； (3)若是“差解方程”，试求k的值． 2．阅读材料并解决问题： 若关于x的一元一次方程的解满足，则我们称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，因为，所以有，即，则方程为“友好方程”． 运用上述定义解决问题： (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是_______（填序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值． 3．（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 类型十、一元一次方程的数轴动点求t 【解惑】【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【融会贯通】 1．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足，点O为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①运动过程中，t为何值时，动点P、Q与原点的距离相等，求出此时t的值； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，请求出的值． 2．数轴是一个非常置要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示10的点重合的点表示的数是______．此时表示数a的点与表示数______的点重合． (2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是______． 3．数轴上点表示，点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 ；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离 （用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离 （用含有的代数式表示）； 时，、两点相遇； (2)当、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求的值． 【一览众山小】 1．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（   ） A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个 2．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．已知（，，a是各项的系数，c是常数项）： 我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法： ①已知，则它的伴随多项式； ②已知，它的伴随多项式，则； ③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，则a的整数值有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 5．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 6．如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 7．在一张纸条上有一数轴（如图所示）． 【操作与尝试】（1）操作一：折叠纸条，使数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则此时数轴上表示数4的点与数轴上表示数___________的点重合； 【探究与应用】（2）操作二：现打开这张条后，再次折叠纸条，使数轴上表示数6的点与表示数的点重合．回答下列问题： ①数轴上表示数9的点与数轴上表示数_______的点重合； ②若这样折叠纸条后，数轴上的点A和点B重合，且A、B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求点A、点B所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为．当点P到点A、点B的距离之和为12时，直接写出的值． 8．观察下列两个等式： ，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为，如：数 对 ，都是“一中有理数对” (1)若是“一中有理数对”，求a的值； (2)若是“一中有理数对”，则是否为“一中有理数对”？请说明理由． 9．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；；解决问题： 已知有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)分别求，，的值； (2)若点在数轴上对应的数为，当间距离是间距离的倍时，请求出的值； (3)点是的中点，为原点，点为数轴上一动点，当取最小时，满足条件的点对应的的整数值共有 个． (4)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 10．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是__________；点P到点Q的距离是__________个单位长度； (2)动点Q从点C运动至A点需要__________秒； (3)P，Q两点相遇时，__________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是__________； (4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的相同解问题 【解惑】已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识．分别求出两方程的解，使它们相等，求的值． 【详解】解：解方程， 得：， 解方程， 得：， 则， 解得：； 故选：A． 【融会贯通】 1．已知关于x的方程与的解相同， 则的值为（    ） A．25 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方程解的问题，代数式求值，题目简单细心计算，此类题目常考，应当熟练掌握．先求出方程的解，然后把代入求出，把代入求出结果即可． 【详解】解：由得：， ∵关于x的方程与的解相同， ∴把代入得：， 解得：， 把代入得：， 故选：C． 2．如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先解出的值，再代入，即可解出a的值． 【详解】解：∵关于的方程和方程的解相同， ∴由，得 把代入， 得 整理得 即 则 故答案为：3 3．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值； (2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程，有理数的乘方运算： （1）先求出方程的解，再把解代入方程中，进行求解即可； （2）易得互为相反数，，然后根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 把代入，得：， 解得：； （2）∵a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴， ∵c是最大的负整数， ∴， ∴． 类型二、一元一次方程的整数解 【解惑】已知关于的一元一次方程的解为整数，且关于的多项式为六次多项式，则所有满足条件的整数的和为（    ） A．9 B．16 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，多项式的项数和次数．解方程得出，根据解为整数得出a值，再根据多项式的项数和次数，进一步求出a值，再计算整数的和． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的一元一次方程的解是整数， ∴或， 解得：或或或， ∵关于的多项式为六次多项式， ∴，解得：， ∴满足条件的整数的值为5或7或4， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出x，根据题意可得是5的约数，得出满足题意的所有k值，算出和即可． 【详解】解：先求解方程， 解得：， ∵x为整数，且k是正整数， ∴或者 ∴k的值为1或3， ∴所有k值的和为， 故选：A． 2．若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 3．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______； (2)若有理数对，则______； (3)当满足等式的是整数时，求整数的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出的值； （3）原式利用题中的新定义计算，求出整数的值即可． 【详解】（1）根据题意得：原式； 故答案为：13； （2）根据题意化简得：， 解得：； 故答案为：； （3）等式的是整数， ， ， ， 是整数， 或， ． 类型三、一元一次方程的新定义计算 【解惑】定义新运算为：，如果，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算，合并同类项，解一元一次方程，根据题中定义新运算转化为一元一次方程，然后解方程即可，读懂题意，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ∴ 故选：． 【融会贯通】 1．定义新运算“※”，规定：，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据新定义得到，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得出，即可得出关于x的方程，解方程即可得出答案，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．定义， 例如：，． 请完成下列问题： (1)_________，_________． (2)已知，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)4；2 (2)10 (3)或2 【分析】本题主要考查定义新运算，根据运算法则进行计算是解答本题的关键． （1）根据定义新运算法则进行计算即可； （2）根据定义新运算法则列出方程，求出的值，再求的值即可； （3）根据定义新运算法则列出方程，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ； 故答案为：4；2； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为或2． 类型四、一元一次方程的的整体带入 【解惑】若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的整体替换即可解得． 【详解】 解：∵关于x的一元一次方程的解为 ∴关于y的一元一次方程中， 解得：， 故选：D． 【点睛】 此题考查了一元一次方程的的解，解题的关键是会用整体替换的思想． 【融会贯通】 1．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 2．若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程的解，解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可． 【详解】解：关于的方程，均为常数）的解是，， 的解是或，即，． 故答案为：，． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 类型五、一元一次方程的应用——电费与水费问题 【解惑】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)元 (2) (3)立方米 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，用代数式表示数量关系， （1）根据题意，不超过部分的费用加上超过部分的费用即可； （2）根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可； （3）根据题意，可得小丽家4月份的煤气超过立方米，把代入（2）的式子计算即可． 【详解】（1）解：不超过50立方米，按每立方米0.8元收费，则此部分的费用为：（元），超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费， ∵小丽家某月用煤气量为80立方米， ∴超过部分的费用为（元）， ∴丽家该月应交煤气费为（元）； （2）解：∵每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元， ∴； （3）解：∵， ∴小丽家4月份的煤气超过立方米， 把代入（2）中的式子得，， 解得，， ∴她家4月份所用煤气为立方米． 【融会贯通】 1．2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【答案】(1)29，47.6 (2) (3)18 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识； （1）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用超过15公里的费用，代入数据计算即可； （2）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可； （3）根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可． 【详解】（1）解：路程是9公里，那么车费是：（元）， 路程是16公里，那么车费是：（元）， 故答案为：29，47.6； （2）解：∵， ∴出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （3）解：设小丽去外婆家的路程是x公里， ∵当，打车的费用， ∴，则，解得， 答：小丽去外婆家的路程是18公里． 2．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 【答案】(1)五，； (2)他家七月份的用电量是306度． 【分析】本题考查正数、负数的意义，一元一次方程的应用，理解分段计费的含义是正确解答的关键． （1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费； （2）判断出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度， 元， （2）解：∵， ∴用电量大于200度， 设用电量为x度，由题意得， ， 解得：， 答：他家七月份的用电量是306度． 3．根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量）：水费为4.3元/，其中自来水为3.35元/，污水处理费为0.95元/． 第二阶梯 用水量：水费为5.97元/，其中自来水为5.02元/，污水处理费为0.95元/． 第三阶梯（用水量）：水费为11元/，其中自来水为10.05元/，污水处理费为0.95元/． 素材3 如某用户2024年2月份用水，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定水费 （1）某用户2024年4月用水，则应缴水费 元（用含的代数式表示）． 任务2 确定污水处理费 （2）已知某用户2024年5月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户5月份需缴污水处理费多少元？ 任务3 确定用水量 （3）如果该用户2024年6、7月份共用水（7月份用水量超过6月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户6、7月份各用水多少吨？ 【答案】（1）；（2）该用户5月份需缴污水处理费为元；（3）该户居民6、7月份各用水和 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程求解是关键； （1）根据4月用水列代数式即可； （2）先判断5月份用水量超过不超过，设该用户5月份的用水量为，再建立方程求解即可； （3）由7月份用水量超过6月份用水量，设该用户6月份的用水量为，7月份的用水量为，再分两种情况分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，应缴水费为元； （2）∵， ∴5月份用水量超过不超过， 设该用户5月份的用水量为， ， 解答， （元）， 答：设该用户5月份的污水处理费为元； （3）设该用户6月份的用水量为，7月份的用水量为， 当时，， 解答（不合题意，舍去）， 时，， 解得：， ∴， 答：该户居民6，7月份各用水和． 类型六、一元一次方程的应用——方案问题 【解惑】当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元 (3)当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）分别求出时，两种优惠方案的费用，比较即可求解； （2）根据两种优惠方案分别列式即可； （3）若方案一和方案二的费用相等，当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得；当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得，再进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 【融会贯通】 1．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 2．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【答案】(1)A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛， (2)两个团队一起买91套时最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛，先计算出，，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛， ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， ∴， 解得，，即甲队的人数范围是， ∴乙队人数范围是：， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； （2）解：由题意得，A团队参加比赛的人数为人， 当两个团队单独买时的费用为元， 当两个团队一起买82套时的费用为元， 当两个团队一起买91套时的费用为元， ∵， ∴两个团队一起买91套时最省钱． 3．佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件进价为_______元，每件乙种商品利润率为_______； (2)在“春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？ 【答案】(1)， (2)小贺在该商场购买甲种商品10或11件 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意进行分类讨论即可． 【详解】（1）解:设甲种商品的进价为元， 则 解得， 即甲种商品每件进价为50元， ， 即每件乙种商品利润率为， 故答案是：，； （2）解:设小贺在该商场购买甲种商品b件, ①当购物金额超过560元，但不超过700元时， 解得：； ②当购物金额超过700元时， 解得：． 答:小贺在该商场购买甲种商品10或11件． 类型七、一元一次方程的应用——几何动点问题 【解惑】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F．设点P的运动时间为t（秒）： (1)当P、Q两点相遇时，求t的值； (2)在整个运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）； 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】本题考查了动点问题及全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用． （1）当P、Q两点相遇时，它们运动的路程之和为，据此列方程并求解即可解答； （2）根据题意，分情况列代数式表示即可． 【详解】（1）解：运动t秒时，点P的运动路程为t，点Q的运动路程为， 当它们相遇时，则， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为秒． （2）由题意可知，点运动的路线长为， 当时，点P在上，． 当时，点P在上，． 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线线路运动一周停止． 备用图 (1)求点B的坐标； (2)在移动过程中，当点P到y轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)当点P在的线路上移动时，是否存在点P使的面积是12，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6秒或12秒 (3)存在，P点的坐标为或 【分析】此题考查平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、动点问题，一元一次方程的应用，学会分类思想是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求得a，b， 则，，根据长方形的性质可求得点B的坐标． （2）设点P移动的时间为t秒，点到轴的距离为个单位长度，则点P在边上或在边上，分别列方程求出t的值即可； （3）分两种情况，当点P在边上时，则；当点P在边上时，则，分别求出，进一步即可得出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴轴，轴， ∴ （2）设点P移动的时间为t秒， ∵点P到y轴的距离为4个单位长度， ∴点P在边上或在边上， 当点P在边长上， 则， 解得：， 当点P在边上， 则， 解得：． （3）当点P在边上时，如下图： ∵，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为： 当点P在边上时，如下图： ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上：否存在点P使的面积是12，此时，P点的坐标为或． 2．综合题：如图，在长方形ABCD中，，．动点P从点B出发沿向点C运动，速度是；动点Q从点C出发沿向点B运动，速度是点P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止，设运动的时间是t秒． (1)用含t的代数式表示线段与的长； (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？ (3)当t为何值时，三角形的面积为？ 【答案】(1)， (2)秒 (3)t为秒或2秒时，三角形的面积为 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据路程速度时间进行求解即可； （2）根据两点相遇时所走的路程之和为的长列出方程求解即可； （3）分P、Q相遇前，P、Q相遇后两种情况用含t的式子表示出，再根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由题意得，，     解得， ∴当秒时，点P与点Q相遇 ； （3）解：P、Q相遇前，                         ∴， 解得；         P、Q相遇后，，                 ∴， 解得．     综上所述：t为秒或2秒时，三角形的面积为． 3．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)①当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） ②当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到的中点时，求线段的长． (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 (4)或2 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）①求出，则；②先求出点P的运动路程再减去的长即可得到答案； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）分当点P在上运动时，当点P在上运动时，两种情况建立方程求解即可； （4）根据三角形面积公式求出，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，当点P在上运动时，， ∴， 故答案为：； ②由题意得，当点P在上运动时，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上运动时，则， 解得； 当点P在上运动时，则， 解得； 综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或； （4）解：∵的面积是， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴当的面积是时t的值为或2． 类型八、一元一次方程的规律 【解惑】用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放： (1)第5个图案有 张白色小正方形纸片； (2)第n个图案有 张白色小正方形纸片； (3)第几个图案中白色纸片有2023张？ 【答案】(1)16 (2) (3)674 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有张白色纸片． （1）观察图形，发现：白色纸片在4的基础上，依次多3个； （2）根据（1）中的规律，用字母表示即可； （3）根据（2）的规律，得出，解之得出n的值即可作出判断． 【详解】（1）∵第1个图形中白色纸片的数量， 第2个图形中白色纸片的数量， 第3个图形中白色纸片的数量， ……， ∴第5个图片中白色纸片的数量为， 故答案为：16； （2）由（1）知，第n个图案中白色纸片的数量为， 故答案为：； （3）设第n个图案中白色纸片有2023张， 由， 解得：， 即第674个图案中共有2023张纸片． 【融会贯通】 1．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元一次方程，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：21． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 2．观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． （1）观察关于x的方程可得出第n个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案； （2）根据（1）所得规律解答即可； （3）根据（1）所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可． 【详解】（1）解：观察关于x的方程可得出第n个方程为，其解为， 因为，即， 所以该方程的解为； （2）解：由（1）可知第2024个方程的解； （3）解：因为， 所以由（1）可知，该解为第个方程的解， 所以这个方程是，即． 3．（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【答案】（1）； （2），方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律型探索，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． （1）根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）把代入方程中求出a的值，然后找出（1）中方程的规律即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：； （2）∵方程的解是， ∴， ∴， 解得， ∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴方程的解为， ∴方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 类型九、一元一次方程的新定义方程 【解惑】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“美好方程”，求n的值． 【答案】(1)不是“美好方程”，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可； （3）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可； 【详解】（1）解：的解为， 的解为， ， 故不是“美好方程”； （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得； （3）解：的解为， 的解为， 根据题意可得， 解得． 【融会贯通】 1．定义：若关于的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，，则方程为“差解方程”，根据题意，解决下面问题： (1)方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； (3)若是“差解方程”，试求k的值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解“差解方程”的定义是解此题的关键． （1）求出方程的解，根据“差解方程”的定义判断即可得出答案； （2）根据“差解方程”的定义得出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）由题意得出是方程的一个解，由定义得，从而得出，即，再分情况求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解得：， ∵， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：∵一元一次方程是“差解方程”， ∴由题意，得， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是方程的一个解， ∴， 由定义得：， ∴， ∴， 当，即时，由得出此时方程无解，则不存在， 当，即时，， 综上所述，． 2．阅读材料并解决问题： 若关于x的一元一次方程的解满足，则我们称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，因为，所以有，即，则方程为“友好方程”． 运用上述定义解决问题： (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是_______（填序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【解析】略 3．（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 类型十、一元一次方程的数轴动点求t 【解惑】【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【答案】（1）3 （2） （3）；4.5； （4）1.5或9.5 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意， ，点 对应的数为 ，用代数式表示 ，列方程求解即可； ②根据动点从点向左出发，点对应的数为，由、两点之间的距离为8个单位长度，分两种情况：当点在点的右侧时，，当点在点的左侧时，，分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）数2对应的点与数对应的点重合， 对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：； （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， 设点对应的数为，点对应的数为， ， 解得：， 则， 点对应的数为，点对应的数为4.5， 故答案为：，4.5； （4）①根据题意，，点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②动点从点向左出发，点对应的数为， ∵、两点之间的距离为8个单位长度， ∴当点在点的右侧， 解得：； 当点在点的左侧， ， 解得：， 答：t值为1.5或9.5时，、两点之间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，折叠问题，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足，点O为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①运动过程中，t为何值时，动点P、Q与原点的距离相等，求出此时t的值； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，请求出的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴上两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可． 【详解】（1）解：解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， ∴当时，， ∴或 解得或； ② 当点Q在线段上运动时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，点Q表示的数为 ∴中点F表示的数是， ∴， ∴； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， ∴中点F表示的数是， ∴， ∴； 综上所述，． 2．数轴是一个非常置要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示10的点重合的点表示的数是______．此时表示数a的点与表示数______的点重合． (2)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是______． 【答案】(1)， (2)秒或秒时，点与点之间的距离为 (3)1或或或 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应用，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点所表示的数差的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． （1）根据对称性找到折痕的点为3，根据两点间的距离可得答案； （2）分两种情况：点在点Q左边； 点P在点Q右边； 分别根据行程问题列出方程解答便可； （3）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为列式求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上表示1的点与表示5的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示数10的点与它重合的点重表示的数为：， 表示数a的点与它重合的点重表示的数为：， 故答案为∶，； （2）当点P在点左边时，则，解得， 当点P在点Q的右边时，则，解得， 综上，当秒或秒时，点与点之间的距离为； （3）解：设表示的点是， 表示5的是， ． ， 当三条线段的比值为时时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 故答案为∶1或或或． 3．数轴上点表示，点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 ；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离 （用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离 （用含有的代数式表示）； 时，、两点相遇； (2)当、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求的值． 【答案】(1)；；； (2)或 【分析】本题考查数轴、绝对值、一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数及分类讨论． （1）当秒时，点表示的数是，点表示的数是，即可表示出、两点在折线数轴上的和谐距离；由题意知，时，点、都在折线段上运动，点表示的数为，点表示的数为，进而可得出答案． （2）分，和，并根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点表示的数是，点表示的数是， ∴、两点在折线数轴上的和谐距离为． 由题意可知，秒时点运动到点，点运动到点，秒时点运动到点， ∴时，点、都在折线段上运动， 点表示的数为， 点表示的数为， ∴，两点间的和谐距离， ，两点间的和谐距离． ∵，相遇时，两点表示的数相同， ∴， 解得． 故答案为：；；；． （2）解：由（）知，时点运动到点，点运动到点， ∴当时，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当，即点在折线段上运动时， 可得， 解得或， 当时，点从点向点运动，速度为个单位/秒，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等， 综上所述，或． 【一览众山小】 1．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（   ） A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键． 先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定写出的运算符号是第8个． 【详解】解： ， 运算结果比小， “”错写成“”， 设写错符号的数是， ， 解得， 写错的运算符号是第8个， 故选：． 2．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求得，，，故可列式，计算求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵结合图形可得，，， ∴，，， ∴“优美矩形”的周长为， 又∵“优美矩形”的周长为， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为， 故选：B． 3．已知（，，a是各项的系数，c是常数项）： 我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法： ①已知，则它的伴随多项式； ②已知，它的伴随多项式，则； ③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，则a的整数值有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程，根据新定义运算即可判断①；根据题意得出，解方程即可判断②；根据题意得出，得到，结合题意得出或或或，求解即可，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：已知，则它的伴随多项式，故①正确； ∵， ∴它的伴随多项式， ∵它的伴随多项式， ∴， 解得：，故②正确； ∵二次多项式， ∴它的伴随多项式是， 由题意得：， ∴， ∵关于x的方程有正整数解， ∴或或或， 解得：或或或，即a的整数值有4个，故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D． 4．某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 【答案】16立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元， 所以， 解得， ∵， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为x立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是16立方米． 故答案为：16立方米． 5．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 6．如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 【答案】130 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米， 根据长方形展板上下对边相等，得， 解得， 展板的长是（米） ，展板的宽是（米）， 长方形展板的面积是（平方米）． 故答案为：130． 7．在一张纸条上有一数轴（如图所示）． 【操作与尝试】（1）操作一：折叠纸条，使数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则此时数轴上表示数4的点与数轴上表示数___________的点重合； 【探究与应用】（2）操作二：现打开这张条后，再次折叠纸条，使数轴上表示数6的点与表示数的点重合．回答下列问题： ①数轴上表示数9的点与数轴上表示数_______的点重合； ②若这样折叠纸条后，数轴上的点A和点B重合，且A、B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求点A、点B所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为．当点P到点A、点B的距离之和为12时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②A、B两点表示的数分别是，7；③x的值为或8． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键． （1）先求出中心点，再求出对应的数即可； （2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可． 【详解】解：（1）∵折叠纸面，使数字1表示的点与表示的点重合，可确定中心点是表示0的点， ∴4表示的点与表示的点重合， （2）①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，可确定中心点是表示2的点， ∴表示数9的点与表示数的点重合； ②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧）， ∴A、B两点距离中心点的距离为， ∵中心点是表示2的点， ∴A、B两点表示的数分别是，7； ③当点P在点A的左侧时， ∵， ∴， 解得； 当点P在点A、B之间时，此时不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形； 当点P在点A的右侧时， ∵， ∴， 解得， 综上，x的值为或8． 8．观察下列两个等式： ，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为，如：数 对 ，都是“一中有理数对” (1)若是“一中有理数对”，求a的值； (2)若是“一中有理数对”，则是否为“一中有理数对”？请说明理由． 【答案】(1) (2)不是，理由见详解 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用； （1）由新定义得，即可求解； （2）由新定义得，根据新定义进行判断，即可求解； 理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：是“一中有理数对”， ， 解得：； （2）解：不是“一中有理数对”，理由如下： 是“一中有理数对”， ， ， 不是“一中有理数对”． 9．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；；解决问题： 已知有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)分别求，，的值； (2)若点在数轴上对应的数为，当间距离是间距离的倍时，请求出的值； (3)点是的中点，为原点，点为数轴上一动点，当取最小时，满足条件的点对应的的整数值共有 个． (4)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)； (4)存在符合条件的值，． 【分析】（）根据绝对值非负性和平方非负性即可求解； （）根据点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再利用数轴两点间的距离即可求解； （）当和都取最小时，才取最小值，根据数轴特点分别求出和最小对应的范围即可； （）由点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则经过秒点表示的数是，点表示的数是，根据题意得出，然后令即可求解； 本题考查了绝对值非负性和平方非负性，绝对值的意义，两点间的距离，一元一次方程，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由（）得，，， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或； （3）解：由上可知点表示的数为，点表示的数为， ∵点是的中点， ∴点表示的数为， 当在之间时，， 当在点右边时，， 当点在点左边时，， ∴的最小值是， ∵点对应的， ∴， ， 则， 当时，， 当时， ， ∴， 当时，， ∴的最小值为， ∴只有和都取最小时，才取最小值，也就是当时，取最小值， 满足条件的点对应的整数值有， ，共有个， 故答案为：； （4）解：存在符合条件的值， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴经过秒点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， 即存在符合条件的值． 10．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是__________；点P到点Q的距离是__________个单位长度； (2)动点Q从点C运动至A点需要__________秒； (3)P，Q两点相遇时，__________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是__________； (4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值． 【答案】(1)，； (2) (3)， (4)t 的值为 2，，11 或 17． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）当秒时，可算出P、Q点运动路程，从而表示出P、Q点对应的数， （2）分别计算出，，段的运动时间求和即可； （3）因为P从A到O需要5秒，Q从C到B需要8秒，8秒时P点在段，那么可知相遇点M在上，设，根据相遇时运动时间相等列方程求解； （4）分情况讨论，①动点 Q 在 上，动点 P 在 上，②动点 Q 在 上，动点 P 在 上，③动点 Q 在 上，动点 P 在 上，④动点 Q 在 上，动点 P 在 上，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，，， 则P点对应的数为，Q点对应的数为； （2）解：动点Q从点C运动至A点所需时间为： （秒 ) （3）解：由题可知， P 、 Q 两点相遇在线段上于 M 处，设． 则， 解得  ．此时  ， M 所对应的数为； （4）解：P 、 O 两点在数轴上相距的长度与 Q 、 B 两点在数轴上相距的长度相等有 4 种可能： ①动点 Q 在 上，动点 P 在 上， 则： ， 解得：． ②动点 Q 在上，动点 P 在 上， 则： ， 解得：． ③动点 Q 在上，动点 P 在上， 则： ， 解得： ． ④动点 Q 在 上，动点 P 在 上， 则：， 解得：． 综上所述： t 的值为 2，，11 或 17． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$