专题05一元一次方程（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题05一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的应用——古代问题 【解惑】我国古代《孙子算经》中记载“多人共车”问题，其原文如下：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何．”其大意为：若3人乘一辆车，则空2辆车；若2人乘一辆车，则有9人要步行，问人与车数各是多少．若设有x人，则可列方程为 （    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（　　）两． A． B． C． D． 2．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 3．《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 类型二、一元一次方程的应用——数字问题 【解惑】三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【融会贯通】 1．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 3．一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 类型三、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】如图，在某月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（      ） A．42 B．70 C．95 D．115 【融会贯通】 1．如下是某月的月历，竖着取连续的三个数字，它们的和可能是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．18 B．33 C．38 D．75 2．如图：在日历中，用3乘3的九宫方格取9个数，这9个数的和是153，那么这9个数中最大的数是 ． 3．将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 类型四、一元一次方程的应用——幻方和幻圆问题 【解惑】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） 0 1 A．1 B．9 C．5 D．4 【融会贯通】 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图3，这是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B． C． D．6 2．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．图就是一个幻方，将个数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和都相等．图是一个未完成的幻方，则的值是 ． 3．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和=______； (2)若，求图2中的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？ 类型五、一元一次方程的应用——比例分配问题 【解惑】美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【融会贯通】 1．在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 2．甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 3．学校把一批花按分配给五年级和六年级同学栽种．已知六年级比五年级多分了棵．五、六年级各分了多少棵？ 类型六、一元一次方程的应用——和差倍分问题 【解惑】某同学出生时父亲26岁，现在父亲的年龄是该同学年龄的3倍，则现在父亲的年龄是（       ） A．30岁 B．36岁 C．39岁 D．48岁 【融会贯通】 1．甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，则变化后乙组的人数有（    ）人． A．12 B．13 C．14 D．15 2．小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，已知爸爸的年龄是小明的4倍，妈妈的年龄比爸爸小2岁，那么小明今年 岁． 3．光明中学共有550名学生，其中八年级学生人数是七年级的1.5倍，九年级学生人数是八年级的2倍，求光明中学九年级学生有多少人？ 类型七、一元一次方程的应用——行程问题 【解惑】甲乙共同登同一座山，甲每分登高10米，并且先出发30分钟，乙每分登高15米，两人同时登上山顶，则山高是（   ）米 A．900 B．1000 C．800 D．600 【融会贯通】 1．甲、乙两人在的环形跑道上跑步，甲每分钟跑，乙每分钟跑，若他们从同一地点同时同向出发，则他们第一次相遇于（   ） A．时 B．时 C．时 D．时 2．轮船往返两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是 千米/时． 3．一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 类型八、一元一次方程的应用——工程问题 【解惑】某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需 才能做完． 3．一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 类型九、一元一次方程的应用——配套问题 【解惑】某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 2．某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿． 3．机械厂加工车间有32名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 类型十、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（    ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 【融会贯通】 1．有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 2．一刀书法毛边练习纸，按成本价提高40%后标价，促销活动中按标价的九折出售，每刀售12.6元，则每刀书法毛边练习纸的成本价为 元． 3．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【一览众山小】 1．按如图所示的操作步骤，若输出y的值为274，则输入x（正整数）的值所有可能的和为（   ） A．30 B．91 C．121 D．120 2．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（   ）场 A．1 B．2 C．3 D．5 3．小邱同学做这样一道题“计算”，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他翻看了后面的答案，得知该题的答案是15，那么“”表示的数是（   ） A．9 B．9或 C． D．或21 4．已知数轴上A，B两点对应数分别为，4，P为数轴上一动点，对应数为x，若P点到A，B距离和为12，则x的值为 ． 5．小兴想用浓度为的糖水和浓度的糖水和在一起，配成浓度的糖水200克，可是一不小心，他把两种糖水的数量弄反了，那么，他配成的糖水的浓度是 ． 6．某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则可列方程为 ． 7．一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 8．六年一班有男同学24人，如果女同学人数再增加，就和男同学人数相同，求全班共有多少人？ 9．某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 10．观察下面三行数： ，，，，，…① ，，，，，…② ，，，，，…③ (1)第①行第个数是______；第②行第个数是______；第③行第个数是_____； (2)已知是其中的数，则它是第______行的第______个数； (3)取每行的第个数，若这三个数的和是，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的应用——古代问题 【解惑】我国古代《孙子算经》中记载“多人共车”问题，其原文如下：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何．”其大意为：若3人乘一辆车，则空2辆车；若2人乘一辆车，则有9人要步行，问人与车数各是多少．若设有x人，则可列方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选C． 【融会贯通】 1．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（　　）两． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列一元一次方程解决问题，设一头牛值金两，根据“有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两”，利用羊的价钱不变列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设一头牛值金两． 答：一头牛值金两． 故选：D． 2．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 3．《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 类型二、一元一次方程的应用——数字问题 【解惑】三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为，， 由题意可得：， 解得， 故选：B． 【融会贯通】 1．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 2．一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 【答案】63 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意得：， 解得：， ， 原两位数是63． 故答案为：63． 3．一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 【答案】42 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是42， 答：这个两位数是42． 类型三、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】如图，在某月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（      ） A．42 B．70 C．95 D．115 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为x，则x为整数，再求得这5个数的和为，令的值分别为42、70、95、115，分别列方程求出x的值并进行检验，即可得到符合题意的答案． 【详解】解：设正中间的数为x，则x为整数， 这5个数的和为：， A、当时，得，不是整数，不符合题意； B、当时，得，符合题意； C、当时，得，19为第3行最后一个数字，不符合题意； D、当时，得，右下角没有数字，不符合题意； ∴它们的和可能是70， 故选：B． 【融会贯通】 1．如下是某月的月历，竖着取连续的三个数字，它们的和可能是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．18 B．33 C．38 D．75 【答案】B 【分析】此题考查元一次方程的应用，首先设出中间一个数为：，则它上面的数是，下面的数是，三个数的和为3的倍数，再根据每个选项分别计算即可． 【详解】解：设中间一个数为：，则它上面的数是，下面的数是， ∴竖着取连续的三个数字和为， A、当时，解得，此时，，不合题意； B、当时，解得，此时，，符合题意； C、当时，解得，不是整数，不合题意； D、当时，解得，此时，，不合题意； 故选：B． 2．如图：在日历中，用3乘3的九宫方格取9个数，这9个数的和是153，那么这9个数中最大的数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设9个数中最大的数为x，则这9个数分别为：x，，，，，，，，，根据题意，建立方程求解即可． 【详解】解：设9个数中最大的数为x，则这9个数分别为：x，，，，，，，，， 由题意得，， 解得， 即9个数中最大的数为25， 故答案为：25 3．将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 【答案】(1)153 (2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 (3)第62行，第4列 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键． （1）根据表格列式求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍． （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列． 类型四、一元一次方程的应用——幻方和幻圆问题 【解惑】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） 0 1 A．1 B．9 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．根据“三阶幻方”的知识分别列出关于的一元一次方程并求解，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图3，这是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据幻方中的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得关于a，b的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：如图所示． ∵三阶幻方的每行，每列及每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于中间数的三倍 ∴，解得： ∵ ∴，解得： ∴， 故选：． 2．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．图就是一个幻方，将个数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和都相等．图是一个未完成的幻方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最左下角的数和最中间的数，再利用第三行和第二列的数字之和相等列出方程，解之即可，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵幻方的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和都相等， ∴，，，， ∴，，，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和=______； (2)若，求图2中的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查一次方程应用及有理数加法运算，解题关键是熟知“九宫图”的填法． （1）幻和为的3倍； （2）根据幻和为，列方程可得到答案； （3）根据规律，用正方形左边和上方三角形三个顶点上的数字之和等于右边和下方三角形三个顶点上的数字之和及、的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，幻和， 故答案为：； （2）如图： 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）根据题意得；则 则 类型五、一元一次方程的应用——比例分配问题 【解惑】美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【分析】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【详解】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 【融会贯通】 1．在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，首先理解题意找出题中存在的等量关系：原来拔草的人数支援拔草的人数(原来植树的人数支援植树的人数)，根据此等式列方程即可． 【详解】解：设支援拔草的有人，则支援植树的为人，现在拔草的总人数为人，植树的总人数为人． 根据等量关系列方程得，． 故选：B． 2．甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 【详解】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 3．学校把一批花按分配给五年级和六年级同学栽种．已知六年级比五年级多分了棵．五、六年级各分了多少棵？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设五年级和六年级各分了棵和棵，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设五年级和六年级各分了棵和棵， 根据题意，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， 五、六年级各分了棵和棵． 类型六、一元一次方程的应用——和差倍分问题 【解惑】某同学出生时父亲26岁，现在父亲的年龄是该同学年龄的3倍，则现在父亲的年龄是（       ） A．30岁 B．36岁 C．39岁 D．48岁 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设该同学现在的年龄是a岁，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该同学现在的年龄是a岁， 根据题意，得， 解得，， ∴现在父亲的年龄是39岁， 故选：C． 【融会贯通】 1．甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，则变化后乙组的人数有（    ）人． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设从乙组调人到甲组，根据变化后甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设从乙组调人到甲组，由题意，得： ， 解得：， ∴，即：变化后乙组的人数有15人； 故选D． 2．小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，已知爸爸的年龄是小明的4倍，妈妈的年龄比爸爸小2岁，那么小明今年 岁． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设出小明今年的年龄，即可表示出爸爸和妈妈今年的年龄，然后根据小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设小明今年的年龄是岁，则爸爸今年的年龄是岁，妈妈今年的年龄是岁， 由题意可得：， 解得， 即小明今年9岁， 故答案为：9． 3．光明中学共有550名学生，其中八年级学生人数是七年级的1.5倍，九年级学生人数是八年级的2倍，求光明中学九年级学生有多少人？ 【答案】九年级学生有300人 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设七年级有x人，则八年级有人，九年级有人，根据光明中学共有550名学生再建立方程求解即可． 【详解】解：设七年级有x人，则八年级有人，九年级有人．    ∴， 解得：，      ∴， 答：九年级学生有300人． 类型七、一元一次方程的应用——行程问题 【解惑】甲乙共同登同一座山，甲每分登高10米，并且先出发30分钟，乙每分登高15米，两人同时登上山顶，则山高是（   ）米 A．900 B．1000 C．800 D．600 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确设出未知数找到等量关系列出方程求解是解题的关键．设这座山高x米，根据时间路程速度结合两人同时到达列出方程求解即可． 【详解】解：设这座山高x米， 由题意，得， 解得， ∴这座山高900米． 故选：A． 【融会贯通】 1．甲、乙两人在的环形跑道上跑步，甲每分钟跑，乙每分钟跑，若他们从同一地点同时同向出发，则他们第一次相遇于（   ） A．时 B．时 C．时 D．时 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设他们第一次相遇的时间为，根据两人第一次相遇时甲比乙多跑列出方程求解即可． 【详解】解：设他们第一次相遇的时间为， 由题意得，， 解得， ∴他们第一次相遇于时， 故选：B． 2．轮船往返两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是 千米/时． 【答案】15 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，逆水速度静水速度水流速度；顺水速度静水速度水流速度是船航行之类的题中的必备内容．设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为千米/时，顺水航行的速度为千米/时，根据逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，列出方程求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时，则逆水航行的速度为千米/时，顺水航行的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：15． 3．一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 【答案】，两地之间的距离是千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设，两地之间的距离是千米，根据题意列出方程，然后求解即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设，两地之间的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 答：，两地之间的距离是千米． 类型八、一元一次方程的应用——工程问题 【解惑】某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；关系式为：甲4天的工作量甲乙合作天的工作量，把相关数值代入即可求解．找到工作量之间的等量关系解决本题的关键． 【详解】解：甲4天的工作量为：； 甲乙合作其余天数的工作量为：， 可列方程为：， 故选：． 【融会贯通】 1．完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 将这项工程的工程量看作为“1”，从而可得甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，再根据题意列出方程即可得． 【详解】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为， 由题意得： 故选：A． 2．一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需 才能做完． 【答案】7.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙合作小时完成，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙合作需x小时完成， 由题意得：， 解得：， 两人合作，要做7.5小时才能完成． 故答案为：7.5． 3．一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 【答案】乙中途休息了1天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键． 设乙中途休息了x天，则乙施工了天，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设乙中途休息了x天， 由题意可得：， 解得：． 答：乙中途休息了1天． 类型九、一元一次方程的应用——配套问题 【解惑】某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可． 【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母， 由题意得：， 故选：C． 【融会贯通】 1．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ，即， 解得：， 故需要有10名工人生产茶壶， 故选：C． 2．某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面，根据每小时加工桌腿的总数量等于加工桌面总数量的4倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面， 根据题意得：， 解得：， 该车间应安排8名工人加工桌腿． 故答案为：8． 3．机械厂加工车间有32名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】安排12名工人加工大齿轮，安排20名工人加工小齿轮． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设生产大齿轮的人数为x，则生产小齿轮的人数为，再由1个大齿轮与2个小齿轮配成一套列出比例式，求出x的值即可． 【详解】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排名工人加工小齿轮， 依题意得： 解得， 则． 答：安排12名工人加工大齿轮，安排20名工人加工小齿轮． 类型十、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（    ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了100元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得：； 设赔了的商品进价为元， 则，解得：， ， 即这次买卖过程中，商人赔了40元， 故选：B． 【融会贯通】 1．有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的销售问题，找出等量关系是解题的关键，设进价为x，则定价为，再根据“后来老板按定价降价以96元出售，”中根据题意得到关于x的方程式，求得现价，比较可得答案． 【详解】解：设进价为x，则定价为， 根据题意得：，即， 解得：， 则， 则这次生意亏4元， 故选：A． 2．一刀书法毛边练习纸，按成本价提高40%后标价，促销活动中按标价的九折出售，每刀售12.6元，则每刀书法毛边练习纸的成本价为 元． 【答案】10 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设每刀书法毛边练习纸的成本价为元，则每刀书法毛边练习纸的标价是元；然后根据：每刀书法毛边练习纸的标价，列出方程，求出的值是多少即可． 【详解】设每刀书法毛边练习纸的成本价为元，则每刀书法毛边练习纸的标价是元， ， ， 整理得：， 解得． 答：每刀书法毛边练习纸的成本价为10元． 故答案为：10． 3．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)购进甲商品40件，乙商品20件 (2)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）根据利润率等于利润除以进价，直接算出乙的售价；设第一天购买乙种商品件，设第二天购买甲种商品件，然后分别列方程求得、，最后求和即可． 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， 则． 答：购进甲商品40件，乙商品20件． （2）解：设第一天购买乙种商品件， 依题意得，或， 解得或（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 元， 每件乙种商品售价为80元． 设第二天购买甲种商品件， 依题意得，或， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， 件或件． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件． 【一览众山小】 1．按如图所示的操作步骤，若输出y的值为274，则输入x（正整数）的值所有可能的和为（   ） A．30 B．91 C．121 D．120 【答案】C 【分析】考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题中的程序图，并根据流程图得到方程．根据流程图得到方程，解方程即可． 【详解】解：若只进行一次，若输出y的值为274，则，解得：； 若进行两次，则，解得， 若进行三次，则，解得，不是整数，不符合题意， ∴只可能进行两次， ∴所有可能的和为：， 故选：C． 2．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（   ）场 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用：设负场数为，则平场数是，胜场数为，根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设负场数为， 则平场数是，胜场数为， ∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分， ∴， ∴， 则（场）， 故选：D． 3．小邱同学做这样一道题“计算”，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他翻看了后面的答案，得知该题的答案是15，那么“”表示的数是（   ） A．9 B．9或 C． D．或21 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，一元一次方程的应用，掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，可得绝对值里面式子等于，继而根据有理数的减法进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 故选：D． 4．已知数轴上A，B两点对应数分别为，4，P为数轴上一动点，对应数为x，若P点到A，B距离和为12，则x的值为 ． 【答案】或7 【分析】本题主要考查数轴上的两点距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知点P的位置分在点A的左侧和在点B的右侧，然后可列方程进行求解． 【详解】解：由数轴上A，B两点对应数分别为，4，可知：A，B两点的距离为6，而点P点到A，B距离和为12，所以点P的位置有两种情况，即在点A的左侧和在点B的右侧， 当点P在点A的左侧时，即，则有，解得：； 当点P在点B的右侧时，即，则有，解得：； 综上所述：x的值为或7； 故答案为或7． 5．小兴想用浓度为的糖水和浓度的糖水和在一起，配成浓度的糖水200克，可是一不小心，他把两种糖水的数量弄反了，那么，他配成的糖水的浓度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了浓度问题，一元一次方程的应用，解题的关键是列出一元一次方程． 根据题意，两种糖水的总质量是200克，设浓度为的糖水的质量为克，浓度为的糖水的质量为克，根据配成的糖水的浓度是， 列方程求出两种糖水的质量， 进而求出他配成的糖水的浓度． 【详解】解：设浓度为的糖水的质量为克，浓度为的糖水的质量为克， 则 解得：， 克， ， 故答案为：． 6．某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的知识；分配名工人生产螺栓，得生产螺母的工人数为名，再根据题意，得名工人生产的螺母数是名工人生产的螺栓数的2倍，即可列出方程． 【详解】解：若分配名工人生产螺栓，则生产螺母的工人数为名， ∵一个螺栓套两个螺母 ∴名工人生产的螺母数是名工人生产的螺栓数的2倍 ∴， 故答案为：． 7．一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 【答案】这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球？罚中2个球． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个，再根据一共得20分列出方程求解即可． 【详解】解：设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球，罚中2个球． 8．六年一班有男同学24人，如果女同学人数再增加，就和男同学人数相同，求全班共有多少人？ 【答案】全班共有44人 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系式，列出方程． 设女同学人数为x人，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设女同学人数为x人， 则， 解得：， 故女同学人数为20人， 人， 答：全班共有44人． 9．某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1）， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 10．观察下面三行数： ，，，，，…① ，，，，，…② ，，，，，…③ (1)第①行第个数是______；第②行第个数是______；第③行第个数是_____； (2)已知是其中的数，则它是第______行的第______个数； (3)取每行的第个数，若这三个数的和是，求的值． 【答案】(1)，，． (2)③，． (3)为或． 【分析】本题考查代数式排列的规律，乘方以及一元一次方程，能用含的代数式表示出每行数中的第个数是解题的关键． （1）观察发现每行数的排列规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）分两种情况列出关于的等式即可． 【详解】（1）观察所给数可知， 第①行中的第个数可表示为， 第②行中的第个数可表示为， 第③行第个数可表示为， ∴第①行第个数是， 第②行第个数是， 第③行第个数是． 故答案为：，，． （2）因为， 所以不在第①行和第②行中． 当， 解得． 所以是第③行的第个数． 故答案为：③，． （3）设第二行的第个数为，则第一行的第个数为，第三行的第个数为， 当为奇数时， 解得 ∵， ∴， ∴； 当为偶数时， 解得 ∵， ∴， ∴． 综上可得，为或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$