第18讲对数函数（9个知识点+2个要点+9种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第18讲对数函数 （9个知识点+2个要点+9种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 注意点： (1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数与指数函数的范围相同． (4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数有相同的定义域和对应关系，故函数相等． 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 知识点2：对数函数的图象及其性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 当x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) 当x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧． (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 知识点3：与对数函数有关的函数的定义域 求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. (1)求形如y＝的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围． (2)把函数f(x)＝ln g(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解． 求对数型函数的定义域需注意： (1)真数大于0. (2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1. 知识点4：与对数函数有关的函数的单调性及其应用 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 知识点5：与对数函数有关的函数的值域 求对数型函数的值域的常用方法 (1)直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域. (2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域. (3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法：求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1， f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围. 知识点6：与对数函数有关的函数的奇偶性 由于对数函数的定义域为(0,+∞),因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜. (1)函数f(x)=(a>0,且 a≠1)和函数f(x)= (a>0,且 a≠1)均为奇函数。 (2)函数f(x)=(a>0,且a≠1)是奇函数 (3)函数f(x)=(a>0,且a≠1)是偶函数. 知识点7：反函数 反函数：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． 知识点8：几类不同增长的函数模型及特点 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 常见的函数模型及增长特点 1线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上升，其增长速度不变. 2指数函数模型 指数函数模型y＝axa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. 3对数函数模型 对数函数模型y＝logaxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. 知识点9：一次函数、指数函数、对数函数的增长差异 直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变. 要点1：构造函数巧妙解题 如果题设条件中具有一些函数特征,那么可以联想构造函数,利用所构造的函数性质来解决问题,如果题设条件中有较多变量时,往往采用减元思想,而减元方法中主元函数构造是一种常用方法,具有一定的程序操作性. 要点2：对数函数的综合性问题 以对数函数为载体,考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等问题,这类问题综合性较强.明确各知识点与所求目标之间的联系,做好等价转化是解决问题的关键. (1)定义域:研究此类综合性问题,首先要弄清函数的定义域,即遵循“定义域优先”原则,在对数函数综合性问题的求解中尤其重要 (2)单调性:复合函数单调性的核心是同增异减 (3)奇偶性:难点在于对数式的化简与变形 (4)值域:常采用换元法求解,注意新元的取值范围 题型1：对数函数的概念 【例题1】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，（且）的图象过定点，函数（且）也经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数为对数函数，则 ． 【变式3】（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 题型2：与对数函数有关的函数图象 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数（其中e为自然对数的底数），则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若，则函数的图像不经过第 象限. 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）为了更好地研究对数函数的性质，再选取底数，你能在同一坐标系，下作出它们的函数图象吗？ 题型3：与对数函数有关的定义域问题 【例题3】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·山西朔州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【变式3】（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求证：函数为偶函数； (3)求的值. 题型4：与对数函数有关的函数的值域 【例题4】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为 . 【变式3】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 题型5：对数函数的单调性及应用 【例题5】（23-24高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小： (1)，（且）； (2)，，. 题型6：与对数函数图象有关的综合问题 【例题6】（21-22高一上·四川广安·期中）若函数f(x)对任意实数x满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(－1，0]时，有f(x)＝－x，则函数y＝f(x)的图象与y＝log3|x|的图象的交点个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（21-22高一上·四川成都·阶段练习）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一·全国·单元测试）设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程，恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．    (1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较． 题型7：与对数函数有关的创新型问题 【例题7】（23-24高一上·湖北·阶段练习）若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”，已知函数，则的“和谐点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（高一上·湖北黄冈·期末）如果一个点既在对数函数的图像上又在指数函数的图像上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点中，“幸运点”有多少个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.设函数为“可拆分函数”，则实数m的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 题型8：不同函数增长的差异 【例题8】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·浙江衢州·期末）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一上·全国·课后作业）三个变量随变量变化的数据如下表： 其中关于呈指数增长的变量是 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）把一次函数，对数函数和指数函数的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异． 题型9：不同函数模型的应用 【例题9】（22-23高一上·广西防城港·期末）某商店进了一批服装，每件进价为60元.每件售价为90元时，每天售出30件.在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件.当售价是（    ）元时，每天的利润最大. A．60 B．90 C．80 D．70 【变式1】（22-23高二上·云南玉溪·阶段练习）玉溪市图书馆地下停车场的收费标准如下：停放30分钟以内（含30分钟）免费，停放不足1小时按1小时计收．停放第1小时收费3元，以后3小时以内（含3小时）每小时收费2元，超过3小时且不超5小时每小时收费1元，超过5小时每小时收费0.5元．王老师昨天去图书馆开会停车6.5小时，他应交费金额为（    ） A．3.5 B．9 C．11.5 D．12 【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 米 【变式3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． (1)求k的值； (2)患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） (3)患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 易错点1：忽视对数型函数的定义域而致错 【例题1】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·山东德州·阶段练习）若函数（且）在R上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若函数在区间内单调递增，则的取值范围 . 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数（，且），若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 易错点2：忽视对数函数底数的讨论而致错 【例题2】（20-21高一上·广西崇左·阶段练习）已知函数且在区间上的最大值与最小值的差为1，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．或4 D．或2 【变式1】（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【变式2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南开封·期末）下列表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（24-25高一上·全国·课后作业）函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·四川绵阳·期末）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D． 三、填空题 12．（2023高一上·全国·专题练习）若已知，利用图象可判断出和的大小关系为 ． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ． ①；②；③；④． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且，给出下列结论： ①当时，，函数的图象恒在函数的图象上方； ②，当时，恒有； ③，方程，都有解． 其中正确结论的序号是 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值． 16．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·广东广州·期末）（1）根据定义证明函数在区间上是单调递减； （2）比较下列三个值的大小：，，. 18．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知函数（且），为的反函数． (1)若在区间上的最大值与最小值之和为，求的值； (2)解关于的不等式． 19．（24-25高一上·湖北·阶段练习）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2023年的利润(万元)关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲对数函数 （9个知识点+2个要点+9种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 注意点： (1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数与指数函数的范围相同． (4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数有相同的定义域和对应关系，故函数相等． 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 知识点2：对数函数的图象及其性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 当x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) 当x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧． (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 知识点3：与对数函数有关的函数的定义域 求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. (1)求形如y＝的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围． (2)把函数f(x)＝ln g(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解． 求对数型函数的定义域需注意： (1)真数大于0. (2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1. 知识点4：与对数函数有关的函数的单调性及其应用 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 知识点5：与对数函数有关的函数的值域 求对数型函数的值域的常用方法 (1)直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域. (2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域. (3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法：求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1， f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围. 知识点6：与对数函数有关的函数的奇偶性 由于对数函数的定义域为(0,+∞),因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜. (1)函数f(x)=(a>0,且 a≠1)和函数f(x)= (a>0,且 a≠1)均为奇函数。 (2)函数f(x)=(a>0,且a≠1)是奇函数 (3)函数f(x)=(a>0,且a≠1)是偶函数. 知识点7：反函数 反函数：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． 知识点8：几类不同增长的函数模型及特点 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 常见的函数模型及增长特点 1线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上升，其增长速度不变. 2指数函数模型 指数函数模型y＝axa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. 3对数函数模型 对数函数模型y＝logaxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. 知识点9：一次函数、指数函数、对数函数的增长差异 直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变. 要点1：构造函数巧妙解题 如果题设条件中具有一些函数特征,那么可以联想构造函数,利用所构造的函数性质来解决问题,如果题设条件中有较多变量时,往往采用减元思想,而减元方法中主元函数构造是一种常用方法,具有一定的程序操作性. 要点2：对数函数的综合性问题 以对数函数为载体,考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等问题,这类问题综合性较强.明确各知识点与所求目标之间的联系,做好等价转化是解决问题的关键. (1)定义域:研究此类综合性问题,首先要弄清函数的定义域,即遵循“定义域优先”原则,在对数函数综合性问题的求解中尤其重要 (2)单调性:复合函数单调性的核心是同增异减 (3)奇偶性:难点在于对数式的化简与变形 (4)值域:常采用换元法求解,注意新元的取值范围 题型1：对数函数的概念 【例题1】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，（且）的图象过定点，函数（且）也经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】求出，代入中，求出答案. 【详解】，（且）中，当时，，故， 将其代入（且）中，得， 解得. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 【变式3】（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【分析】利用对数函数的定义判断. 【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数． （2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数． （5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 题型2：与对数函数有关的函数图象 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数（其中e为自然对数的底数），则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先结合对数运算律化简函数，先得出分段函数，再应用平移选择即可. 【详解】由题意 则 数形结合可知，的大致图象为选项A中的图象． 故选:A 【变式1】（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若，则函数的图像不经过第 象限. 【答案】四 【分析】根据对数型函数的图像变换、单调性等知识求得正确答案. 【详解】函数的定义域为， 由于，所以函数在区间上单调递增， 函数的图像过点，且在上单调递增， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像， 所以函数的图像不经过第四象限. 故答案为：四 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）为了更好地研究对数函数的性质，再选取底数，你能在同一坐标系，下作出它们的函数图象吗？ 【答案】作图见解析 【分析】结合对数函数的概念及性质画出图象即可. 【详解】底数的对数函数图象如下图所示.    题型3：与对数函数有关的定义域问题 【例题3】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可. 【详解】由题意得：得定义域为. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组可得函数的定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为 故选：B 【变式2】（23-24高一上·山西朔州·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】结合使得分式型函数、对数函数、抽象函数有意义列式求解即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以对于有， 解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求证：函数为偶函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由真数大于零计算即可得； （2）由偶函数的定义，计算与的关系即可得； （3）将代入后计算即可得. 【详解】（1）由，则有， 解得， 所以的定义域为； （2）因为的定义域为， 又， 故函数为偶函数； （3）. 题型4：与对数函数有关的函数的值域 【例题4】（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与的关系，列出关于的不等式求解即可. 【详解】当时，单调递增，又，故在上的值域为， 又在上的值域为，故是在上的值域的子集； 又当时，； 当时，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意； 当时，在上单调递增，故在上的值域为， 若满足题意，则，即，故. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于， 所以， 所以原函数的值域为 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可； （2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 由，由于，所以， 所以的定义域为：， 的对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增； 在整个定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若的值域为，则对能取到全部正实数， ①当时，即， 若，不符合题意； 若，，符合题意； ②当时，由题意得：， 解得， 综上： 题型5：对数函数的单调性及应用 【例题5】（23-24高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、二次函数、反比例函数的性质判定即可． 【详解】因为底数，所以，都是单调递增函数，不合题意； 当时，单调递增，不合题意； 反比例函数，且，所以当时单调递减， 故选：B． 【变式1】（23-24高一上·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 【变式2】（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小： (1)，（且）； (2)，，. 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据对数函数的单调性即可判断； （2）根据对数函数的单调性及对数运算即可判断. 【详解】（1）①当时，在上是增函数， 又，所以； ②当时，在上是减函数， 又，所以. 综上，当时，；当时，. （2）∵在上是增函数， ∴，，， ∵，∴. 又，， ∴. 题型6：与对数函数图象有关的综合问题 【例题6】（21-22高一上·四川广安·期中）若函数f(x)对任意实数x满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(－1，0]时，有f(x)＝－x，则函数y＝f(x)的图象与y＝log3|x|的图象的交点个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据题意确定的周期及，时的解析式，进而在同一坐标系中画出两函数的图象，可判断两函数的交点，最后可确定答案． 【详解】，， 是以2为周期的函数， 又，时， ，时，， 考虑的图象与函数的图象的交点个数的情况即可． 图象如图： 观察可知，的图象与函数的图象的交点个数为3． 故选：C． 【变式1】（21-22高一上·四川成都·阶段练习）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图象，结合对称性求得的取值范围. 【详解】或. 画出的图象如下图所示， 依题意有四个实数根，，，，且， 则， ， ， 函数在区间上递增， ， 所以， 即的取值范围是. 故选：B 【变式2】（20-21高一·全国·单元测试）设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程，恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意，是周期为4的周期函数，有3个不同的实数根，所以与在区间上有3个交点，其中，由此画出，在区间上的图象，由图列出不等式求解即可. 【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称. 对任意的，都有，故， 所以是周期为4的周期函数. 有3个不同的实数根， 所以与在区间上有3个交点，其中（时不符合题意）. 由此画出，在区间上的图象如下图所示， 由图可知， 解得，即. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．    (1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较． 【答案】(1)对应的函数为；对应的函数为． (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数的增长速度即可判断； （2）根据图象即可分析函数的大小. 【详解】（1）根据函数的增长差异性，在一定范围内一次函数增长速度快于对数函数的增长速度， 故对应的函数为；对应的函数为． （2）由图象可知， 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，． 题型7：与对数函数有关的创新型问题 【例题7】（23-24高一上·湖北·阶段练习）若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”，已知函数，则的“和谐点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据“和谐点对”定义作图，结合图象来确定正确答案. 【详解】根据题意，“和谐点对”定义可知， 只需作出函数的图象关于原点对称的图象，即， 看它与函数交点个数即可，如图：    观察图象可得，它们的交点个数是2， 即的“和谐点对”有2个. 故选：B 【变式1】（高一上·湖北黄冈·期末）如果一个点既在对数函数的图像上又在指数函数的图像上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点中，“幸运点”有多少个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质，易得不是幸运点，利用指数函数的性质，易得不是幸运点，利用“幸运点”的定义，我们易构造指数方程和对数方程，得到两个点是幸运点，从而得到答案． 【详解】解：当时，对数函数恒过 点， 故一定不是幸运点， 当时，指数函数恒过点， 故也一定不是幸运点， 因为是函数与的交点； 是函数与的交点； 所以，为“幸运点”，即“幸运点”的个数为2个. 故选：C． 【变式2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.设函数为“可拆分函数”，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题中条件建立方程，化简变形后可得，求得函数的值域即可. 【详解】根据题意可知，必有，函数的定义域为， 则在其定义域内存在实数，使， 即，即， 所以，则， 又，所以，所以，则， 即，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）由函数解析式直接求定义域； （2）法一：利用复合函数单调性判定； 法二：定义法证明单调性； （3）由题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可. 【详解】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得， 所以函数的定义域是． （2）在上单调递增． 理由如下：法一： 因为， 又在上为增函数，在上为减函数， 在上为增函数，在上为增函数， 故在上单调递增． 法二： 因为， 对任意，，且，可知，则 ， 又， 可知，所以， 即．故在上单调递增， （3）由（2）可知在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，． 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解， 所以与在上至少存在两个不同的交点． 令，则， 所以， 当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，． 所以．故实数b的取值范围为． 【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．接下来利用换元法求出函数的值域即可. 题型8：不同函数增长的差异 【例题8】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数的性质，以及初等函数的增长速度，即可求解. 【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数， 根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快． 故选：A. 【变式1】（22-23高一上·浙江衢州·期末）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性、函数值以及幂函数图象的增长速度进行排除. 【详解】因为函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故C错误； 当时，，故B错误； 当时，，因为的变化速度越来越快, 的变化速度越来越慢，所以的变化速度越来越快，故D错误； 故选：A. 【变式2】（20-21高一上·全国·课后作业）三个变量随变量变化的数据如下表： 其中关于呈指数增长的变量是 . 【答案】 【解析】呈指数增长的变化快． 【详解】指数增长为快速增长，因此，中呈指数增长的变量是. 故答案为：． 【点睛】本题考查指数函数的性质，一般增长问题如果是呈指数增长，那么变化速度会很快． 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）把一次函数，对数函数和指数函数的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异． 【答案】答案见解析 【分析】作出函数的图象，再比较增长的差异. 【详解】如图， 一次函数匀速增长，指数函数增长越来越快，对数函数增长最慢． 题型9：不同函数模型的应用 【例题9】（22-23高一上·广西防城港·期末）某商店进了一批服装，每件进价为60元.每件售价为90元时，每天售出30件.在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件.当售价是（    ）元时，每天的利润最大. A．60 B．90 C．80 D．70 【答案】B 【分析】根据所给条件，确定等量关系，然后二次函数求出最值即可. 【详解】设每件售价定为元，则销售件数增加了件． ∴每天所获利润为：， 故当时，每天所获利润最大． 故售价定为每件90元时，可获最大利润. 故选：B. 【变式1】（22-23高二上·云南玉溪·阶段练习）玉溪市图书馆地下停车场的收费标准如下：停放30分钟以内（含30分钟）免费，停放不足1小时按1小时计收．停放第1小时收费3元，以后3小时以内（含3小时）每小时收费2元，超过3小时且不超5小时每小时收费1元，超过5小时每小时收费0.5元．王老师昨天去图书馆开会停车6.5小时，他应交费金额为（    ） A．3.5 B．9 C．11.5 D．12 【答案】C 【分析】设为不小于的最小整数，例如，，，再结合题意即可得到停车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式，将代入求解即可． 【详解】设为不小于的最小整数，例如，，， 则依题意得停车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式为， 所以时，． 故选：C． 【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 米 【答案】 【分析】由条件列出及的关系，结合，求出，由此可得结论. 【详解】因为，所以， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米）， 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少． (1)求k的值； (2)患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1） (3)患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)； (3)可以. 【分析】（1）把，代入计算即得. （2）根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数单调性解不等式即得. （3）求出A药含量为时时间关系，再列出第二次注射完成后患者血液中A药的含量随注射时间变化的函数关系，列出不等式求解即得. 【详解】（1）依题意，，解得，所以k的值为. （2）血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为． 由，得，两边取对数得：， 解得， 所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持. （3）设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即， 记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间， 则 ， 由，得，即，两边取对数得： ，解得，又， 所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持． 易错点1：忽视对数型函数的定义域而致错 【例题1】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 【变式1】（23-24高一上·山东德州·阶段练习）若函数（且）在R上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各段函数单调递减，以及两段函数端点之间的关系列不等式可解. 【详解】由题知，在上单调递减，在单调递减， 且， 所以，，解得， 所以，a的取值范围为. 故选：D 【变式2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若函数在区间内单调递增，则的取值范围 . 【答案】 【分析】根据对数复合函数的单调性求参. 【详解】令， 因为单调递减，所以单调递减，故, 又因为， 所以，所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数（，且），若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】将复合函数定义域与单调性转化为二次函数图象研究即可. 【详解】令，其图象开口向下， 由题意，真数首先必须有解， 则函数图象与轴有两个不同的交点， 由判别式，且已知， 解得(舍去)或. 验证：当时， 存在单调递增区间，又由，则存在单调递增区间. 故实数a的取值范围是. 易错点2：忽视对数函数底数的讨论而致错 【例题2】（20-21高一上·广西崇左·阶段练习）已知函数且在区间上的最大值与最小值的差为1，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．或4 D．或2 【答案】C 【解析】令，函数可化为，，进而分和两种情况，分别讨论的单调性，由最大值与最小值的差为1，可求出实数的值. 【详解】令，由，得， 函数可化为，. ①当时，函数在上单调递增，其最大值与最小值的差为，解得； ②当时，函数在上单调递减，其最大值与最小值的差为，解得. 所以实数的值为4或. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 【变式2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 【答案】或． 【分析】利用分类讨论思想来确定函数的单调性求最值，再根据题意得方程求解. 【详解】因为为对数函数的底数，所以且． 当时，函数在定义域内是严格增函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得； 当时，函数在定义域内是严格减函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得． 综上，或． 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为对数函数(且)恒过定点， 所以函数  (且)的图象必过定点. 故选：C. 2．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 4．（23-24高一上·河南开封·期末）下列表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用同一函数的定义域与对应法则相同，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，，， 这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义列式求解即可. 【详解】因为，则，解得，且， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以， 故选：A 7．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 8．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项AC：由幂函数性质可知：为定义在上的增函数，且为增函数，故A正确； 为定义在上的奇函数，在内均为增函数，但在定义域内不单调，故C错误； 对于选项B：因为的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：由指数函数可知：不具有奇偶性，故D错误； 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式，结合指数函数和对数函数的单调性、对数的运算法则逐一判断即可. 【详解】A：因为，， 所以有， 当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确； B：因为，所以 ，因为， 所以，即，于是有，因此本选项结论正确； C：当时，显然成立， 而，所以本选项结论不正确； D：因为，，且，所以 当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确， 故选：ABD 10．（22-23高一上·四川绵阳·期末）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，， 因为函数在的值域为，则，即， 由，得，则有或， 当时，，有， 当时，，有， 令方程的两个根为，如图， 因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，， 于是，解得或，而的最小值为， 则有或，解得或， 所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足. 故选：BC 11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】将用表示，并求出的范围，根据双勾函数的性质即可判断A；根据对数的运算性质及二次函数的性质即可判断B，令，则，即，从而可得，再结合二次函数的性质即可判断C；易得，再结合双勾函数的性质即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 对于A，，令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 即，故A正确； 对于B，， 由，得，所以， 即，故B正确； 对于C，令，则， 即，即， 则， 由，得， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，即的最大值为，故C正确. 对于D，， 令，则， 则， 令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 所以， 即，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：令，结合换底公式得出，是解决C选项的关键. 三、填空题 12．（2023高一上·全国·专题练习）若已知，利用图象可判断出和的大小关系为 ． 【答案】 【分析】在同一直角坐标系中，作出两函数的图象，观察图象即可. 【详解】作出和的图象，如图所示： 由图象可知，在内，； 或时，； 在内，；在内，. 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ． ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】结合四种函数的增长差异即可判断． 【详解】①为指数型函数，②为幂函数型函数，③为对数型函数，④为正比例函数， 其中指数型函数增长速率最快，故从足够长远的角度看，更为有前途的生意是①． 故答案为：①． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且，给出下列结论： ①当时，，函数的图象恒在函数的图象上方； ②，当时，恒有； ③，方程，都有解． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】举例说明判断①；分类讨论，结合对数函数、幂函数的增长快慢判断②；作出函数图象，数形结合判断③即可得解. 【详解】对于①，取，则，，， ，此时，不满足函数的图象恒在函数的图象上方，①错误； 对于②，当时，在上，的图象在轴下方，的图象在轴上方，此时满足条件； 当时，对数函数和幂函数，在区间上，随着的增大， 增长得越来越慢，尽管在的一定变化范围内，可能会大于， 但由于的增长快于的增长，则总存在一个，当时，就会有成立，②正确； 对于③，，在同一坐标系中作出函数的大致图象，如图： 函数的图象两两都分别有交点， 所以方程，都有解，③正确． 所以正确结论的序号是②③. 故答案为：②③ 四、解答题 15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由可求出a的值，即得函数解析式，根据对数函数的单调性解不等式，即得答案； （2）由题意列方程求解，即可求得a的值. 【详解】（1）由可得，解得， 即，则，即， 即， 故不等式的解集为； （2）由于在上的最大值与最小值之差为1， 故，即或， 即的值为或. 16．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解； （2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出的最大值即可得解. 【详解】（1）函数有意义，须满足，∴． ∴函数的定义域为． （2）∵不等式有解，∴小于的最大值． ． 令，由于，∴． ∴函数的最大值为， ∴实数的取值范围为． 17．（23-24高一上·广东广州·期末）（1）根据定义证明函数在区间上是单调递减； （2）比较下列三个值的大小：，，. 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）根据函数单调性的定义及对数函数的单调性证明即可； （2）分析所给式子的正负，再由对数的运算及（1）的性质判断即可. 【详解】（1）设任意且， 则， 由，可知，所以，， 又，所以，即， 所以函数在区间上是单调递减. （2）因为，，， 所以只需比较，的大小即可， 因为，而由（1）可知， 所以，即， 所以. 18．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知函数（且），为的反函数． (1)若在区间上的最大值与最小值之和为，求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）由题知，进而分，两种情况讨论求解即可； （2）结合（1）得，进而分和两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：∵函数（且），且指数函数和对数函数互为反函数， ∴． 当时，依题意得，解得，不合题意，舍去； 当时，依题意得，解得，符合题意． 故满足条件的的值为． （2）解：由题知， ∴，等价于， 当时，函数在上单调递增， 即，解得； 当时，函数在上单调递减， 即，解得； 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 19．（24-25高一上·湖北·阶段练习）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2023年的利润(万元)关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量45百辆时利润最大，最大利润为8640万元 【分析】（1）根据利润=销售量售价-成本，即可写出利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式； （2）当时，根据二次函数求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，比较两个最大值，即可解答. 【详解】（1）每辆车售价8万元，年产量(百辆)时销售收入为800x万元， 总成本为， （2）由（1）当时， 所以百辆时，(万元)； 当时， 当且仅当即(百辆)时，(万元)， 因为万元万元， 所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为8640万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$