专题11 排列、组合与二项式-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

专题11 排列、组合与二项式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解排列的概念，掌握排列数公式 · 理解组合的概念，掌握组合数公式 · 了解二项式定理，系数 · 理解二项展开式的通项 考点预测 · 排列的概念，排列数公式 · 组合的概念，组合数公式 · 二项式定理，系数，二项展开式的通项 要点自测 （一）两个计数原理 分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法； 分步计数原理 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法. （二）排列的概念与计算 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 如果m＜n，这样的排列叫做 ；如果m=n，这样的排列叫做 . 排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为. 排列数公式 = = （m，n是正整数，且m≤n） 特别地，=n！= ，并规定0！=1 （三）组合的概念与计算 组合的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，不管怎样的顺序并成一个组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 ； 组合数 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作； 组合数公式 = = =（m，n是正整数，且m≤n） 规定，=1 组合数的性质 ① =； +=. （四）二项式定理 二项式定理 (a+b)n = . 右边的多项式叫做(a+b)n的 ， 其中的系数叫做二项式系数． 二项展开式的 通项公式 Tm+1 = （m=0,1,2,…,n） 二项式系数的性质 (1)与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. 即： =_____， =_____， =_____，…， =__ ___. (2)二项式系数最大的项. ①n为偶数时，则中间一项(即第项)的二项式系数最大； ②n为奇数时，则中间两项(即第项和第项)的二项式系数最大； (3)所有二项式系数和为2n，即 ++ +…+=2n. (4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即 ++ ++…= . 考点突破 考点1 排列的概念，排列数公式 【例1】1．某小组共5人，每两人相互挥手打招呼，共需发起的相互挥手打招呼次数为（    ）． A．20 B．15 C．10 D．5 【突破训练】由，，，可以组成多少个没有重复数字的三位数（    ） A．12 B．24 C．18 D．21 【例2】5本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有 种． 【突破训练】6名同学站成一排，其中甲、乙不站在一起的不同排法有 种. 考点2 组合的概念，组合数公式 【例3】现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（    ） A．14种 B．18种 C．12种 D．7种 【突破训练】一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【例4】某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【突破训练】某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 考点3 二项式定理 【例5】在的展开式中，项的系数为（   ） A． B．10 C． D．80 【突破训练】在的二项展开式中，含的项系数是（    ） A．132 B．240 C．480 D．196 【例6】若的展开式中的系数为，则（  ） A．1 B． C． D． 【突破训练】若，则（    ） A．10 B．0 C． D．130 【例7】在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D．4 模拟演练 一、单选题 1．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A． B． C．21 D．210 2．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 3．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（    ） A．11 B．12 C．30 D．36 4．10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 5．某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 6．2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 7．从甲、乙等名志愿者中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为（    ） A． B． C． D． 8．二项式的展开式中的常数项为（    ） A．480 B．240 C．120 D．15 9．的展开式中的系数等于（    ） A．120 B． C． D．45 10．二项式的展开式的第4项的系数是（    ） A．8 B．35 C．280 D．560 二、填空题 11．下列问题中，属于组合问题的是 ．（填序号） ①从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两人参加不同的两项活动． 12．在的二项展开式中，含项的系数是 13．的二项展开式中的常数项是 (用数值作答)． 14．从甲、乙等6人中选出4名代表，那么甲一定当选，共有 种选法． 15．若，则的值为 ． 三、解答题 16．书架上层放4本不同的语文书，中层放5本不同的数学书，下层放6本不同的英语书． (1)如果从中任取一本书，有多少种不同的取法？ (2)如果从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ 17．计算： (1)；(2)；(3)；(4). 18．春节期间，某班20名同学互发一条问候短信，那么他们发出的短信总数有多少条？ 19．将3张电影票分给5人中的3人，每人1张，求共有多少种不同的分法． 20．已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． $$ 专题11 排列、组合与二项式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解排列的概念，掌握排列数公式 · 理解组合的概念，掌握组合数公式 · 了解二项式定理，系数 · 理解二项展开式的通项 考点预测 · 排列的概念，排列数公式 · 组合的概念，组合数公式 · 二项式定理，系数，二项展开式的通项 要点自测 （一）两个计数原理 分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法； 分步计数原理 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×…×mn 种不同的方法. （二）排列的概念与计算 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 如果m＜n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样的排列叫做全排列. 排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为. 排列数公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= （m，n是正整数，且m≤n） 特别地，=n！=n(n-1)(n-2)·…·1，并规定0！=1 （三）组合的概念与计算 组合的概念 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，不管怎样的顺序并成一个组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合 ； 组合数 从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的组合数的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作； 组合数公式 = = =（m，n是正整数，且m≤n） 规定，=1 组合数的性质 ① =； +=. （四）二项式定理 二项式定理 (a+b)n =anb0 +an-1b1 + an-2b2 +…+ an-mbm +…+ a0bn (n∈N*). 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式， 其中的系数叫做二项式系数． 二项展开式的 通项公式 Tm+1 = an-mbm （m=0,1,2,…,n） 二项式系数的性质 (1)与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. 即： =_____， =_____， =_____，…， =_____. (2)二项式系数最大的项. ①n为偶数时，则中间一项(即第项)的二项式系数最大； ②n为奇数时，则中间两项(即第项和第项)的二项式系数最大； (3)所有二项式系数和为2n，即 ++ +…+=2n. (4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即 ++ ++…= ++ ++…=2n-1. 考点突破 考点1 排列的概念，排列数公式 【例1】1．某小组共5人，每两人相互挥手打招呼，共需发起的相互挥手打招呼次数为（    ）． A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【详解】由题意得共需发起的相互挥手打招呼次数为． 故选：A 【突破训练】由，，，可以组成多少个没有重复数字的三位数（    ） A．12 B．24 C．18 D．21 【答案】C 【详解】先排首位，在选一个，有3种； 十位、个位从剩下的3个数中选2个数全排，有种， 故可以组成种没有重复数字的三位数. 故选：C. 【例2】5本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有 种． 【答案】120 【详解】分步计数：第一位同学有5种选择，第二位同学有4种选择，第三位同学有3种选择，第四位同学有2种选择，故. 排列数：5本读物任取4种分给4个人，则有. 故答案为：120. 【突破训练】6名同学站成一排，其中甲、乙不站在一起的不同排法有 种. 【答案】480 【详解】先排除甲乙外的4名同学，有种排法， 再将甲乙插入这4名同学所形成的5个空挡中，有种排法， 故符合题意的排法共有24×20＝480种. 故答案为：480. 考点2 组合的概念，组合数公式 【例3】现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（    ） A．14种 B．18种 C．12种 D．7种 【答案】A 【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种）， 【突破训练】一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法． 故选：D． 【例4】某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【详解】若恰有1名女生参加，则有种，若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式．故选：C. 【突破训练】某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 【答案】B 【详解】第一：选派2名快递员的时候： 首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种， 所以不同安排方案有：种； 第二：选派3名快递员的时候： 先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法，所以不同安排方案有：种.综上，不同安排方案有：种. 故选：B 考点3 二项式定理 【例5】在的展开式中，项的系数为（   ） A． B．10 C． D．80 【答案】C 【详解】由， 令，解得， 所以，即项的系数为. 故选：C 【突破训练】在的二项展开式中，含的项系数是（    ） A．132 B．240 C．480 D．196 【答案】B 【详解】可以看成6个因式相乘，要得到，只需两个因式取，其他4个因式取常数即可， 所以的系数为：. 故选：B 【例6】若的展开式中的系数为，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为展开式的通项为， 令，可知展开式中的系数为，解得.故选：C. 【突破训练】若，则（    ） A．10 B．0 C． D．130 【答案】C 【详解】，所以，故选：C 【例7】在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法一：. 则展开式中得到常数项只有一种方法，即每个括号中都取出相乘可得. 故展开式中常数项为； 法二：的展开式中通项为 . 令，可得， 则展开式中常数项为. 故选：A. 【突破训练】的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】通项为常数项， 令可得， 所以， 故选：B． 模拟演练 一、单选题 1．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A． B． C．21 D．210 【答案】D 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种. 故选：D 2．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 3．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（    ） A．11 B．12 C．30 D．36 【答案】C 【详解】由题意，共有种选法. 故选：C． 4．10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 5．某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（   ） A．420种 B．840种 C．476种 D．896种 【答案】D 【详解】由题意可知，可以分两种情况， 第一种情况所选取3个项目恰有2个相同， 第一步，在8个项目中选取2项，共有种， 第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种， 第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种， 由分步乘法计算原理可知，共有种； 第二种情况所选取的3个项目完全相同， 则有种； 由分类加法计数原理可知，总情况一共有种. 故选：D 6．2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 【答案】B 【详解】解：先分配1名医生和2名护士到一所学校，另一所学校就就确定了， 所以共有种分配方案， 故选：B 7．从甲、乙等名志愿者中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，试验的基本事件总数为种，它们等可能， 甲、乙都入选的事件含有的基本事件数为， 所以甲、乙都入选的概率. 故选：A 8．二项式的展开式中的常数项为（    ） A．480 B．240 C．120 D．15 【答案】B 【详解】因为得到常数项，则．. 故选:B． 9．的展开式中的系数等于（    ） A．120 B． C． D．45 【答案】B 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得展开式中的系数等于. 故选：B. 10．二项式的展开式的第4项的系数是（    ） A．8 B．35 C．280 D．560 【答案】C 【详解】二项式的展开式的第4项是：， 所以第4项的系数是：. 故选：C 二、填空题 11．下列问题中，属于组合问题的是 ．（填序号） ①从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两人参加不同的两项活动． 【答案】①② 【详解】对于①，两个数的和与顺序无关，故是组合问题； 对于②，两点为端点的线段与顺序无关，故是组合问题； 对于③，选出的同学参加不同的活动，与顺序有关，故是排列问题． 故答案为：①②． 12．在的二项展开式中，含项的系数是 【答案】80 【详解】的二项展开式中，含项的是， 故含项的系数是， 故答案为：80 13．的二项展开式中的常数项是 (用数值作答)． 【答案】3003 【详解】因为展开式的通项公式为， 令，解得， 则展开式中的常数项为. 故答案为： 14．从甲、乙等6人中选出4名代表，那么甲一定当选，共有 种选法． 【答案】10 【详解】解：甲一定当选，则剩余3人从除了甲之外的5人中选取， 所以共有种选法． 故答案为：10 15．若，则的值为 ． 【答案】129 【详解】令，得， 又， 则，解得． 故． 故答案为：129 三、解答题 16．书架上层放4本不同的语文书，中层放5本不同的数学书，下层放6本不同的英语书． (1)如果从中任取一本书，有多少种不同的取法？ (2)如果从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)15(2)120 【详解】（1）书架上共有不同的书本， 所以从中任取一本书，共有15种不同的取法. （2）由题知从4本不同的语文书中任取一本，有4种取法； 从5本不同的数学书中任取一本，有5种取法； 从6本不同的英语书中任取一本，有6种取法. 根据分步乘法原则，， 所以从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有120种不同的取法. 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)126 ； (2)1680； (3)72； (4)120 . 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 18．春节期间，某班20名同学互发一条问候短信，那么他们发出的短信总数有多少条？ 【答案】380（条）． 【详解】每条短信都对应一个发信人和一个收信人，于是短信总数是从20个不同元素中取出2个元素的排列数． 所以发出的短信总数为（条）． 19．将3张电影票分给5人中的3人，每人1张，求共有多少种不同的分法． 【答案】60 【详解】问题相当于从5张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题． 故共有种分法． 20．已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)126(2) 【详解】（1）解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； （2）由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. $$