专题10 立体几何-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

专题10 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解平面的基本性质 · 理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 · 了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 · 理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂 直的判定与性质 考点预测 · 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 · 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂 直的判定与性质 · 柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及 面积、体积的计算 · 了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及 面积、体积的计算 要点自测 （1） 平面的概念及基本性质 性质 文字描述 符号描述 图形描述 公理1 如果一条直线上的____两个点____在一个平面上，那么这条直线上的___所有点_____都在这个平面上. 公理2 如果两平面有______一个公共点______，那么他们有且只有一条通过这个点的__交线______. 公理3 经过不在____一条直线____的三点，有且只有一个平面. C AB⇒ 存在唯一平面α，且A∈α，B∈α，C∈α 公理3 的推论 推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 （2） 直线、平面平行的判定和性质 直线与直线 位置关系 相交 在同一平面内，有且只有____1____公共点 平行 在同一平面内，没有公共点 异面 ___不_____在任何一个平面内，没有公共点 异面直线所成的角 经过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的锐角(或直角). 直线与平面 位置关系 直线在平面内 直线____所有____点都在平面内，记作：lα. 平行 直线与平面没有公共点，记作：l//α. 相交 直线与平面____有____一个公共点，记作：l∩α=A. 判定定理 如果__平面外____一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与两平面的___交线_____平行 平面与平面 位置关系 平行 两平面没有公共点，记作：α//β. 相交 令平面有且仅有一条公共直线直线，记作：α∩β=l 判定定理 如果一个平面内有_两条相交_直线平行于另一平面，则这两个平面平行 推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一平面内两相交直线，则这两个平面平行 性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的__交线______平行 （三）直线、平面垂直的判定和性质 直线与平面 直线与平面垂直的概念 如果一条直线l与平面α内任意一条直线都垂直，那么直线l与平面垂直，记作：l⊥α 直线与平面垂直的 判定定理 直线和平面内的____两条相交直线 ________垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 直线与平面垂直的 性质定理 ①如果两条直线和一个平面垂直，那么这两条直线____平行____； ②如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内的所有直线. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和___平面___所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； 斜线与平面所成角的范围是:_[0,90]_； 平面与平面所成角的范围是:_[0,180]____； 平面与平面 二面角 从一条直线出发的两个_半平面__构成的图形叫做二面角.记作：二面角α-l-β . 平面与平面垂直的概念 如果两平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的__垂线_，那么这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的 性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于____两个平面交线 ____的直线垂直于另一个平面 （四）柱、锥、球的概念和性质 棱柱 棱柱的概念 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体. 棱柱的分类 棱柱按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……，侧棱垂直于底面的棱柱叫__直棱柱__底面是正多边形的直棱柱叫___正棱柱___. 棱柱的性质 侧棱都相等，侧面都是_____四边形___； 两个底面与平行于它的截面是全等的多边形. 过不相邻的两条侧棱的截面是___矩形_________. 棱锥 棱锥的概念 一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体. 棱锥的分类 棱锥按底面多边形的边数 分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫正棱锥 . 棱锥的性质 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的三角形，各等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高. 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成一个直角三角形。 圆柱 圆柱的概念 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆柱的性质 平行于底面的截面是全等的 圆 . 轴截面是全等的___矩形___. 圆锥 圆锥的概念 以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆锥的性质 平行底面的截面是等圆. 轴截面是全等的___等腰三角形___. 球 球的概念 以半圆直径 所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体. 球的性质 球心和截面圆心的连线___垂直___截面. 经过球心的截面叫做大圆 ，不经过球心的平面叫做小圆 （五）柱、锥、球的面积和体积公式 棱柱 直棱柱侧面积 S直棱柱= 直棱柱表面积 S直棱柱表= 棱柱的体积 V棱柱= 棱锥 正棱锥侧面积 S正棱锥侧= 正棱锥表面积 S正棱锥侧表= 棱锥的体积 V棱锥= 圆柱 圆柱的侧面积 S圆柱侧= 圆柱的表面积 S圆柱表= 圆柱的体积 V圆柱= 圆锥 圆锥的侧面积 S圆锥侧= 圆锥的表面积 S圆锥表= 圆锥的体积 V圆锥= 球 球的表面积 S球= 球的体积 V球= 考点突破 考点1 直线与直线的位置关系 【例1】如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1， 因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.故选：B. 【突破训练】如图，在三棱柱中，E，F分别是AB，AC上的点，且，则EF与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或相交 【答案】B 【详解】因为在中,所以又因为所以故选:B 【例2】如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【详解】连接,因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，即或其补角是异面直线与所成的角. 在正方体中，即是等边三角形，所以. 故选：C 【突破训练】如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.由条件知：，则，故选：C. 考点2 直线与平面的位置关系 【例3】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）如图所示，连接， 因为为平行四边形，是中点， 所以是平行四边形的对角线，所以是中点， 又因为是中点，所以是中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）. 【突破训练】如图，在三棱柱中，，，设O为与的交点，点P为的中点．求证：平面；    【答案】证明见解析 【详解】如图，四边形为平行四边形，所以为的中点，且为的中点，所以在中，为中位线，所以,且面，面,所以平面. 【例4】如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）为矩形， 平面平面 ， 又与平面， 平面． 又平面 又与平面， 平面. （2）由（1）知，平面 又与平面 平面；平面，所以； 为矩形 平面是平面内两条相交直线 平面 平面 平面平面， . 【突破训练】在三棱锥中，为的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】因为，为的中点， 所以， 又因为平面， 所以平面. 考点3 平面与平面的位置关系 【例5】如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵，且 ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵， ∴平面平面BCHG． 【突破训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1，为底面的中心．求证： （1）平面AB1D1//平面C1BD； （2）． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【详解】解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，且，所以四边形为平行四边形，则，同理 平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面AB1D1//平面C1BD； （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，为的中点，所以，又，所以. 考点4 简单几何体的表面积和体积 【例7】艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为，侧面面积为，由题意知，所以，解得，因此该圆锥的高， 故该圆锥的体积． 故选：C． 【突破训练】一个正三棱锥的底面边长为2，高为3，则其体积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为正三棱锥的底面边长为2，高为3， 所以正三棱锥的体积为， 故选：D 【例8】已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【答案】C 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故选：C 【突破训练】已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以，即， 则球的体积， 故选：D． 【例9】已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由侧面展开图的内切圆半径为1可知：， 所以圆柱的体积为， 故选：A 【突破训练】若圆柱的底面半径为2，母线长为3，则圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，圆柱底面积为，母线即圆柱的高，则圆柱的体积为. 故选：D 模拟演练 一、单选题 1．如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【详解】以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 2．下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【详解】①错误，两条直线可以异面； ②正确，平行的传递性； ③错误，和另一条直线可以相交也可以异面； ④正确，平行的传递性. 故选：B. 3．已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】因为圆柱的底面积为1，高为2， 所以该圆柱的体积为. 故选：B. 4．如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中正确的是（   ） A．与异面 B．与异面 C．平面 D．平面 【答案】A 【详解】 在直三棱柱中，，平面， ，且平面，,所以与异面，故A正确； 显然平面，平面，故与共面，故B错误； 因为平面，所以平面，故C错误； 在直三棱柱中平面平面，平面， 所以平面，显然平面，故D错误. 故选：A 5．已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可设圆柱底面半径为， 由圆柱的轴截面为正方形可知圆柱的高， 所以圆柱的表面积， 所以， 则体积， 故选：A. 6．已知直线和平面，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则或或或斜交，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知：若，则，故C正确； 对于D，若，则或相交或异面，故D错误. 故选：C. 7．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC相交于l，则（    ） A．lAC B．l与AC相交 C．l与AC异面 D．以上均不对 【答案】A 【详解】∵ABC-A1B1C1为三棱柱， ∴A1C1AC，又平面ABC，平面ABC， ∴A1C1平面ABC，又平面A1C1B∩平面ABC=l， ∴A1C1l，∴lAC. 故选：A 8．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　 A． B．与相交 C． D．与所成的角为 【答案】D 【详解】解：一个正方体的展开图如图所示， 为原正方体的顶点， 还原成正方体如下图， ，是与所成角， ，， 在原来的正方体中与所成的角为． 故选． 9．如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【答案】B 【详解】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 10．在正方体中，二面角的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由正方体的性质易知平面，平面，平面， 则， 而平面平面， 则为二面角的平面角， 又因为四边形为正方形， 所以，即二面角的大小是. 故选：B. 二、填空题 11．若圆柱底面半径为2，高为3，则其侧面积为 ． 【答案】 【详解】由圆柱侧面积公式得，侧面积为， 故答案为：． 12．在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】设外接球的半径为R， 因为长方体的外接球直径为长方体对角线的长， 所以，解得， 则. 故答案为： 13．在长方体中，已知，则直线和直线所成角的余弦值是 . 【答案】 【详解】连接 ∵∥且，则为平行四边形 ∴∥，则直线和直线所成角为 ，则 故答案为：． 14．已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为 ． 【答案】30°/ 【详解】由于平面，平面， 所以,, 设正方形的边长为， 则,即， 解得，， 所以，， 由于为和平面所成角， 故,故， 故答案为：30° 15．如图，P是二面角内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角的大小为 . 【答案】100°// 【详解】设二面角的大小为， 因为PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.， 所以，所以. 故答案为：100° 三、解答题 16．在三棱锥P—ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，AP=AC=2，AB=1， (1)求三棱锥P—ABC的侧面积； (2)求点A到平面PBC的距离. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵PA⊥面ABC， ∴PA⊥AB ，PA⊥AC，又AB⊥AC， ∴均为直角三角形， 又AP=AC=2，AB=1， ∴ ∴为等腰三角形， ∴，， ， ∴； （2）由（1）知，， ∴， 设点A到平面PBC的距离为， 则， ∴ 即点A到平面PBC的距离. 17．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60°(2)90° 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析.(2) 【详解】（1）∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． （2）如图，设，，连接FE，则F为线段OB的中点. 易知平面平面， 由（1）知，平面PBD，平面PBD ∴， ∴∠EFB为二面角的平面角， 又底面ABCD，，， ∴， ∴， 即二面角的大小为. 19．如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： (1)； (2)平面PAB． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）∵平面PAD，平面ABCD，平面平面， ∴． （2）由（1）知，， 又N是AD的中点，，∴， ∴四边形ABCN是平行四边形，∴， 又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB． 20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）如图，连，，， 平面平面，平面    （2）平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． $$ 专题10 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解平面的基本性质 · 理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 · 了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 · 理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂 直的判定与性质 考点预测 · 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 · 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂 直的判定与性质 · 柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及 面积、体积的计算 · 了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及 面积、体积的计算 要点自测 （1） 平面的概念及基本性质 性质 文字描述 符号描述 图形描述 公理1 如果一条直线上的_______在一个平面上，那么这条直线上的________都在这个平面上. 公理2 如果两平面有____________，那么他们有且只有一条通过这个点的_______. 公理3 经过不在______的三点，有且只有一个平面. C AB⇒ 存在唯一平面α，且A∈α，B∈α，C∈α 公理3 的推论 推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 （2） 直线、平面平行的判定和性质 直线与直线 位置关系 相交 在同一平面内，有且只有______公共点 平行 在同一平面内，没有公共点 异面 ____在任何一个平面内，没有公共点 异面直线所成的角 经过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的锐角(或直角). 直线与平面 位置关系 直线在平面内 直线_______点都在平面内，记作：lα. 平行 直线与平面没有公共点，记作：l//α. 相交 直线与平面_______一个公共点，记作：l∩α=A. 判定定理 如果______一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与两平面的_______平行 平面与平面 位置关系 平行 两平面没有公共点，记作：α//β. 相交 令平面有且仅有一条公共直线直线，记作：α∩β=l 判定定理 如果一个平面内有__直线平行于另一平面，则这两个平面平行 推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一平面内两相交直线，则这两个平面平行 性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的______平行 （三）直线、平面垂直的判定和性质 直线与平面 直线与平面垂直的概念 如果一条直线l与平面α内任意一条直线都垂直，那么直线l与平面垂直，记作：l⊥α 直线与平面垂直的 判定定理 直线和平面内的____ ______垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 直线与平面垂直的 性质定理 ①如果两条直线和一个平面垂直，那么这两条直线_______； ②如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内的所有直线. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和______所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； 斜线与平面所成角的范围是:_______； 直线与平面所成角的范围是:_______； 平面与平面 二面角 从一条直线出发的两个________构成的图形叫做二面角.记作：二面角α-l-β . 平面与平面垂直的概念 如果两平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的_________，那么这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的 性质定理 如果两个互相垂直,那么在一个平面内垂直于____的直线垂直于另一个平面 （四）柱、锥、球的概念和性质 棱柱 棱柱的概念 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体. 棱柱的分类 棱柱按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……，侧棱垂直于底面的棱柱叫________，底面是正多边形的直棱柱叫________. 棱柱的性质 侧棱都相等，侧面都是________； 两个底面与平行于它的截面是全等的多边形. 过不相邻的两条侧棱的截面是____________. 棱锥 棱锥的概念 一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体. 棱锥的分类 棱锥按底面多边形的______分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫______. 棱锥的性质 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的____________，各等腰三角形底边上的高叫正棱锥的______. 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个____________. 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成一个____________. 圆柱 圆柱的概念 以______的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆柱的性质 平行于底面的截面是全等的______. 轴截面是全等的______. 圆锥 圆锥的概念 以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆锥的性质 平行底面的截面是圆. 轴截面是全等的______. 球 球的概念 以______所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体. 球的性质 球心和截面圆心的连线______截面. 经过球心的截面叫做______，不经过球心的平面叫做______. （五）柱、锥、球的面积和体积公式 棱柱 直棱柱侧面积 S直棱柱= 直棱柱表面积 S直棱柱表= 棱柱的体积 V棱柱= 棱锥 正棱锥侧面积 S正棱锥侧= 正棱锥表面积 S正棱锥侧表= 棱锥的体积 V棱锥= 圆柱 圆柱的侧面积 S圆柱侧= 圆柱的表面积 S圆柱表= 圆柱的体积 V圆柱= 圆锥 圆锥的侧面积 S圆锥侧= 圆锥的表面积 S圆锥表= 圆锥的体积 V圆锥= 球 球的表面积 S球= 球的体积 V球= 考点突破 考点1 直线与直线的位置关系 【例1】如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【突破训练】如图，在三棱柱中，E，F分别是AB，AC上的点，且，则EF与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或相交 【例2】如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【突破训练】如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 考点2 直线与平面的位置关系 【例3】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 【突破训练】如图，在三棱柱中，，，设O为与的交点，点P为的中点．求证：平面；    【例4】如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【突破训练】在三棱锥中，为的中点.证明：平面.    考点3 平面与平面的位置关系 【例5】如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 【突破训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1，为底面的中心．求证： （1）平面AB1D1//平面C1BD； （2）． 考点4 简单几何体的表面积和体积 【例7】艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【突破训练】一个正三棱锥的底面边长为2，高为3，则其体积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【例8】已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【突破训练】已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例9】已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】若圆柱的底面半径为2，母线长为3，则圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题 1．如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 2．下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 3．已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中正确的是（   ） A．与异面 B．与异面 C．平面 D．平面 5．已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为，则其体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线和平面，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC相交于l，则（    ） A．lAC B．l与AC相交 C．l与AC异面 D．以上均不对 8．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　 A． B．与相交 C． D．与所成的角为 9．如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 10．在正方体中，二面角的大小是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若圆柱底面半径为2，高为3，则其侧面积为 ． 12．在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为 . 13．在长方体中，已知，则直线和直线所成角的余弦值是 . 14．已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为 ． 15．如图，P是二面角内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角的大小为 . 三、解答题 16．在三棱锥P—ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，AP=AC=2，AB=1， (1)求三棱锥P—ABC的侧面积； (2)求点A到平面PBC的距离. 17．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 19．如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： (1)； (2)平面PAB． 20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． $$