专题09 圆锥曲线-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

专题09 圆锥曲线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 椭圆的定义、焦点、焦距，标准方程 · 椭圆的顶点、长轴、短轴，对称性、中心，离心率 · 双曲线的定义、焦点、焦距，标准方程 · 双曲线的对称性、中心，顶点、实轴、虚轴，离心率 考点预测 · 椭圆及其性质 · 双曲线及其性质 · 抛物线及其性质 · 直线与圆锥曲线的位置关系 · 抛物线的定义、焦点、准线，方程，范围、顶点， 离心率 要点自测 一、椭圆及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之和为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ， ， 焦点弦 左焦点弦，右焦点弦 离心率 二、双曲线及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之差为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ，，左支填“－” 渐近线 离心率 3、 抛物线及其性质 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 方程 图形 顶点 （０，０） 对称轴 ｘ轴 ｙ轴 焦点 准线方程 离心率 范围 考点突破 考点1椭圆及其性质 【例1】若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 考点2 双曲线及其性质 【例3】双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【例4】已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点3 抛物线及其性质 【例5】抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【突破训练】抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【突破训练】若抛物线上的点到焦点的距离为则（    ） A． B．2 C．6 D． 考点4 直线与圆锥曲线的位置关系 【例7】已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【突破训练】已知直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长． 【例8】已知焦距为的双曲线的焦点在x轴上，且过点P . （Ⅰ）求该双曲线方程 ； （Ⅱ）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长. 【突破训练】给定双曲线．过的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程． 【例9】已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1)求抛物线方程； (2)求弦的长度； 【突破训练】如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. (1)求的值； (2)求证：OM⊥ON. 模拟演练 一、单选题 1．椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C．12 D． 3．若双曲线的一个焦点为，则m等于（    ）. A． B． C． D．8 4．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 5．若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 6．已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 8．双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．4 9．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为 . 12．已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 13．已知抛物线C：，则抛物线C的焦点坐标为 ． 14．已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ． 15．已知直线l：y＝2x－3与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，则AB＝ ． 三、解答题 16．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程； (2)准线方程为的抛物线的标准方程； (3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程. 17．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程． 18．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长. 19．已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 20．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为. （1）求的值； （2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程. $$ 专题09 圆锥曲线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 椭圆的定义、焦点、焦距，标准方程 · 椭圆的顶点、长轴、短轴，对称性、中心，离心率 · 双曲线的定义、焦点、焦距，标准方程 · 双曲线的对称性、中心，顶点、实轴、虚轴，离心率 考点预测 · 椭圆及其性质 · 双曲线及其性质 · 抛物线及其性质 · 直线与圆锥曲线的位置关系 · 抛物线的定义、焦点、准线，方程，范围、顶点， 离心率 要点自测 一、椭圆及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之和为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ， ， 焦点弦 左焦点弦，右焦点弦 离心率 二、双曲线及其性质 第一定义 平面内一动点P与两定点F1 、F2距离之差为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹 焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b，焦距＝ 焦点 焦半径 ，，左支填“－” 渐近线 离心率 3、 抛物线及其性质 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 方程 图形 顶点 （０，０） 对称轴 ｘ轴 ｙ轴 焦点 准线方程 离心率 范围 考点突破 考点1椭圆及其性质 【例1】若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为， 所以，，则，， 椭圆的标准方程为. 故选：B. 【突破训练】已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 由于焦点在x轴上，所以椭圆方程为， 故选：A 【例2】已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，，因此， 又椭圆的离心率，故选：A. 【突破训练】已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知离心率，则， 又，所以，即，所以. 故选：D. 考点2 双曲线及其性质 【例3】双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的焦点坐标是和可得，实轴长是2可得，所以， 所以方程是.故选：B. 【突破训练】已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：.所以双曲线的标准方程为.故选：A 【例4】已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，. 故选：A. 【突破训练】双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 考点3 抛物线及其性质 【例5】抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为，故选：D. 【突破训练】抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：D. 【例6】已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】设，焦点为,，由抛物线的定义可知： ，所以， 将其代入抛物线方程中得故，所以点到轴的距离等于4，故选：B 【突破训练】若抛物线上的点到焦点的距离为则（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】D 【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离为4，所以，即，，所以 故选：D. 考点4 直线与圆锥曲线的位置关系 【例7】已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）联立消去y得，， ， 若直线l与椭圆C有两个不重合的公共点，则， 解得， 即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点时，的取值范围为. （2）若直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 则，解得， 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点时,的值为. （3）若直线l与椭圆C没有公共点, 则，解得， 即直线l与椭圆C没有公共点时,的取值范围为. 【突破训练】已知直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长． 【答案】 【详解】联立方程： 得 ， ， 因为斜率k=3， = ， 故答案为：. 【例8】已知焦距为的双曲线的焦点在x轴上，且过点P . （Ⅰ）求该双曲线方程 ； （Ⅱ）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长. 【答案】(1)；（2）|AB|=6 【详解】试题分析：(1)设双曲线方程为（a,b＞0） 左右焦点F1、F2的坐标分别为（-2，0）（2，0） 则|PF1|－|PF2|=2=2，所以=1， 又c=2,b= 所以方程为 （2）直线m方程为y=x－2 联立双曲线及直线方程消y得2 x2+4x-7=0 设两交点，x1+x2=-2, x1x2=-3.5 由弦长公式得|AB|=6 【突破训练】给定双曲线．过的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程． 【答案】 【详解】设，代入方程得 两式相减得：又设中点 将代入，当时得 又 代入得 当弦斜率不存在时，其中点的坐标也满足上述方程 因此所求轨迹方程是 【例9】已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1)求抛物线方程； (2)求弦的长度； 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点， 所以，则抛物线方程为. （2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线， 代入抛物线消去y，得，则，显然， 所以，，则. 【突破训练】如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. (1)求的值； (2)求证：OM⊥ON. 【答案】(1)4(2)证明见解析 【详解】（1）直线l的方程为， 直线与抛物线联立得，消去y可得， 其中， 由韦达定理得； （2）证明：，，所以， 又∵，∴. 设OM，ON的斜率分别为，， 则，，有， 则OM⊥ON. 模拟演练 一、单选题 1．椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以.故选：D 2．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【详解】由题意知，，又，所以，即实数的值为12. 故选：C 3．若双曲线的一个焦点为，则m等于（    ）. A． B． C． D．8 【答案】D 【详解】由题意知，，.故选：D. 4．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【详解】双曲线的，由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17，若，则在右支上，应有，不成立；若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 5．若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【详解】双曲线的焦点为，因为椭圆（）与双曲线的焦点相同， 所以，解得.故选：C. 6．已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，解得，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 7．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为：. 故选：D 8．双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【详解】双曲线中，，双曲线的离心率， 所以．故选：D． 9．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】 如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点；当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点.由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条.故选:D. 10．斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得，故选：C. 二、填空题 11．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】8 【详解】∵ 焦点在轴上，由椭圆方程可知：， ∴，即. 故答案为：8 12．已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的半焦距为，由题设可得且焦点在轴上， 故可设双曲线方程为：，则即， 故即，故离心率为，渐近线方程为， 故答案为：；. 13．已知抛物线C：，则抛物线C的焦点坐标为 ． 【答案】 【详解】由得：，其焦点坐标为：. 故答案为： 14．已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上， 所以其准线方程为. 故答案为：. 15．已知直线l：y＝2x－3与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，则AB＝ ． 【答案】 【详解】 由解得或所以AB＝＝4. 三、解答题 16．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程； (2)准线方程为的抛物线的标准方程； (3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由已知，，，得：，， 从而. 所以椭圆的标准方程为. （2）抛物线的准线方程为， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是， 所求抛物线的标准方程为： （3）设双曲线方程为， 由题设可得，故，故双曲线方程为. 17．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程． 【答案】y2＝－8x. 【详解】由题意知：点P到圆心A(－2, 0)的距离和到定直线x＝2的距离相等， 所以点P的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为x＝2， 故点P的轨迹方程为y2＝－8x. 18．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）， 所以，即抛物线C的方程. （2）设， 由得 所以， 所以 . 19．已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 20．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为. （1）求的值； （2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程. 【答案】（1）；（2）顶点坐标；渐近线方程 【详解】（1）焦距为         （2）由（1）知，双曲线方程为：，即， 双曲线顶点坐标为，渐近线方程为： $$