专题07 平面向量-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

专题07 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解平面向量的概念 · 理解平面向量加、减、数乘运算、向量的线性运算 · 理解平面向量的坐标表示 · 掌握平面向量的坐标运算、中点公式 · 理解共线向量的坐标表示 考点预测 · 平面向量的概念 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的内积运算，坐标运算 · 向量共线，垂直的条件 · 了解平面向量的内积，理解内积的坐标表示 · 理解向量垂直的条件 · 掌握距离公式 要点自测 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法 ①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．推广：＋＋…＋＝. 图1 图2 ②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线 就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质： a＋b＝b＋a (交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (结合律)； a＋0＝0＋a＝a. (2)向量的减法：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)． 3．向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 5．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 6．数量积的概念：已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积． 7．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0； 8．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝ 9．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝. ② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 考点突破 考点1 平面向量的概念 【例1】下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【突破训练】下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【例2】如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【突破训练】如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 考点2 向量的线性运算 【例3】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【突破训练】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例4】如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3 向量的运算用坐标表示 【例5】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知平面向量，则（    ） A．2 B．10 C． D． 【突破训练】已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 考点4 平面向量垂直的条件 【例7】已知向量，且，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【突破训练】已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 考点5 平面向量共线的条件 【例8】若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【例9】已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知向量，，若，，则为（    ） A． B． C． D． 考点5 求向量的模 【例10】已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 【突破训练】设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D．10 考点6 向量的数量积运算 【例11】已知．若，则（   ） A． B． C． D． 【突破训练】已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 考点7 向量的综合题 【例12】已知向量，. (1)若，求的值；(2)若，求实数k的值； 【突破训练】设向量，，． (1)求向量；(2)若，求实数k的值． 【例13】已知平面向量，， ，，且与的夹角为． (1)求和的值； (2)若与垂直，求λ的值． 【突破训练】已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求；(2)求. 模拟演练 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2．如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．等于（    ） A． B． C． D． 5． （    ） A． B． C． D． 6．已知平面上三个单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知非零向量，，则“”是“向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 9．已知平面向量，，且，则（   ） A． B．1 C．或 D．3 10．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知向量，，若，则实数 . 12．已知向量，，则= 13．已知，，则 ． 14．已知向量满足与的夹角为，则 ． 15．已知向量，．求= ． 三．解答题 16．如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1) 向量与的坐标 (2)点D与M的坐标. 17．已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 18．已知，，求： (1)；(2)；(3). 19．已知向量，，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 20．已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. $$ 专题07 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解平面向量的概念 · 理解平面向量加、减、数乘运算、向量的线性运算 · 理解平面向量的坐标表示 · 掌握平面向量的坐标运算、中点公式 · 理解共线向量的坐标表示 考点预测 · 平面向量的概念 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的内积运算，坐标运算 · 向量共线，垂直的条件 · 了解平面向量的内积，理解内积的坐标表示 · 理解向量垂直的条件 · 掌握距离公式 要点自测 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法 ①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．推广：＋＋…＋＝. 图1 图2 ②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线 就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质： a＋b＝b＋a (交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (结合律)； a＋0＝0＋a＝a. (2)向量的减法：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)． 3．向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 5．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 6．数量积的概念：已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积． 7．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0； 8．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝ 9．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝. ② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 考点突破 考点1 平面向量的概念 【例1】下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 【突破训练】下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【答案】A 【详解】对于A，只有零向量的模为，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误；对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误．故选：A． 【例2】如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.故选：B. 【突破训练】如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 【答案】B 【详解】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误； 对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确； 对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误； 对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误，故选：B． 考点2 向量的线性运算 【例3】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，所以. 故选：A 【突破训练】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D 【例4】如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于是边上的中点，则..故选：B. 【突破训练】中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 取中点，连,则点为的重心，， 即，故选：D. 考点3 向量的运算用坐标表示 【例5】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知向量，则. 故选：D. 【突破训练】若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算得坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【例6】已知平面向量，则（    ） A．2 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】， . 故选：A. 【突破训练】已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以，故．故选：B. 考点4 平面向量垂直的条件 【例7】已知向量，且，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】由得.故选：B. 【突破训练】已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 【答案】B 【详解】由题，因为，所以.故选：B. 考点5 平面向量共线的条件 【例8】若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三点共线，且， 得，解得, 故选：A. 【突破训练】已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的坐标，再根据向量共线的坐标形式可求参数的值. 【详解】，因为三点共线， 故共线，故，故， 故选：C. 【例9】已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，又，所以， 故. 故选：B. 【突破训练】已知向量，，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，则， ， 因为，则，① 因为，则，可得，② 联立①②可得，因此，. 故选：A. 考点5 求向量的模 【例10】已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，.故选：A. 【突破训练】设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【详解】因为，所以， 即，所以，则，所以.故选：C. 考点6 向量的数量积运算 【例11】已知．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，则，可得， 所以. 故选：B. 【突破训练】已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：因为向量与的夹角为，所以， 所以， 故选：A. 考点7 向量的综合题 【例12】已知向量，. (1)若，求的值；(2)若，求实数k的值； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以，解得，所以，所以； （2），，因为，所以，解得. 【突破训练】设向量，，． (1)求向量；(2)若，求实数k的值． 【答案】(1)(2)． 【详解】（1）因为，，则； （2）因为，若，则，解得． 【例13】已知平面向量，， ，，且与的夹角为． (1)求和的值； (2)若与垂直，求λ的值． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）∵，，且与的夹角为， ∴, 故； （2）∵与垂直， ∴， 即，解得：． 【突破训练】已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求；(2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，是两个单位向量，且与的夹角为， 所以； （2） 模拟演练 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 2．如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 4．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【详解】, 故选：C 5． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 6．已知平面上三个单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将平方后求出，再根据数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】由题意知平面上三个单位向量满足，则， 即，则， 故， 故选：C 7．已知非零向量，，则“”是“向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可. 【详解】因为，为非零向量， 若，则，则， 所以，所以，故充分性成立； 若，则，所以， 所以，则，故必要性成立； 所以“”是“向量”的充要条件. 故选：C． 8．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】由数量积的坐标运算公式可得结果. 【详解】，解得：或. 故选：C. 9．已知平面向量，，且，则（   ） A． B．1 C．或 D．3 【答案】C 【分析】根据，得，再由坐标运算即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 解得或. 故选：C. 10．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法准则即可求解. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：A. 二、填空题 11．已知向量，，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 12．已知向量，，则= 【答案】5 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 13．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 14．已知向量满足与的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】由题，先求得的值，再求得，最后开方可得答案. 【详解】， 故答案为: 15．已知向量，．求= ． 【答案】(1) 【详解】（1）解：，， 则， 故； 三．解答题 16．如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1) 向量与的坐标 (2)点D与M的坐标. 【答案】(1)，. (2)， 【详解】（1）因为 所以， . （2）设，因为M为中点，、， 所以，所以. 设，则， 由得， 即所以即. 17．已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， . （2） . 18．已知，，求： (1)；(2)；(3). 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1） （2） （3） 19．已知向量，，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，．所以， 因为，且， 所以，得． （2）因为，，， 所以，且． 所以，得． 20．已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，解得， 所以 （2）因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. $$