专题12 概率与统计初步-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

专题12 概率与统计初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 掌握分类、分步计数原理 · 理解随机事件和概率 · 理解古典概型、概率加法公式 · 了解直方图与频率分布，总体与样本 · 了解抽样方法，用样本均值、标准差估计总体 考点预测 · 古典概型、概率加法公式 · 直方图与频率分布，总体与样本 · 用样本均值、标准差估计总体 · 了解离散型随机变量及其分布，离散型随机变量的均值、方差 · 离散型随机变量及其分布，离散型随机变量的均值、方差 · 理解独立重复试验及其概率 · 了解二项分布 要点自测 （一）概率初步 几个概念 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 随机事件也称简单事件，不能再分的随机事件称为基本事件. 样本空间 全体基本事件构成的集合叫做随机试验的样本空间 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 不可能事件 不可能发生的事件 互斥事件 一次试验中不可能同时发生的两个事件，也叫互不相容事件 对立事件 一次试验中必有一个发生的两个互斥事件 古典概型 古典概型的特点 ①试验的所有可能结果的个数是有限的； ②每个结果出现的概率相同. 古典概率 对于古典概型，如果试验的基本事件的总数为n， 随机事件A包含的基本事件数为m，那么P(A)=_________(m ≤ n). n次独立重复试验 相互独立试验 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件 n次独立重复试验 ①在相同条件下，重复地做n次试验； ②每次试验只有两个可能的结果A和 . n次独立重复试验概率计算 伯努利公式：Pn(k)= p k (1-p) n-k 事件的运算及其计算 (1)事件的“并” “A∪B”表示A、B ； 计算：若A、B是互斥事件，则P(A∪B)= ； (2)事件的“交” “A∩B”表示A、B ； 计算：P(A∩B)= ； (3)事件的“否” 表示A不发生 （二）统计初步 统计初步相关基本概念 (1) ：研究对象的全体； (2)个体： ； (3) ：被抽取出来的个体组成的集合； (4)样本空间： ； 抽样方法 简单随机抽样 设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 系统抽样 当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样. 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，通常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 方差与标准差 方差 S2= 样本方差说明样本的 ，方差越大，说明样本的波动越大，越不稳定. 标准差 方差的算术平方根，叫做标准差.即 S= （三）离散型随机变量及其分布 （1）一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的. 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn （2） 离散型随机变量的分布列必须满足：①pk≥0，k=1，2，…，n；②pk=p1+p2+…+pn=1.； （3）离散型随机变量的均值 … … … … 均值 （四）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，称为随机变量的标准差. （五）二项分布 1.独立重复试验 在相同条件下重复做n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是互相独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. 2.二项分布 （1）一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)= ，k=0，1，2，…，n，X的分布列为： 0 1 k n （2）二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为，的二项分布，即，则， 考点突破 考点1 概率初步 【例1】柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋，如果从中随机地取出只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【例2】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（    ） A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0 【突破训练】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（    ） A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42 C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74 【例3】某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.8，则他连续射击两次都命中的概率是（    ） A．0.64 B．0.16 C．1.6 D．0.04 【突破训练】已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 考点2 统计初步 【例4】我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（    ） A．52 B．48 C．36 D．24 【突破训练】城市森林公园有各种树木共30000棵，其中松树3000棵，为了调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【例6】“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【突破训练】在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分为10，7，6，9，8，9，5，这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．7，9 B．9，9 C．9，8 D．8，9 【例7】某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（    ） A．82.4 B．82.7 C．83.4 D．83.5 【突破训练】随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费（元） 6 7 8 人数 10 20 20 这50个学生的午餐费的平均值是（    ） A．7.2 B．7.1 C．7 D．0.56 【例8】已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【突破训练】已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为（    ）． A．5 B．6 C．25 D．30 【例9】某小学为了解学生的身体状况，抽取了名学生的身高，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的学生身高在的人数约为（    ） A．100 B．90 C．80 D．70 【突破训练】为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（    ） A．0.0020 B．0.0025 C．0.0015 D．0.0030 考点3 离散型随机变量X的概率分布 【例10】在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 【突破训练】袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 【例11】假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： (1)的概率分布列； (2)均值. 【突破训练】某一射手射击所得环数的分布列如下： 5 6 7 8 9 10 （1）求的值； （2）求此射手射击所得环数的数学期望. 模拟演练 一、单选题 1．从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取数学教师的人数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．样本数据：48，49，50，50，50，50，51，52的方差为（    ） A．1 B．1.25 C．2.5 D．4 4．某学校高一年级女生定制校服规格的数据如图所示，则这组数据的众数为（    ）    A．55 B．160 C．165 D．170 5．袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球， 抽到的不是白球的概率为 （     ） A． B． C． D． 6．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 7．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 8．甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 9．对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 10．某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（    ）． A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21 二、填空题 11．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的可能取值是 ．（用集合表示） 12．已知某次摸奖的中奖概率为，则不中奖的概率为 . 13．甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 . 14．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 15．若数据的平均数为10，方差为6，则数据，，，，的平均数为 ，方差为 . 三、解答题 16．某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：）进行统计，所得数据都在内，按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值； (2)估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数； (3)若这批鱼有条，估计这批鱼中重量在内的数量． 17．射击队某选手命中环数的部分概率如下表所示． 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 该选手射击一次，求： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 18．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码.已知他们能破译该密码的概率分别是. (1)求三人都成功破译该密码的概率； (2)求恰有一人成功破译该密码的概率. 19．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． (1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和期望． (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 20．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）， 将所得数据分组，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 　 0.10 8 　 　 0.50 10 　 　 　 合计 50 1.00 (1)将上面表格中缺少的数据填在相应的位置； (2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间内的概率； $$ 专题12 概率与统计初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 掌握分类、分步计数原理 · 理解随机事件和概率 · 理解古典概型、概率加法公式 · 了解直方图与频率分布，总体与样本 · 了解抽样方法，用样本均值、标准差估计总体 考点预测 · 古典概型、概率加法公式 · 直方图与频率分布，总体与样本 · 用样本均值、标准差估计总体 · 了解离散型随机变量及其分布，离散型随机变量的均值、方差 · 离散型随机变量及其分布，离散型随机变量的均值、方差 · 理解独立重复试验及其概率 · 了解二项分布 要点自测 （一）概率初步 几个概念 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 随机事件也称简单事件，不能再分的随机事件称为基本事件. 样本空间 全体基本事件构成的集合叫做随机试验的样本空间 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 不可能事件 不可能发生的事件 互斥事件 一次试验中不可能同时发生的两个事件，也叫互不相容事件 对立事件 一次试验中必有一个发生的两个互斥事件 古典概型 古典概型的特点 ①试验的所有可能结果的个数是有限的； ②每个结果出现的概率相同. 古典概率 对于古典概型，如果试验的基本事件的总数为n， 随机事件A包含的基本事件数为m，那么P(A)=_________(m ≤ n). n次独立重复试验 相互独立试验 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件 n次独立重复试验 ①在相同条件下，重复地做n次试验； ②每次试验只有两个可能的结果A和 . n次独立重复试验概率计算 伯努利公式：Pn(k)= p k (1-p) n-k 事件的运算及其计算 (1)事件的“并” “A∪B”表示A、B至少发生一个； 计算：若A、B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)； (2)事件的“交” “A∩B”表示A、B同时发生； 计算：P(A∩B)=P(A)·P(B)； (3)事件的“否” 表示A不发生 （二）统计初步 统计初步相关基本概念 (1)总体：研究对象的全体； (2)个体：组成总体的每个对象； (3)样本：被抽取出来的个体组成的集合； (4)样本空间：样本所含个体数目； 抽样方法 简单随机抽样 设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 系统抽样 当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样. 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，通常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 方差与标准差 方差 S2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(xn-)2] 样本方差说明样本的波动程度，方差越大，说明样本的波动越大，越不稳定. 标准差 方差的算术平方根，叫做标准差.即 S= （三）离散型随机变量及其分布 （1）一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的. 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn （2） 离散型随机变量的分布列必须满足：①pk≥0，k=1，2，…，n；②pk=p1+p2+…+pn=1.； （3）离散型随机变量的均值 … … … … 均值 （四）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，称为随机变量的标准差. （五）二项分布 1.独立重复试验 在相同条件下重复做n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是互相独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. 2.二项分布 （1）一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)= ，k=0，1，2，…，n，X的分布列为： 0 1 k n （2）二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为，的二项分布，即，则， 考点突破 考点1 概率初步 【例1】柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋，如果从中随机地取出只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，分别表示三双鞋的左只，，，分别表示三双鞋的右只， 则从中随机取出只的所有可能为，，，，，，，，，，，，，，， 共种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有，，，，，，，，，共种，所以概率为,故选：C. 【突破训练】在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设3个红球为A,B,C,2个黑球为. 因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”， 故试验的样本空间为：， 记“两次取到的球颜色相同”,则， 由古典概型概率公式，可得.故选：B. 【例2】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（    ） A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0 【答案】C 【详解】摸出黑球的概率为.故选：C 【突破训练】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（    ） A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42 C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为. 故选：C 【例3】某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.8，则他连续射击两次都命中的概率是（    ） A．0.64 B．0.16 C．1.6 D．0.04 【答案】A 【详解】由题意，连续射击两次都命中的概率是. 故选：A 【突破训练】已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， 故选：D． 考点2 统计初步 【例4】我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（    ） A．52 B．48 C．36 D．24 【答案】C 【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为.故选：C 【突破训练】城市森林公园有各种树木共30000棵，其中松树3000棵，为了调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】D 【详解】分层抽样，即等比例抽样，设样本中松树苗的数量为，则，解得，即样本中松树苗的数量为15. 故选：D 【例6】“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【详解】苗高由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 【突破训练】在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分为10，7，6，9，8，9，5，这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．7，9 B．9，9 C．9，8 D．8，9 【答案】D 【详解】某乡镇7个村的得分为10，7，6，9，8，9，5，由小到大排序为5，6，7，8，9，9，10，所以中位数为8，众数为9．故选：D． 【例7】某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（    ） A．82.4 B．82.7 C．83.4 D．83.5 【答案】C 【分析】根据平均数计算公式直接求解即可. 【详解】全班名学生的平均成绩. 故选：C. 【突破训练】随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费（元） 6 7 8 人数 10 20 20 这50个学生的午餐费的平均值是（    ） A．7.2 B．7.1 C．7 D．0.56 【答案】A 【详解】根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是： 故选：A. 【例8】已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平均值和方差的计算公式，可得答案. 【详解】均值：， 方差：. 故选：A. 【突破训练】已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为（    ）． A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】D 【详解】数据的方差为1.2， ，，……的方差为：． 故选：D. 【例9】某小学为了解学生的身体状况，抽取了名学生的身高，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的学生身高在的人数约为（    ） A．100 B．90 C．80 D．70 【答案】A 【详解】根据频率分布直方图得，身高在的频率为， 所以人数约为人. 故选：A. 【突破训练】为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（    ） A．0.0020 B．0.0025 C．0.0015 D．0.0030 【答案】B 【详解】由题意可得：，解得. 故选：B. 考点3 离散型随机变量X的概率分布 【例10】在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1)(2)分布列见解析 【详解】（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”， 则取出的2个球没有白球，得， 所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为． （2）依题意，随机变量的取值为1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 【突破训练】袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可. （2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望. 【详解】（1）根据题意可知， “”指事件“取出的个球中，恰有个白球”， 所以. （2）根据题意可知，的可能取值为：． ；；． 所以随机变量X的分布列为： 则的数学期望． 【例11】假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： (1)的概率分布列； (2)均值. 【答案】(1) X 1 2 3 (2) 【详解】（1）随机变量的所有取值是， X 1 2 3 （2） 【突破训练】某一射手射击所得环数的分布列如下： 5 6 7 8 9 10 （1）求的值； （2）求此射手射击所得环数的数学期望. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由分布列的性质得； （2）此射手射击所得环数的数学期望. 模拟演练 一、单选题 1．从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取数学教师的人数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中， 用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本， 则应抽取的数学教师人数是人. 故选：C. 2．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题得，所以． 在之间的学生：人， 现再从这人中用分层抽样的方法抽取人， 应从间抽取人数为，故. 故选：C． 3．样本数据：48，49，50，50，50，50，51，52的方差为（    ） A．1 B．1.25 C．2.5 D．4 【答案】B 【详解】样本数据的平均数， 方差. 故选：B. 4．某学校高一年级女生定制校服规格的数据如图所示，则这组数据的众数为（    ）    A．55 B．160 C．165 D．170 【答案】C 【详解】根据条形图165频数最大，可得众数为165. 故选：C. 5．袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球， 抽到的不是白球的概率为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有种取法， 其中取到白球的有种取法， 所以取到白球的概率为. 故选：B 6．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 7．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得乙获胜的概率是， 故选：C 8．甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率， 故该密码被成功破译的概率． 故选：C． 9．对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 【答案】D 【详解】由题意，成绩在分之间的频率是. 故选：D. 10．某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（    ）． A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21 【答案】B 【详解】由题意可得，解得， . 故选：B. 二、填空题 11．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的可能取值是 ．（用集合表示） 【答案】 【详解】因为两球号码和可出现同号相加，如下表所示： 一 二 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 所以X的可能取值是. 故答案为：. 12．已知某次摸奖的中奖概率为，则不中奖的概率为 . 【答案】/0.75 【详解】设“某次摸奖中奖”为事件，则“不中奖”为事件， 由题意，所以. 故答案为：. 13．甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 . 【答案】/0.25 【详解】设事件表示“乙获胜”，则， 则. 故答案为：. 14．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 【答案】3 【详解】∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4， ∴，解得， 由于3出现了2次，其他数据均出现1次， ∴这组数据的众数是3 故答案为：3 15．若数据的平均数为10，方差为6，则数据，，，，的平均数为 ，方差为 . 【答案】 【详解】根据样本平均数、方差公式计算结果. 因为数据，，，，的平均数为10，方差为6， 所以数据，，，，的平均数为：， 方差为：. 故答案为：17；24 三、解答题 16．某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：）进行统计，所得数据都在内，按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值； (2)估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数； (3)若这批鱼有条，估计这批鱼中重量在内的数量． 【答案】(1)(2)中位数为(3)条 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； （2）设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为，因为，，所以， 则，解得， 即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为； （3）由频率分布直方图可知这批鱼中重量在内的频率是， 则这批鱼中重量在内的数量是条. 17．射击队某选手命中环数的部分概率如下表所示． 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 该选手射击一次，求： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 【答案】(1)0.6(2)0.78(3)0.22 【详解】（1）所求概率为； （2）所求概率为； （3）所求概率为. 18．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码.已知他们能破译该密码的概率分别是. (1)求三人都成功破译该密码的概率； (2)求恰有一人成功破译该密码的概率. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）三人都成功破译该密码的概率为； （2）只有甲成功破译该密码的概率为， 只有乙成功破译该密码的概率为， 只有丙成功破译该密码的概率为， 故恰有一人成功破译该密码的概率为. 19．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． (1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和期望． (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；(2). 【详解】（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以，随机变量X的分布为， ； （2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 ． 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为． 20．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）， 将所得数据分组，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 　 0.10 8 　 　 0.50 10 　 　 　 合计 50 1.00 (1)将上面表格中缺少的数据填在相应的位置； (2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间内的概率； 【答案】(1)答案见解析(2)0.7 【详解】（1）利用频率和频数的关系，将表格中的频率乘以50即可求得对应频数， 将频数除以50即可求得对应频率，即可完成表格如下： 分组 频数 频率 0.1 8 0.5 10 合计 50 1 （2）根据样本估计总体的方法可知， 样本中不合格品的直径长与标准值的差落在区间内的频数为， 所以该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间内的概率为 $$