专题05 函数的应用-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题05 函数的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：基本图形面积公式 题型一：围成图形求面积※ 题型二：直角坐标系与动点问题※ 题型三：文字理解题 考点、题型突破 考点一：基本图形面积公式 基本图形与公式积累： 1. 三角形：（两个面积公式）； 直角三角形，等边三角形 2.矩形： 3.平行四边形： 4.梯形： 5.圆： 面积分割计算： 题型一：围成图形求面积 例1．如图，用长为12米的铝合金制成窗框，设宽为米.求    (1)问窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积不小于平方米？ (2)问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 例2．如图所示，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙足够用）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为2米的两个小门，    (1)求花圃面积S与花圃宽x的函数解析式； (2)当x为何值时，花圃面积S最大，并求出最大值． 例3．某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求，问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？    【突破训练】 1．用16m长的篱笆在墙角围一块矩形菜地（如图），设菜地的长为（m），    (1)将菜地的宽（m）表示为x的函数，并指出该函数的定义域； (2)将菜地的面积（）表示为x的函数，并指出该函数的定义域； (3)当菜地的长（m）满足什么条件时，菜地的面积大于60？ 2．某农户想利用一面旧墙（足够长），其余三面用15米长的竹篱笆围成一个矩形养鸡场，并在长的一边的中间开一个1米宽的门，如图所示.设养鸡场的宽为x米，求： (1)养鸡场的面积y关于x的函数关系式； (2)养鸡场的长和宽分别为多少米时，养鸡场的面积最大. 3．校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用篱笆围成一个直角梯形，篱笆只围两边，米，，设，花园的面积为． (1)试写出面积与的函数关系式； (2)当为何值时，面积有最大值？最大值是多少？ 题型二：直角坐标系与动点问题 例1．如图所示，已知直线交两坐标轴于，两点，在线段上任取一点（异于，），过点分别作两坐标轴的垂线，垂足为，. (1)求直线的方程； (2)设为，写出矩形的面积与之间的函数关系式； (3)当为何值时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 例2．如图，在形状为矩形的花圃中，，现在工人为花圃喷农药，工人甲、乙分别同时从A、B出发，甲以每秒的速度沿方向匀速工作，乙以每秒的速度沿方向匀速工作，设工作时间为x秒，的面积为． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求工人工作多少秒后的面积恰好为花圃面积的． 例3．如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【突破训练】 1．如图，已知两点和点，点C在y轴上，四边形OABC为矩形，P为线段BC上的一点，设，四边形OABP的面积为S. (1)将S表示为x的函数. (2)两个图形的面积相乘称为“四维量”，试问当x为何值时，三角形OCP面积与四边形OABP面积的“四维量”最大，并写出最大值？ 2. 如图，某班级要在一块直角三角形的空地上围出一块矩形区域作为劳动实践教育基地，矩形两边落在两条直角边上，矩形一个顶点在直角三角形斜边上.已知直角三角形两条直角边、分别为4米和8米，设为米.    (1)用表示； (2)写出矩形面积与边长的函数关系式； (3)当边长为何值时矩形面积最大，并求出最大面积. 题型三：文字理解题 例1．数据显示，在线直播带货可为卖家赚取更多的利润，假设直播在线购买人数y（单位：人）与某产品销售单价x（单位：元）满足的关系式为；，其中，m为常数，已知当该产品销售单价为元时，在线购买人数为人． (1)求实数m的值； (2)假设该产品的成本价为元，且每人限购1件，试确定销售单价x，使该产品直播后获得的利润最大，并求利润最大值． 例2．某服装店因换季准备将某品牌衬衫（每件标价为150元）采用打折的方法促销；买3件以上（含3件）按标价的五折出售，买8件以上（含8件）按标价的三折出售，假设某人购买x件衬衫需要花费y元． (1)请根据题目条件，将y表示成x的函数； (2)假设某人带有600元，他最多可购买多少件这样的衬衫？ 【突破训练】 1．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下表： 每户每月用电量 电价 不超过度的部分 元/度 超过度但不超过度的部分 元/度 超过度的部分 元/度 若某户居民本月交纳的电费为元，则此户居民本月用电量为 度． 2. 某超市将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，新冠疫情后，为了刺激消费，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． (1)超市要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ (2)每台冰箱降价多少元时，超市每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 模拟演练 1．用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25m．当这个矩形菜园的宽（矩形的较短边）为（ ）时，围成的矩形菜园的面积最大？ A． B． C．10 D．15 2．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过元者，超过元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为元的篮球个，则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ） A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套 4．如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花雨，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃的面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是多少？ 5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为m，斜坡的倾斜角是（无水状态不考虑）. 6．某木工师傅想从形状为等腰直角三角形的木板中切出一块矩形用料，已知三角形的直角边长为1米，他设计了以下两种方案（如图所示）. (1)按方案1切，切出的矩形的面积最大为多少？ (2)试比较这两种方案中切出的矩形面积的最大值的大小. 7. 小张职校毕业后自主创业，推出一种新产品，其成本为50元/件.如果每天销售量（件）可看成销售价（元/件）的一次函数，问： (1)当售价为60元/件时，一天的利润是多少元？ (2)当销售价定为多少元/件时，此产品一天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 8．两边靠墙的一个区域，边界正好是半径为10米的圆的一部分，如图所示，现要设计一个长方形花坛，两边靠墙，并要求其不靠墙的顶点正好落在圆周上，求当长方形花坛的边长为多少米时，其面积（）有最大值，并求出最大值. 9. 为了优化居住环境，某小区计划在空地上修建一个边长为8m的正方形花坛ABCD.如图，点E，F分别在AB，AD上，且.      (1)设，四边形BEFC的面积为，求S关于x的函数关系式； (2)若分别在和内种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是80元和70元；在四边形BEFC内种植草坪，每平方米的种植成本为60元.那么在这个花坛内种植花卉和草坪至少需要花费多少元? 10．如图1，用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形，苗圃，已知，，，设，苗圃面积为. (1)求S关于函数关系式，并写出该函数定义域； (2)当x为何值时，苗围的面积最大?并求出最大面积. $$专题05 函数的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：基本图形面积公式 题型一：围成图形求面积※ 题型二：直角坐标系与动点问题※ 题型三：文字理解题 考点、题型突破 考点一：基本图形面积公式 基本图形与公式积累： 1. 三角形：（两个面积公式）； 直角三角形，等边三角形 2.矩形： 3.平行四边形： 4.梯形： 5.圆： 面积分割计算： 题型一：围成图形求面积 例1．如图，用长为12米的铝合金制成窗框，设宽为米.求    (1)问窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积不小于平方米？ (2)问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)宽在1米~3米 (2)宽为米，高为米，最大面积为平方米 【分析】（1）由题意设出宽和高列出窗户透光面积的不等式，求解不等式即可； （2）利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题得宽为米，高为米， 所以窗户的透光面积， 因为窗户的透光面积不小于平方米， 所以，即，解得， 所以窗框的宽在1米~3米 （2）因为窗户的透光面积的函数是二次函数， 所以当窗框的宽为二次函数的对称轴米时，窗户的透光面积最大， 此时窗框的高为米， 窗框的透光面积最大面积为平方米. 例2．如图所示，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙足够用）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为2米的两个小门，    (1)求花圃面积S与花圃宽x的函数解析式； (2)当x为何值时，花圃面积S最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当米时，花圃面积S最大，最大为平方米 【分析】（1）根据长方形的面积公式建立二次函数模型即可. （2）将二次函数化为顶点式确定最值即可. 【详解】（1）已知篱笆的总长为米，设为米， 则为米， 所以花圃面积为. （2）由（1）可知， 化为顶点式为， 当米时，满足，花圃面积S最大，最大为平方米. 例3．某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求，问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？    【答案】AB的长为18米，最大面积为平方米． 【分析】根据设的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米，列出关于的二次函数，再求解函数的最值来求最大面积即可. 【详解】设的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米， 易知，， 因为，所以， 所以平行四边形的高， 则平行四边形的面积 ． 故当AB的长为18米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大面积为平方米． 【突破训练】 1．用16m长的篱笆在墙角围一块矩形菜地（如图），设菜地的长为（m），    (1)将菜地的宽（m）表示为x的函数，并指出该函数的定义域； (2)将菜地的面积（）表示为x的函数，并指出该函数的定义域； (3)当菜地的长（m）满足什么条件时，菜地的面积大于60？ 【答案】(1) (2) (3)当菜地的长（m）满足时，菜地的面积大于60 【分析】（1）根据题意知菜地的长与宽的和为16m，从而列式即可得解； （2）利用矩形的面积公式，结合（1）中结论即可得解； （3）利用（2）中函数得到关于的二次不等式，解之即可得解. 【详解】（1）依题意，得，所以， 又因为，则， 即该函数的定义域为， 所以， （2）依题意，得， 该函数的定义域为， （3）依题意，得，即，解得， 即当菜地的长（m）满足时，菜地的面积大于60. 2．某农户想利用一面旧墙（足够长），其余三面用15米长的竹篱笆围成一个矩形养鸡场，并在长的一边的中间开一个1米宽的门，如图所示.设养鸡场的宽为x米，求： (1)养鸡场的面积y关于x的函数关系式； (2)养鸡场的长和宽分别为多少米时，养鸡场的面积最大. 【答案】(1) (2)长为8米，宽为4米时，面积最大 【分析】（1）根据题意求出长，进而得到面积，得到函数关系式； （2）根据二次函数解析式求解即可. 【详解】（1）因为三面总长15米，且长的一边的中间开一个1米宽的门， 所以长为米， 所以养鸡场的面积. （2）因为养鸡场的面积， 由于二次函数开口向下，对称轴为， 所以当时，取得最大值32， 即当宽为4米，长为8米时，面积最大. 3．校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用篱笆围成一个直角梯形，篱笆只围两边，米，，设，花园的面积为． (1)试写出面积与的函数关系式； (2)当为何值时，面积有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，面积S取得最大值. 【分析】（1）根据题中所给边与角的大小推出梯形剩余边大小，再代入梯形的面积公式即可解得. （2）根据一元二次方程的对称轴与单调性图像即可解得. 【详解】（1）由题且，可得边， ， 则,, 梯形花园的面积， 所以面积S与x的函数关系式为. （2）由第1问中所得的面积与的一元二次函数关系式， 最大值在对称轴取得， 代入，， 所以当时，面积取得最大值. 题型二：直角坐标系与动点问题 例1．如图所示，已知直线交两坐标轴于，两点，在线段上任取一点（异于，），过点分别作两坐标轴的垂线，垂足为，. (1)求直线的方程； (2)设为，写出矩形的面积与之间的函数关系式； (3)当为何值时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)当时，矩形的面积最大，最大面积是. 【分析】（1）根据两点，先求斜率，再用点斜式求直线方程. （2）先表示出长和宽，再求面积；要注意取值范围. （3）根据二次函数的性质，即可确定. 【详解】（1）因为直线过，两点， 所以， 所以直线方程为， 即. （2）因为在线段上，， 所以 所以，， ， 所以. （3）由（2）得， 当时，， 所以当时，矩形的面积最大，最大面积是. 例2．如图，在形状为矩形的花圃中，，现在工人为花圃喷农药，工人甲、乙分别同时从A、B出发，甲以每秒的速度沿方向匀速工作，乙以每秒的速度沿方向匀速工作，设工作时间为x秒，的面积为． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求工人工作多少秒后的面积恰好为花圃面积的． 【答案】(1)，其中. (2)1秒或3秒 【分析】（1）根据三角形的面积公式得到函数解析式. （2）根据题意得到关于x的一元二次方程，求解即可. 【详解】（1）因为，所以, 又因为，所以， 因为，所以. 即，其中. （2）由（1）知， 由题意知花圃面积为：， 又，则， 解得，， 所以当工人工作1秒或3秒时的面积为花圃面积的． 例3．如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【答案】当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米 【分析】根据矩形的面积公式即可求出矩形的面积，再根据二次函数的性质即可求出最大面积. 【详解】设矩形的长FG为x米，宽EF为y米， 因为切去的三个角都是等腰直角三角形， 所以， 因为， 所以， 所以矩形的面积， 所以当时，函数有最大值， 即当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大， 最大面积是平方米. 【突破训练】 1．如图，已知两点和点，点C在y轴上，四边形OABC为矩形，P为线段BC上的一点，设，四边形OABP的面积为S. (1)将S表示为x的函数. (2)两个图形的面积相乘称为“四维量”，试问当x为何值时，三角形OCP面积与四边形OABP面积的“四维量”最大，并写出最大值？ 【答案】(1) (2)时，“四维量”最大值为144 【分析】（1）四边形OABP的面积等于矩形的面积减去三角形的面积，根据面积公式进行求解. （2）将三角形OCP面积与四边形OABP面积的“四维量”表示为的函数，根据二次函数的性质求解最大值. 【详解】（1）已知，四边形OABC为矩形， ∴，，解得， ∴，， . （2）由题可得， ∴当时，“四维量”最大值为144. 2. 如图，某班级要在一块直角三角形的空地上围出一块矩形区域作为劳动实践教育基地，矩形两边落在两条直角边上，矩形一个顶点在直角三角形斜边上.已知直角三角形两条直角边、分别为4米和8米，设为米.    (1)用表示； (2)写出矩形面积与边长的函数关系式； (3)当边长为何值时矩形面积最大，并求出最大面积. 【答案】(1) (2) (3)当边长等于2米时，矩形的面积最大，最大面积是8平方米. 【分析】（1）由与相似可得出与的关系. （2）由（1）用表示，利用面积公式即可写出矩形面积与边长的关系. （3）由（2）求出的二次函数，根据二次函数的图象和性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可得，， 所以与相似， 可得，为米 （2）由（1）， 矩形的面积， 即 （3）由（2）得， 该二次函数图象开口向下， 故当米时，平方米 所以当边长等于2米时，矩形的面积最大，最大面积是8平方米. 题型三：文字理解题 例1．数据显示，在线直播带货可为卖家赚取更多的利润，假设直播在线购买人数y（单位：人）与某产品销售单价x（单位：元）满足的关系式为；，其中，m为常数，已知当该产品销售单价为元时，在线购买人数为人． (1)求实数m的值； (2)假设该产品的成本价为元，且每人限购1件，试确定销售单价x，使该产品直播后获得的利润最大，并求利润最大值． 【答案】(1) (2)销售单价时，利润最大，利润最大值为元. 【分析】（1）将，代入解析式中，即可求出的值. （2）建立二次函数模型求最值即可. 【详解】（1）已知，， 且当时，，可得， 即，解得. （2）已知该产品的成本价为元，销售单价x， 则1件产品的利润为，且购买人数为， 已知每人限购1件， 所以该产品直播后获得的利润为， ， ， .其中，图像开口向下， 所以当时，满足，取最大值为元. 故销售单价时，利润最大，利润最大值为元. 例2．某服装店因换季准备将某品牌衬衫（每件标价为150元）采用打折的方法促销；买3件以上（含3件）按标价的五折出售，买8件以上（含8件）按标价的三折出售，假设某人购买x件衬衫需要花费y元． (1)请根据题目条件，将y表示成x的函数； (2)假设某人带有600元，他最多可购买多少件这样的衬衫？ 【答案】(1) (2)件 【分析】（1）根据买的不同件数，分段表示出函数关系式即可. （2）将600代入函数解析式求解x的取值即可. 【详解】（1）当时，按原价出售，即， 当时，按标价的五折出售，即， 当时，按标价的三折出售，即， 所以. （2）依题意，令，解得：， 是整数，的最大值为：， 他最多可购买13件这样的衬衫 【突破训练】 1．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下表： 每户每月用电量 电价 不超过度的部分 元/度 超过度但不超过度的部分 元/度 超过度的部分 元/度 若某户居民本月交纳的电费为元，则此户居民本月用电量为 度． 【答案】 【分析】首先求出度电的电费，由此判断出该用户用电量超过度，再设此户居民本月用电量为，根据表格列方程求解即可. 【详解】因为，， ，故该居民的月用电量超过度， 设此户居民本月用电量为，则，解得， 即该居民本月用电为度， 故答案为：． 2. 某超市将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，新冠疫情后，为了刺激消费，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． (1)超市要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ (2)每台冰箱降价多少元时，超市每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】(1)降价200元 (2)每台降价150元；利润最高为5000元. 【分析】（1）利用每一台冰箱的利润×每天售出的台数=每天盈利，设每台冰箱应降价元，列方程解答即可． （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）假设每台冰箱降价元，超市每天销售这种冰箱的利润是元， 由题意得，， 则，化简得，， 解得或， 要使百姓得到实惠，所以，即每台冰箱应降价200元. （2）， 当时，， 即每台冰箱降价150元时，超市每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润5000元. 模拟演练 1．用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25m．当这个矩形菜园的宽（矩形的较短边）为（ ）时，围成的矩形菜园的面积最大？ A． B． C．10 D．15 【答案】B 【分析】根据矩形的面积公式求出解析式，再由二次函数的最值求解即可. 【详解】设矩形的宽为米，矩形的面积为，则矩形的长为米，则， 所以矩形的面积为， 所以当时，矩形面积取得最大值， 故选：B. 2．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过元者，超过元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为元的篮球个，则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由购买单价为元的篮球个，可知超过元的部分为，再由超过元的部分按九折优惠，构建一次函数模型即可. 【详解】因为凡在该商店一次性购物超过 元者，超过元的部分按九折优惠， 且小东到该商店为学校一次性购买单价为元的篮球x个， 所以超过元的部分货款为， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是， . 故选：C． 3．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ） A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套 【答案】D 【分析】由题意求出利润的表达式，由解不等式即可． 【详解】因利润，所以， 由，得，解得，故至少日生产文具盒5000套． 故选：D． 4．如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花雨，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃的面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当x取3时所围成的花圃的面积最大，最大值是 (3) 【分析】（1）根据题意结合长方形面积公式得出函数解析式. （2）根据二次函数求最值即可. （3）根据二次函数的单调性，求二次函数的最值即可. 【详解】（1）设为x米，米， 所以， 这里且， 解得. 所以S与x的函数关系式为，自变量的取值范围. （2）由（1）可知， 因为， 所以当时，有最大值为. 即当x取3时所围成的花圃的面积最大，最大值是. （3）若墙的最大可用长度为米， 则且， 解得， 由， 且可知， 当，函数单调递减， 所以当，有最大值为. 即若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是平方米. 5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为m，斜坡的倾斜角是（无水状态不考虑）. (1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数； (2)当水深为m时，求横断面中水的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用梯形面积公式可求解析式； （2）将代入解析式求解即可. 【详解】（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m，上底为m，高为h m的等腰梯形， 所以. （2）由（1）知，，， 所以当水深为时，横断面水中的面积为． 6．某木工师傅想从形状为等腰直角三角形的木板中切出一块矩形用料，已知三角形的直角边长为1米，他设计了以下两种方案（如图所示）. (1)按方案1切，切出的矩形的面积最大为多少？ (2)试比较这两种方案中切出的矩形面积的最大值的大小. 【答案】(1) (2)相等，均为 【分析】（1）根据等腰直角三角形求出矩形的长与宽的关系，进而由二次函数的最值求解即可； （2）将两种方案的矩形面积的最大值求解出来进行比较即可； 【详解】（1）对于方案一： 因为是等腰直角三角形，所以； 因为是矩形，即，所以为等腰直角三角形，即； 同理可知，为等腰直角三角形，即， 因为，则， 设. 因为，则， 所以， 所以, 所以当时，矩形面积取得最大值. （2）对于方案二： 设，则，; 因为为矩形，为等腰直角三角形，所以为等腰直角三角形， 所以，则. 所以, 所以当时，矩形面积取得最大值为， 综上所述，两种方案切成的矩形面积的最大值相等，均为. 7. 小张职校毕业后自主创业，推出一种新产品，其成本为50元/件.如果每天销售量（件）可看成销售价（元/件）的一次函数，问： (1)当售价为60元/件时，一天的利润是多少元？ (2)当销售价定为多少元/件时，此产品一天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)400 (2)当销售价定为75元/件时，此产品一天获得的利润最大，最大利润为625元. 【分析】（1）先求解销售量，再根据题意代入求解利润即可. （2）根据题意列出二次函数，进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 一天的利润为：， 所以，售价为60元/件时，一天的利润是400元. （2）此产品一天获得的利润：， 当时，， 所以，当销售价定为75元/件时，此产品一天获得的利润最大，最大利润为625元. 8．两边靠墙的一个区域，边界正好是半径为10米的圆的一部分，如图所示，现要设计一个长方形花坛，两边靠墙，并要求其不靠墙的顶点正好落在圆周上，求当长方形花坛的边长为多少米时，其面积（）有最大值，并求出最大值. 【答案】 【分析】根据长方形顶点落在圆周上和勾股定理，可以设出长宽，转化成二次函数求最值即可. 【详解】设长方形长为米，,宽为， 故， 令， 原式， 故当，即时， 有最大值，最大值为 9. 为了优化居住环境，某小区计划在空地上修建一个边长为8m的正方形花坛ABCD.如图，点E，F分别在AB，AD上，且.      (1)设，四边形BEFC的面积为，求S关于x的函数关系式； (2)若分别在和内种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是80元和70元；在四边形BEFC内种植草坪，每平方米的种植成本为60元.那么在这个花坛内种植花卉和草坪至少需要花费多少元? 【答案】(1)，. (2)4120元. 【分析】（1）由题意，表示出，进而表示出，再利用正方形的面积减掉和的面积，即可表示出四边形BEFC的面积为S关于x的函数关系式，并求出的取值范围； （2）根据题意，结合（1）的函数关系式，表示出需要花费的费用的解析式，利用二次函数的性质求出最少的费用即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，， 所以 即，. （2）在这个花坛内种植花卉和草坪需要费用： 因为， 故当时，在这个花坛内种植花卉和草坪所需的总费用最低，为4120元. 10．如图1，用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形，苗圃，已知，，，设，苗圃面积为. (1)求S关于函数关系式，并写出该函数定义域； (2)当x为何值时，苗围的面积最大?并求出最大面积. 【答案】(1)，定义域为. (2)时，面积取得最大值为 【分析】（1）在三角形中由余弦定理求出，再由周长得到，计算三角形和矩形面积之和即可，再由边长大于零列式求函数定义域. （2）配方法求二次函数最值及对应值即可. 【详解】（1） 连接EC，由于用长为18m的篱笆成五边形，已知，， 则由余弦定理得：， 所以，由于，则， 所以五边形ABCDE面积等于和矩形ABCE之和： ， ， 所以五边形ABCDE面积：， 由可得，则其定义域为. 所以. （2）， 当时，面积取得最大值为. $$