专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 2 模型2.定边对双直角共圆模型 10 模型3.定边对定角共圆模型 25 模型4.对角互补共圆模型 37 47 【知识储备】 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆模型是一种解题思想，但任何题目里都不会告诉你，亲爱的同学，请用四点共圆思想来解题吧。那么，我们头脑里，就要快速迭代平常积累的一些模型。 四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 例1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题命题思路是以等边外心为背景，进而得到，，，四点共圆，从而对角互补，利用旋转，可以转化四边形为一个规则的等边三角形，最后利用轴对称性可解决周长最小值的问题． 【详解】解：连接，；∵为的外心；∴； ∵正方形；∴；∴；∴是的外心；故正确．         对于，连接，；∵；∴不是的外心；故错误． 对于，连接；∴；∴，，，三点共圆；∴； ∵即；故正确． 对于，∵，∴，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，∴， ∵，∴，即 ∵，∴，∴，，三点共线； 由旋转的性质可得，，∴是等边三角形； ∵；过点作的垂线，垂足为；∴； ∵；在中，；∴； ∴；∵；∴；故正确．       对于，如下图所示；作EM和EN关于和的对称线段； ∴，；∴； 当，，，四点共线时，周长最小；即 连接，∴，连接；∴是等腰三角形； ∵，；∴； ∵；∴； ∴三角形是以为顶角的等腰三角形；过点作的垂线，垂足为， ∵；∴；在中；∴； ∴；即；故错误；综上所述，①③④正确；故选． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如等腰三角形三边之比为． 变式1．（2023·安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得四边形为的圆内接四边形，即可求解． 【详解】解∶∵O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等， ∴点A，B，C，D到点O的距离相等， ∴点A，B，C，D在以O为圆心的圆上，即四边形为的圆内接四边形， ∴．故选：D 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 变式2．（2023·湖北·三模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析； 【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明，即可根据解决问题； ②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题； 拓展延伸：如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形； 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴， ∴A、D、E、C四点共圆，∴， ∴，∴是等边三角形； 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 模型2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 例1．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【分析】（1）连接，根据为的中点，可得，，则，根据，，易得四点在同一个圆上，根据圆周角定理，则有；（2）过点分别作于点，作于点 ，易证，可得 ，即 ，根据，有， ，即；根据，得到 ，即，可得，即有 ，即． 【详解】解：（1）如图1，连接，∵为的中点，∴， ∴，∴， ∵，，∴四点在同一个圆上，∴；       （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ，则有： ， ∴，∴， ∵∴，∴，∵，，∴ 又∵，∴，则有 ，即． ∵，∴，即，∵，∴，即． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和，平角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 例2．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】设交于点F，过C作，用求出，即求出BC的长，又因为，从而求得AB． 【详解】如图，设交于点F，过C作， 在以为直径的圆上 ， ， 在和中 = ， 【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题能找到是解题的关键． 变式1．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°； （2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积； 【答案】（1）证明见解析；（2）①△APC的面积＝1；②． 【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得∠AEC＝∠ABC＝45°； （2）通过证明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性质可求CF＝1，即可求解； 【详解】证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC， ∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB， ∴点A，点B，点E，点C四点共圆，∴∠AEC＝∠ABC＝45°； （2）①如图2，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F， ∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE， ∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆， ∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝， ∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1， ∴△APC的面积＝×AP×CF＝1； 【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 变式2．（2023·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 【答案】 2 5+ 【分析】（1）延长DA，CB交于点H，由“ASA”可证≌，可得，由平行得相似，依据相似的性质即可求解；（2）先证明A，D，C，E四点共圆，因为F是AC中点，依据垂径定理，得到DF是AC的中垂线，依据线段的垂直平分线的性质可求得AD的长度，作于H，可证四边形ABCH是矩形，依据矩形的性质，结合线段长度，可得是的中垂线，由此可得AC的长度，在三角形ABC中，依据勾股定理可求得BC的长度，只需把各边相加即可得到四边形ABCD的周长. 【详解】解：（1）如图1中，延长DA，CB交于点H， ∵EA平分∠BED，∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°， ∴△ADE≌△AHE（ASA）∴AH＝AD， ∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABH∽△DCH, ∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，∴CD＝2， （2）如图2中，作AH⊥CD于H， ∵∠DAE＝∠DCE＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点， 又∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC， ∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1， ∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，又∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2， ∴，四边形ABCD的周长为． 故答案为：（1）2；（2）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造中垂线、相似三角形、直角三角形，建立未知线段与已知线段之间等量的关系． 模型3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴， ∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（23-24九年级·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于． (1)求证：A，，，四点共圆；(2)求证：为定值．    【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出为中点，求出，证明，得出为等腰三角形，得出，求出，即可证明结论； （2）先证明，再根据，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ，为等腰三角形，， 又∵，∴为中点，∴垂直平分， ，∴，， 又，为等腰三角形，，∴， ∴A，，，四点共圆；（若共底边的两个三角形的顶角相等，且在底边的同侧，则四点共圆） （2）证明：由（1）知：A，，，四点共圆，（同弧所对的圆周角相等） 又，为等腰三角形，∴， 又（公共角），，，． 【点睛】本题主要考查了四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判定，数形结合． 例2．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： 　；依据2：　 　． (2)如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　 　． 拓展探究：(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；(2)45°；(3)①见解析②8 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；（3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论；②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补； 依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆， 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）解：∵，∴点四点在同一个圆上，∴， ∵，∴，故答案为：45°； （3）①证明：∵，∴， ∵点与点关于的对称，∴，， ∴＝，，∴， ∴，∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接， ∵点与点关于的对称，∴， ∴，∴， ∵A，D，B，E四点共圆，∴， ∴，∴A，B，F，C四点共圆， ∴， ∵，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 变式1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵，∴， ∵，∴， ∴、、、四点共圆，∴； （2）解：∵，∴， ∵，平分，∴， ∴在中，， ∵，∴，， ∵、、、四点共圆，∴， ∴在中，，∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 变式2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】只要证明，得，求出、即可解决问题． 【详解】解：，， ，，，， ，，，， ，，， ，即，，， ，、、、四点共圆，，， ，，．故选：． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题． 模型4.对角互补共圆模型 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∵，∴ ∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（2024·广西柳州·二模）综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________； 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或 【分析】（1）根据已给推论过程证明即可； （2）①根据旋转的性质，证明，②分当时，当时，根据四点共圆、圆周角定理证明和相似，得到相应线段的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则，又∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上，∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：； （2）①证明：∵在中，，∴， 图3 图4 ∵，∴，∴，，，四点共圆，∴， ∵，∴，∴， ∵旋转得，∴，∴，∵，∴； ②如图，当时，∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，又∵，，， ∴，∴； 如图中，当时，过作交于， ∵，，∴，∵，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了直角所对的弦是直径，圆内接四边形对角互补，确定圆的条件，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 变式1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，D，E分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点A到点F的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】首先证明，，再证明，连接设，当时，点到点的值最小，证明A，D，F，E四点共圆，可得，，然后利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，证明，得，代入值即可求出的值． 【详解】解：是等边三角形，，， ，，， ， ，如图，连接设， 当时，点A到点F的值最小，，， ，，，， ，A，D，F，E四点共圆，，， ，，，，， ，，， ，，， ，，．故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，四点共圆，解决本题的关键是得到A，D，F，E四点共圆． 变式2．（2024九年级下·甘肃·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．(1)求证：D，E，Q，P四点共圆；(2)若，，，求弦的长度． 【答案】(1)见解析(2)6 【分析】本题考查同弧所对圆周角相等，四点共圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关定理并理解且能综合运用是关键．（1）连接，根据同弧所对圆周角相等可得，，由结合等腰三角形性质可证，最后得证即可；（2）先证明，根据相似三角形的性质求得，再证明，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ，，， ，，， ，，，，，四点共圆； （2）解：，，， 由（1）知，，， ，即，，由（1）可知， ，，，即，解得． 1．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了圆的判定和基本性质，根据圆的判定和基本性质判断即可． 【详解】∵点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等， ∴， 故点A，B，C，D都在以点O为圆心，为半径的圆上，且是直径， ∴， 故A正确； 四边形是圆的内接四边形， ∴， 故B正确； 根据同弧上的圆周角相等，得到， 故C正确； 作的平分线，交圆于点E， 则， 又， ∴， ∴， ∵， ∴． 故D错误， 故选D． 2．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图， 以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E）， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D）， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E）， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B）， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C）， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选D． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明在以为圆心，为半径的同圆上，把求转化为求． 【详解】以为圆心，为半径作，连接． 在格点上． 在上 又的直径是 点在上 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、四点共圆及三角函数的应用，解题的关键在于连接，证明点在以为圆心，为半径的同圆上． 4．（23-24九年级上·江苏·期中）如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断①； 由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断②； 根据对角互补，进而判断③； 由△APB∽△NAB得，再结合△PAM∽△PBC便可判断④． 【详解】解：∵AP⊥BN， ∴∠PAM+∠PBA＝90°， ∵∠PBA+∠PBC＝90°， ∴∠PAM＝∠PBC， ∵∠PMA＝∠PCB， ∴△PAM∽△PBC， 故①正确； ∵△PAM∽△PBC， ∴∠APM＝∠BPC， ∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC， 故②正确； ∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°， ∴B、C、P、M四点共圆， ∴∠MPB＝∠MCB， 故③正确； ∵AP⊥BN， ∴∠APN＝∠APB＝90°， ∴∠PAN+∠ANB＝90°， ∵∠ANB+∠ABN＝90°， ∴∠PAN＝∠ABN， ∵∠APN＝∠BPA＝90°， ∴△PAN∽△PBA， ∴， ∵△PAM∽△PBC， ∴， ∴， ∵AB＝BC， ∴AM＝AN， 故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM⊥PC是解题的关键． 5．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ． 【答案】 【分析】根据图形的特点证明∠BDC=∠BAO，故可出sin∠BDC的值． 【详解】∵BA⊥AD，BC⊥CD ∴∠BAD=∠BCD=90° ∴A、B、C、D四点共圆 ∴∠BDA=∠BCA ∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90° ∴∠DBA=∠CBO ∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA 即∠DBC=∠ABO 又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90° ∴∠BDC=∠BAO ∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4）， ∴BO=4，OA=3，AB= ∴sin∠BAO= ∴sin∠BDC= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法． 6．（2024·湖北·二模）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    【答案】102.5° 【分析】先根据旋转的性质得到，，得到点A、N、F、C共圆，再利用，根据平角的性质即可得到答案； 【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，    根据旋转的性质得到： AC=AF，，，， ∴点A、N、F、C共圆， ∴， 又∵点A、N、F、C共圆， ∴， ∴（平角的性质）， 故答案为：102.5° 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键； 7．（23-24·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___． 【答案】     ；  【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到、、在以为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：连接， 、分别是、的中垂线，， 、、在以为圆心，为半径的圆上， ，， ，，，， ，， 又， ．故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到、、在以为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 8．（23-24·广东·东莞市九年级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________ 【答案】## 【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长． 【详解】解：如图，作AH⊥BC于H， ∵AB=2，AC=，∠ABC=60°，∴BH=AB=1， ∴AH=，CH=， ∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，BC=CH+BH=+1， 在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O， ∵∠ADB=30°，∴点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小， 最小值为4-（+1）=3-．故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动． 9．（23-24·广西·九年级专题练习）如图所示，，，则___． 【答案】##36度 【分析】先根据确定、、三点在以点A为圆心，以为半径的圆上，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：，、、三点在以点A为圆心，以为半径的圆上． ，．故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是确定、、三点在以点A为圆心，以为半径的圆上． 10．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．    【答案】 【分析】首先连接，由，易得点，，，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数． 【详解】解：连接，    ∵，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆， ∵，∴． ∴点E在量角器上运动路径长，故答案为：2π． 【点睛】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 11．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】连接与，与相交于点O，可知点五点共圆，从而得到，又易知在中，，，从而得到，从而得解． 【详解】解：连接与，与相交于点O，连接，    ∵四边形形是矩形，∴，，O是的中点，， 又∵于E，即是直角三角形， ∴，∴，∴点五点共圆，作出这个圆如图所示：    则有，由旋转的性质可知：， 又∵，，∴，在中，，， ∴，∴．故答案为：30． 【点睛】本题考查隐圆问题，根据题意找出这个隐圆，从而得到是解题的关键． 12．（2022·浙江九年级课时练习）如图所示，在平行四边形中，点为，的垂直平分线的交点，若，求. 【答案】 【分析】由点为，的垂直平分线的交点知，，所以，，在以为圆心，为半径的圆上，由圆的性质知，再由平行四边形的性质，问题得解. 【详解】连结，∵点为，的垂直平分线的交点 ∴，∴，，在以为圆心，为半径的圆上， 作出辅助圆，由圆的性质知， 又平行四边形中， ∴ 【点睛】作辅助圆，可以将直线型问题转化为曲线型问题，为我们解决问题时提供更开阔思路，更简捷的方法. 13．（2024·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），，将绕点P旋转，得到． (1)求B、C两点的坐标；(2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点M的坐标；(3)动直线l从与重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与重合时停止，设直线l与交点为E，点Q为的中点，过点E作于G，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，(2)图见解析，四边形是矩形，点M的坐标为 (3)在旋转过程中的大小不变，始终等于 【分析】（1）连接，结合题意，根据圆的对称性，得；再根据勾股定理计算得，再根据圆的性质，得，从而得到B、C两点的坐标； （2）结合题意，根据圆周角的性质，得；再根据旋转的性质得，，，从而推导得出四边形是矩形；过点M作交BC于点N，证明，可得点M的坐标；（3）结合题意，得；再结合点Q是的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得，从而推导得点E、M、B、G在以点Q为圆心、为半径的圆上，故得；再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． 由题意知，是以点为圆心的圆的直径，，， ，，，， 又，B在C的左侧，，； （2）解：如图，四边形是矩形， 以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧）， 是圆的直径，，将绕点P旋转得到， ，，，四边形是矩形． 过点M作交BC于点N． 在和中，，， ，，又，点M的坐标为； （3）解：如图， 结合（2）的结论，四边形是矩形，， ，，， 点Q是的中点，， 点E、M、B、G在以点Q为圆心、QB为半径的圆上，． ，，， 又，， 四边形是矩形，，， ．在旋转过程中的大小不变，始终等于． 【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本知识，垂径定理，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，逐步推导论证． 14．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）在和中，，，，用这两个直角三角形研究图形的变换． 【翻折】(1)如图1，将沿线段翻折，连接，下列对所得四边形的说法正确的是___．①平分、，②、互相平分，③，④、、、四点共圆． 【平移】(2)如图2，将沿线段向右平移，使点移到的中点，连接、、，请猜想四边形的形状，并说明理由． 【旋转】(3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，使，连接、，则旋转角为______°，______cm． 【答案】(1)①③④(2)四边形是菱形，理由见解析(3)， 【分析】（1）根据翻折的性质可得结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可证明结论； （3）根据平行线的性质可得，从而可求出旋转角；由旋转的性质可得，得出，过点C作于点P，求出的长即可得出结论． 【详解】（1）由翻折可得：， ∴平分、，故①正确；∴, ∵∴垂直平分，故②错误；如图， ，故③正确； 取的中点O，连接,∵均为直角三角形， ∴，∴、、、四点共圆，故④正确，故答案为：①③④； （2）∵沿线段向左平移，∴，． ∵是直角三角形，是的中点，∴．∴ ∵，∴四边形是平行四边形． ∵，∴四边形是菱形． （3）∵，∴, 又，∴， 即旋转角的度数为；由旋转得：， 又，∴ 过点C作于点P，如图， ∴∵,∴ ∴由勾股定理得，， ∴故答案为：， 【点睛】本题主要考查了图形的翻折，平移的性质，旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四点共圆以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15．（2023·广东九年级课时练习）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF， 则（依据1）， ∴E，F，P，C四点共圆． ∴（依据2）． 又∵， ∴． ∵， ∴B，D，P，E四点共圆． ∴（依据3）． ∵， ∴（依据4）． ∴点D，E，F在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______； ③依据3指的是______；④依据4指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性． 【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换(2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等进行求解即可；（2）如图，连接PA，PB，PC，只需要证明即可证明结论． 【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换； （2）证明：如图，连接PA，PB，PC． ∵点P是的中点，∴．∴，． 又∵，，∴．∴（HL）．∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质与判定，弧，弦，圆周角的关系，同弧或等弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线和熟知相关知识是解题的关键． 16．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求证：BE＝CD； （2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜＜90°时加以证明） （3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2﹣ 【分析】（1）根据题中各角之间的关系可得：，依据三角形全等的判定定理可证，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1）中全等三角形的性质可得：，利用等腰直角三角形的性质得出：，得出点C，点B，点A，点F四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得：，，再由四边形内角和及各角之间的等量关系即可得出结论； （3）由点F在以BC为直径的圆上运动，可得点Q，点F，点G三点共线时，QF有最小值，由勾股定理及三角形中位线定理可得：，，再由勾股定理及各线段之间的数量关系即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在△BAE与△CAD中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴ ∴点C，点B，点A，点F四点共圆，如图所示： ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如（2）图所示，过点G作GH⊥AB于H， ∵点C，点B，点A，点F四点共圆， ∴点F在以BC为直径的圆上运动， ∴点Q，点F，点G三点共线时，QF有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴QF的最小值为． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理及性质，圆周角定理，勾股定理，线段间距离最短问题，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 17．（2024·内蒙古·三模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接． ①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长． 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；② 【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明，即可根据解决问题； ②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题； 拓展延伸：①如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形； ②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ②解：结论：． 理由：如图中，作于． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴； 拓展延伸：①证明：如图3中，连接， ∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E、C关于对称， ∴， ∴A、D、E、C四点共圆， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②解：作于H，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 18．（2023春·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，，，，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的交BC于点F． 【操作与发现】当E运动到处，利用直尺与规作出点E与点F；保留作图痕迹 在的条件下，证明：． 【探索与证明】点E运动到任何一个位置时，求证：； 【延伸与应用】点E在运动的过程中求EF的最小值． 【答案】作图见解析；证明见解析；证明见解析； EF最小值为. 【分析】当，此时AC是的直径，作出AC的中点O后，以OA为半径作出即可作出点E、F； 易知AC为直径，则，，从而得证； 如图，作，，若E在DN之间，由可知，，然后再证明∽，从而可知，若E在CN之间时，同理可证； 由于A、F、C、E四点共圆，所以，由于四边形ABCD为平行四边形，，从而可证为等腰直角三角形，所以，由于，所以E与N重合时，FE最小． 【详解】如图1所示， 如图，易知AC为直径，则， 则， ， 如图，作，，若E在DN之间 由可知， 、F、C、E四点共圆， ， ， ， ， ∽ ， 若E在CN之间时，同理可证 、F、C、E四点共圆， ， 四边形ABCD为平行四边形，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 与N重合时，FE最小， 此时， 在中，，则 由勾股定理可知： 此时EF最小值为. 【点睛】考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，尺规作图等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 2 模型2.定边对双直角共圆模型 10 模型3.定边对定角共圆模型 25 模型4.对角互补共圆模型 37 47 【知识储备】 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆模型是一种解题思想，但任何题目里都不会告诉你，亲爱的同学，请用四点共圆思想来解题吧。那么，我们头脑里，就要快速迭代平常积累的一些模型。 四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 例1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 变式1．（2023·安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·湖北·三模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 例1．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    例2．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ． 变式1．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°； （2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积； 变式2．（2023·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ． 模型3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴， ∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（23-24九年级·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于． (1)求证：A，，，四点共圆；(2)求证：为定值．    例2．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： 　；依据2：　 　． (2)如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　 　． 拓展探究：(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 变式1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    变式2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（    ） A．1 B． C． D． 模型4.对角互补共圆模型 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∵，∴ ∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（2024·广西柳州·二模）综合与实践：小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________； 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长． 变式1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，D，E分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点A到点F的最小值为 ． 变式2．（2024九年级下·甘肃·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．(1)求证：D，E，Q，P四点共圆；(2)若，，，求弦的长度． 1．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．若，则 2．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏·期中）如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ． 6．（2024·湖北·二模）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    7．（23-24·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___． 8．（23-24·广东·东莞市九年级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________ 9．（23-24·广西·九年级专题练习）如图所示，，，则___． 10．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．    11．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．    12．（2022·浙江九年级课时练习）如图所示，在平行四边形中，点为，的垂直平分线的交点，若，求. 13．（2024·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），，将绕点P旋转，得到． (1)求B、C两点的坐标；(2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点M的坐标；(3)动直线l从与重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与重合时停止，设直线l与交点为E，点Q为的中点，过点E作于G，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 14．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）在和中，，，，用这两个直角三角形研究图形的变换． 【翻折】(1)如图1，将沿线段翻折，连接，下列对所得四边形的说法正确的是___．①平分、，②、互相平分，③，④、、、四点共圆． 【平移】(2)如图2，将沿线段向右平移，使点移到的中点，连接、、，请猜想四边形的形状，并说明理由． 【旋转】(3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，使，连接、，则旋转角为______°，______cm． 15．（2023·广东九年级课时练习）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF， 则（依据1）， ∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）． 又∵，∴． ∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）． ∵，∴（依据4）． ∴点D，E，F在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______； ③依据3指的是______；④依据4指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性． 16．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求证：BE＝CD； （2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜＜90°时加以证明） （3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值． 17．（2024·内蒙古·三模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接． ①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长． 18．（2023春·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，，，，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的交BC于点F． 【操作与发现】当E运动到处，利用直尺与规作出点E与点F；保留作图痕迹 在的条件下，证明：． 【探索与证明】点E运动到任何一个位置时，求证：； 【延伸与应用】点E在运动的过程中求EF的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$