6.4.3.1余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4.3.1 余弦定理 1 余弦定理 我们知道，两边和它们的夹角相等的两个三角形全等，即SAS. 这说明，当给定两边及其夹角时，那么此时三角形是唯一确定的. 这代表着三角形的第三边可以通过给定的这两边和其夹角来表示. 余弦定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍， 同理得： 题型一：余弦定理的应用 ①知“两边及一角”解三角形 例1　(2)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°，则BC的长为(　　) A． B． C．3 D． 变式：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则边a等于(　　) A . B． C． D．2 D C 余弦定理变形 同理可得： 利用三角形三边可求三角形各角 由此可发现，若三角形有一个角为直角，例如角C为直角， 那么由余弦定理可得，a2+b2-c2 = 0，即勾股定理. 余弦定理变形 同理可得： 利用三角形三边可求三角形各角 判断三角形形状：若A是△ABC的最大角 题型一：余弦定理的应用 ②知“三边”解三角形 题型一：余弦定理的应用 ②知“三边”解三角形 针对训练　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＝b2＋c2＋bc，则角A为(　　) A．30° B．150° C．120° D．90° (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，则角A的大小为________． C 60° 题型二：判断三角形形状 例3：已知三角形三边长分别是4,6,8，则该三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不构成三角形 C 变式：已知三角形的两边长为12,13，第三边长是方程x2-6x+5=0的根,判断三角形的形状 ①通过求角判断形状 题型二：判断三角形形状 ②通过公式变形判断形状 题型二：判断三角形形状 ②通过公式变形判断形状 练习　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin B cos C．试判断△ABC的形状． 解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以a2＝b2＋c2－bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以cos A＝. 又因为0°<A<180°，所以A＝60°. 题型二：判断三角形形状 ②通过公式变形判断形状 练习　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin B cos C．试判断△ABC的形状． 因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 且sin A＝2sin B cos C， 所以sin B cos C＝cos B sin C，即sin (B－C)＝0. 因为－180°<B－C<180°，所以B－C＝0°，即B＝C. 又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°， 即B＝C＝60°， 故△ABC为等边三角形． 知识总结 余弦定理： 可以解决的三角形问题： （1）知三边； （2）知两边和夹角 反馈练习 40 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin 2＝，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 B 反馈练习 D 反馈练习 ∵2cos(A+B)=1 反馈练习 本质上还是“三边及一角” 1. 三角形的一边长为14，这条边所对的角为 ， 另两边之比为8：5，则这个三角形的周长为 。 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq \f(7,9)，求a，c的值； $$