5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 作者编号:32101 学习目标 1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系,会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象. 2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题. 作者编号:32101 情境引入 学习函数后都会研究函数的图象,那么三角函数的图象是什么样的呢? 根据三角函数的定义,需要绘制正弦函数在整个定义域上的图象吗?选择哪个区间即可呢? 根据三角函数的定义,单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置,这一现象可以用(公式1)其中来表示. 这说明,自变量每增加(减少),正弦函数值、余弦函数值将重复出现. 作者编号:32101 新课讲授 在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆,与x正半轴的交点为A(1,0), 在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B的纵坐标y0=sin x0, 由此,以x0为横坐标,y0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x0,sin x0). 正弦函数:y=sin x :∠x0与单位圆交点的纵坐标即函数值sin x0 0 y x 如此,我们如何寻找剩下的其他点? 作者编号:32101 若把x轴上从0到2 这一段分成12等份,使x0的值分别为0,,,,…,2 ,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,再按上述画点T(x0,sin x0)的方法,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点. 0 y x 作者编号:32101 事实上,利用信息技术,可将x0在y=sin x在[0,2]上取到足够多的值而画出足够多的点,将这些点用光滑的曲线连接起来,可以得到比较精确的函数y=sin x在[0,2]上的图象. 作者编号:32101 根据函数y=sin x,x∈[0,2]的图象,你能想象函数y=sin x,x∈R的图象吗? x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 正弦曲线 y x o 1 -1 y=sinx x [0,2 ] sin(x+2k )=sinx, k Z y=sinx x R 正弦函数y=sinx, x R的图象叫正弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 作者编号:32101 思考:在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点? y x o 1 -1 在确定图象形状时起关键作用,描出这五个点,函数y=sin x,x∈[0,2]的图象形状就基本确定了. 因此在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 作者编号:32101 归纳总结 利用列表描点连线画正弦函数图像(五点作图) 五个关键点: 与x轴的交点 图像的最高点 图像的最低点 简图作法(五点作图法) ① 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) ②描点(定出五个关键点) ③连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) 作者编号:32101 解:列表: x 0 2 sin x 0 1 0 -1 0 1-2sin x 1 -1 1 3 1 例1 用“五点法”作函数y=1-2sin x,x∈[0,2 ]的图象. 描点连线,画图如下. 作者编号:32101 练1.函数y=sin(-x),x∈[0,2 ]的简图是( ) B 作者编号:32101 思考:设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象,那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数,你可以根据哪个公式完成这个转化? 即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个单位长度而得到. 作者编号:32101 如何由正弦函数图像得到余弦函数图像? x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 余弦函数的图象 正弦函数的图象 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 y=cosx=sin(x+ ), x R 余弦曲线 (0,1) ( ,0) ( ,-1) ( ,0) ( 2 ,1) 正弦曲线 形状完全一样只是位置不同 向左平移个单位长度 作者编号:32101 1 -1 x y o 余弦函数的“五点画图法” 五点法的规律是:横轴五点排均匀,上下顶点圆滑行; 上凸下凹形相似, 游走酷似波浪行. x cosx 0 1 -1 0 1 y=cosx,x [0, 2 ] 作者编号:32101 练2.画出函数y= - cosx,x [0, 2 ]的简图. x cosx - cosx 0 2 1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 y x o 1 -1 y= - cosx,x [0, 2 ] y=cosx,x [0, 2 ] 这两个图像关于x轴对称. 作者编号:32101 例2 利用正弦曲线,求满足<sin x≤的x的范围. 解:首先作出y=sin x在[0,2 ]上的简图与直线y=,y=的图象, 根据特殊角的正弦值可知,y=与y=sin x,x∈[0,2 ]的图象的交点的横坐标为和, y=与y=sin x,x∈[0,2 ]的图象的 交点的横坐标为和, 所以<sin x≤的解集是x∈(2k +,2k +]∪[2k +,2k +),k∈Z. 作者编号:32101 练3.求下列函数的定义域. 解:(1)要使函数有意义,需满足2cos2x+sin x-1≥0,即2sin2x-sin x-1≤0, 解得≤sin x≤1, 由正弦函数的图象可得{x|2k -≤x≤2k +,k∈Z}. (2)由题意有x满足不等式组,即, 作出y=cos x的图象, 结合图象可知x∈[-5,)∪(,)∪(,5]. 作者编号:32101 例3 方程lg x=sin x的解的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 D 解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=lg x与y=sin x,x>0的图象, 所以函数图象有三个交点,故方程有三个解. 作者编号:32101 练4.方程x2-cos x=0的实数解的个数是_,所有的实数解的和为_. 2 0 解析:作出函数y=cos x与y=x2的图象,如图所示,由图象可知,两函数图象有两个交点,故方程实数解的个数是两个; 两个交点关于y轴对称,故原方程有两个实数解,且两个实数解之和为0. 作者编号:32101 课堂总结 1. 正弦曲线、余弦曲线作法 几何作图法 描点法(五点法) 图象变换法 y x o 1 -1 y=sinx,x [0, 2 ] y=cosx,x [0, 2 ] 2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系 作者编号:32101 当堂检测 1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2 ]与y=sin x,x∈[2 ,4 ]的图象( ) A.重合 B.形状相同,位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同 2.函数y=sin x,x∈[0,2 ]的图象与函数y=1的图象的交点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 D A 作者编号:32101 当堂检测 3.(多选题)满足不等式sin x≥cos x,x∈[0,2 ]的x的值可以是( ) A A.7 B.8 C.6 D.5 BCD 作者编号:32101 (2)f(x)=lg cos x+. (1)f(x)=; lg<1,sin=1,lg>1,sin=1, A. B. C. D. 4.方程sin x=的根的个数是( ) $$