第04讲 二项式定理（4考点6题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第04讲 二项式定理 课程标准 学习目标 1 理解二项式定理； 2 能利用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 3 掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项． 1. 理解二项式定理的定义和它在代数中的重要性； 2. 理解二项式定理如何将二项式的幂展开式为多项式； 3. 能够清晰、准确地表达二项式定理的概念、公式和解题过程． 知识点一、二项式的定理和通项公式 1、二项式定理：公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理 2、二项式定理通项公式：Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项 知识点二、二项式系数和系数 1、 二项式系数：二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数 2、项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr 知识点三、二项式系数的性质 ①对称性： ②最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大，即；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大，即. ③各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 知识点四、赋值法在各项系数中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 题型01 二项式系数和项的系数 1.的展开式中的常数项为（   ） A．45 B．55 C．105 D．75 2.已知的展开式中，常数项为60，则的值为（    ） A．2 B．2， C．3 D．3， 3.的二项展开式中的系数为 ． 4.在的展开式中，常数项为 . 5.若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 . 6.若的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．160 C． D．1120 7.的展开式中，第项的二项式系数比第项的二项式系数大，则展开式中的常数项是第____项． 题型02 二项式系数和和系数和 1.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 2.已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（   ） A．-1 B．1 C．64 D． 3.已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.已知展开式中含的系数为30，则（    ） A．二项式系数之和为64 B． C．展开式中不存在常数项 D．展开式中所有项的系数和是729 5.设，则（    ） A． B． C． D． 6.（多选）若，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 7.若，其中. (1)求的值； (2)求. 题型03 二项式系数或展开式系数的最值问题 1.的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 2.已知的展开式的第2项系数的绝对值等于第3项系数的绝对值的3倍，则展开式中的二项式系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3.（多选）已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．二项式系数最大的项是第4项 C．展开式的常数项为540 D．展开式含有 4.（多选）在的展开式中（    ） A．所有系数的绝对值之和为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 5.已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 题型04 两个二项式之积展开式中的特定项或特定系数 1.的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 2.已知的展开式中，常数项为，则（    ） A． B．2 C． D．1 3.已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 4.当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：    若在的展开式中，的系数为，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型05 三项展开式的特定项或特定系数 1.的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 2.的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 3.的展开式中项的系数为 ． 4.的展开式中的系数为 ． 题型06 二项式定理的应用 1.已知，若，，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．12 2.十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 3.“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ． 1.若，则（    ） A．180 B． C． D．90 2.若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，则等于（    ） A．1 B．121 C． D．243 4.（多选）下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40 B．第4项的二项式系数为10 C．不含常数项 D．系数和为32 5.（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 6.（多选）已知二项式的展开式，则（    ） A．二项式系数最大的项为第3项 B．常数项为第5项 C．展开式中含的项为 D．展开式中所有项的系数和为64 7.在的展开式中，的系数是 ． 8．在的展开式中，常数项是 . 9.的展开式中的系数为 （用数字作答）． 10.已知展开式中各二项式系数的和为128，则 ；若，则 . 11.的展开式中，各项系数之和为 ，项的系数为 . 12.设为虚数单位，则的展开式中，项的系数为： （结果用复数表示）. 13.已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为． (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二项式定理 课程标准 学习目标 1 理解二项式定理； 2 能利用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 3 掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项． 1. 理解二项式定理的定义和它在代数中的重要性； 2. 理解二项式定理如何将二项式的幂展开式为多项式； 3. 能够清晰、准确地表达二项式定理的概念、公式和解题过程． 知识点一、二项式的定理和通项公式 1、二项式定理：公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理 2、二项式定理通项公式：Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项 知识点二、二项式系数和系数 1、 二项式系数：二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数 2、项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr 知识点三、二项式系数的性质 ①对称性： ②最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大，即；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大，即. ③各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 知识点四、赋值法在各项系数中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 题型01 二项式系数和项的系数 1.的展开式中的常数项为（   ） A．45 B．55 C．105 D．75 【答案】C 【详解】由二项式定理可得展开式中含的项为， 所以的展开式中的常数项为. 故选：C. 2.已知的展开式中，常数项为60，则的值为（    ） A．2 B．2， C．3 D．3， 【答案】B 【详解】展开式的通项为， 令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 则，. 故选：B. 3.的二项展开式中的系数为 ． 【答案】 【详解】二项式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：6. 4.在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【详解】的展开式的通项， 令，解得，故常数项为. 故答案为：. 5.若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 . 【答案】 【详解】, 又， 故， 可由分别提供得到，或者提供得到，或者提供得到，故项的系数为为， 故，即， 要使最大，则需为正数， 因此，故，当且仅当时取等号， 故答案为： 6.若的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．160 C． D．1120 【答案】A 【分析】根据第项和第项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项，令即可求得常数项 【详解】因为展开式中的第项和第项的二项式系数相等， ，解得：， 展开式通项公式为：， 令，解得：，该展开式中的常数项为, 故选：A 7.的展开式中，第项的二项式系数比第项的二项式系数大，则展开式中的常数项是第____项． 【答案】 【详解】由题意可得，即， ，解得， 的展开式通项为， 由，可得，因此，展开式中的常数项是第项. 故答案为：. 题型02 二项式系数和和系数和 1.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【答案】 【详解】因为的二项展开式中，各项系数和为32， 所以令，可得，即，解得， 所以的展开式通项公式为，令，则， 所以，所以项的系数为． 故答案为：． 2.已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（   ） A．-1 B．1 C．64 D． 【答案】B 【详解】由题意，注意到是正整数，所以解得， 则展开式所有项系数和是. 故选：B. 3.已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】令，则，所以, 所以，，所以； 故选：B. 4.已知展开式中含的系数为30，则（    ） A．二项式系数之和为64 B． C．展开式中不存在常数项 D．展开式中所有项的系数和是729 【答案】A 【详解】由二项式展开式可知第项为 当时得，由题可知，故B错误； 二项式系数之和为，故A正确； 当时得，所以存在常数项，选项C错误； 二项式为或 令得或 故选项D错误. 故选：A 5.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 易知皆为负值，皆为正值， 令，则， 故． 故选：C 6.（多选）若，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A.令，得，故A正确； B.，令 令展开式中的，得，故B错误； C.令展开式中的，得， 所以，故C正确； D.展开式的两边求导，得， 令，得，故D正确. 故选：ACD 7.若，其中. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 依题意，，解得， 所以的值为. （2）由（1）知，， 令，得， 令，得， 则 所以. 题型03 二项式系数或展开式系数的最值问题 1.的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【答案】B 【详解】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 2.已知的展开式的第2项系数的绝对值等于第3项系数的绝对值的3倍，则展开式中的二项式系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】的展开式的通项为， 依题意可知，解得， 所以展开式中的二项式系数最大的项为和． 故选：C. 3.（多选）已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．二项式系数最大的项是第4项 C．展开式的常数项为540 D．展开式含有 【答案】BC 【详解】由于二项式的展开式中各项系数之和是， 所以令，则，所以， 所以二项式，所以展开后有项，故A错误； 二项式系数最大的项是第4项，故B正确； 二项式展开式的通项公式为， 所以当时，常数项为，故C正确； 当时，解得不是整数，所以展开式不含有项，故D错误. 故选：BC 4.（多选）在的展开式中（    ） A．所有系数的绝对值之和为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 【答案】BCD 【详解】对于A：在的展开式中所有系数的绝对值之和 与的展开式中所有系数的和相等， 故令，可知展开式的系数之和为，故A错误； 对于B：因为的展开式的通项公式 ，， 令，解得，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当为偶数时，；当为奇数时，； 取为偶数，令，则， 整理得，解得， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则，所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 5.已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)1 (2)15 (3) 【详解】（1）由可得， 令可得， 所以展开式中所有项的系数之和为1； （2）若，则，解得，或舍去， 设的通项为， 且， 所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项； （3）设的通项为， 且， 最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为． 题型04 两个二项式之积展开式中的特定项或特定系数 1.的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 且的展开式为， 令，解得，可得； 令，解得，不合题意； 所以项的系数为. 故选：B. 2.已知的展开式中，常数项为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由题意，的通项公式为， 令，则， 令，则不符合题意， 所以的常数项为， 解得． 故选：. 3.已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【详解】中令得，解得， 展开式通项公式为，， 当时，，当时，， 故展开式中的系数为. 故选：C 4.当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：    若在的展开式中，的系数为，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由广义杨辉三角，得， 因此的展开式中，项为， 所以，即. 故选：B 题型05 三项展开式的特定项或特定系数 1.的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 【答案】D 【详解】由于，则其展开式的通项为，， 令，则，所以项的系数为． 故选：D 2.的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【答案】A 【详解】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 3.的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【详解】由题意知的通项为， 化简得，令，得， 即.则的系数为. 故答案为：. 4.的展开式中的系数为 ． 【答案】 【详解】在的展开式中， 由， 得的系数为. 故答案为：． 题型06 二项式定理的应用 1.已知，若，，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【详解】∵ ∴， ∵，，， ∴ 故选：A 2.十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】， 且能被整除， 而， ， 被除的余数为， 用七进制表示十进制的，其个位数是. 故选：A. 3.“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为 ． 【答案】 【详解】设， 则位四进制数转换为十进制为 ， 若这个数能被3整除，则能被整除． 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由组成时，有个． 因为由，，组成的位四进制数共有个， 所以能被整除的概率． 故答案为：. 1.若，则（    ） A．180 B． C． D．90 【答案】A 【详解】易知， 其中展开式中含项为， 因此. 故选：A 2.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，则， 令，则， 则. 故选：D. 3.已知，则等于（    ） A．1 B．121 C． D．243 【答案】D 【详解】， ， 令，得， ． 故选：D． 4.（多选）下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40 B．第4项的二项式系数为10 C．不含常数项 D．系数和为32 【答案】BC 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以第3项的系数为，故A错误； 第4项的二项式系数为，故B正确； 令，解得，又，所以展开式不含常数项，故C正确； 令可得系数和为，故D错误. 故选：BC 5.（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，则，因此A正确； 取，则，即，因此B不正确； 取，则，即①，因此C正确； 取，则，即②， ①②得，因此D不正确； 故选：AC. 6.（多选）已知二项式的展开式，则（    ） A．二项式系数最大的项为第3项 B．常数项为第5项 C．展开式中含的项为 D．展开式中所有项的系数和为64 【答案】BC 【详解】由于，故二项式系数最大为，为第4项，故A错误， 的展开式的通项为，令，解得，故常数项为第5项，B正确， 令，则，故含的项为，故C正确， 在中，令，得，故D错误， 故选：BC 7.在的展开式中，的系数是 ． 【答案】160 【详解】由的展开式的通项为， 令，解得，所以的系数是. 故答案为：160. 8．在的展开式中，常数项是 . 【答案】15 【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 9.的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 故的展开式中的系数为. 故答案为： 10.已知展开式中各二项式系数的和为128，则 ；若，则 . 【答案】 7 2186 【详解】由，可得. 令，得，令，得，所以. 故答案为：；. 11.的展开式中，各项系数之和为 ，项的系数为 . 【答案】 0 【详解】令，得，即各项系数之和为， 又， 其中展开式的通项为，， 所以含的项为，即项的系数为. 故答案为：； 12.设为虚数单位，则的展开式中，项的系数为： （结果用复数表示）. 【答案】 【详解】将的次数分成5份，符合题意的有：0，0，1，1，1和0，0，0，1，2两种， ， ，故系数为：. 故答案为： 13.已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为． (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第项与第项的二项式系数之比为，可得，即，解得（负值舍）， 所以，令，得，所以展开式的常数项为. （2）解：设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$