第03讲 组合问题（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第03讲 组合问题 课程标准 学习目标 1 理解组合的基本概念； 2 掌握组合计数的各种方法和技巧； 3 提高学生分享问题和初步解决某些实际问题的能力． 1. 理解组合的基本概念； 2. 能够学习并应用不同的组合计数方法； 3. 能够讲组合数学的原理和方法应用到解决实际问题中． 知识点一、组合与组合公式 1、组合概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2、组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C 3.组合数公式 或：（，）. 规定：；C＝C；C＋C＝C. 知识点二、组合做题方法 1、对不同元素的分配问题（平均分组、部分平均分组） (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 2、隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 题型01 组合数和组合公式 1.（   ） A．24 B．60 C．48 D．72 2．若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 3.（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 4．若，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．可表示为（    ） A． B． C． D． 题型02 有限制条件的组合 1.某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 2.某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 3.如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（    ） A．68种 B．136种 C．272种 D．544种 4.（多选）某城市街道如图，某人要走最短路程从地前往地，则不同走法有（    ）    A．种 B．种 C．种 D．种 5.从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 题型03 分组分配问题 1.2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．24种 2.暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 3.大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 4.（多选）下列说法正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法； C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法． 5.结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (4)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 题型04 组合的综合问题 1.马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（    ） A．12 B．18 C．21 D．24 2.（多选）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301 3.从10个人中选出7人围成一圈做游戏，则不同的排法种数有 种． 4.为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 5.（1）用这10个数字，可以组成多少个三位数？（用数字作答） （2）用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（用数字作答） （3）用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（用数字作答） （4）用这10个数字，可以组成多少个三个数位上既有偶数也有奇数的没有重复数字的三位数？（用数字作答） 1.化简：= （    ） A． B． C． D． 2.某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（    ） A．15 B．20 C．10 D．30 3.（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4.（多选）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 5.（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 6.利用组合数的性质进行计算（结果保留数字的形式）： （1）已知，则 ； （2） ． 7.如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条． 8.小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 9．现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 10．某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序，其中3个产品来自A公司，2个产品来自B公司，1个产品来自C公司． (1)求B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数; (2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 组合问题 课程标准 学习目标 1 理解组合的基本概念； 2 掌握组合计数的各种方法和技巧； 3 提高学生分享问题和初步解决某些实际问题的能力． 1. 理解组合的基本概念； 2. 能够学习并应用不同的组合计数方法； 3. 能够讲组合数学的原理和方法应用到解决实际问题中． 知识点一、组合与组合公式 1、组合概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2、组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C 3.组合数公式 或：（，）. 规定：；C＝C；C＋C＝C. 知识点二、组合做题方法 1、对不同元素的分配问题（平均分组、部分平均分组） (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 2、隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 题型01 组合数和组合公式 1.（   ） A．24 B．60 C．48 D．72 【答案】A 【详解】, 故选：A 2．若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【答案】D 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：D. 3.（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 【答案】A 【详解】． 故选：A 4．若，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】由，所以，可得，解得， 所以． 故选：C. 5．可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 题型02 有限制条件的组合 1.某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【详解】若恰有1名女生参加，则有种， 若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式． 故选：C. 2.某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 3.如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（    ） A．68种 B．136种 C．272种 D．544种 【答案】C 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①甲乙放在同一排，有种放法， ②甲乙不放在同一排，有种放法， 则有种不同的放法． 故选：C． 4.（多选）某城市街道如图，某人要走最短路程从地前往地，则不同走法有（    ）    A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】AB 【详解】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出： ①要走的路程最短必须走5步，且不能重复； ②向东的走法定出后，向南的走法随之确定， 所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可， 故不同走法的种数有种． 故选：AB 5.从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 【答案】(1)5400 (2)13440 (3)4620 【详解】（1）由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生， ①有4个女生的选法有：种； ②有3个女生的选法有：种； 不同的安排方法种数有种． （2）因为女生甲不担任物理课代表，从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除物理课代表， 再从剩下的8个人中选其余4科课代表，所以不同的安排种数有种； （3）因为女生乙人选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表， ①男生甲入选的选法有：种； ②男生甲不入选的选法有：种； 所以不同的安排方法种数有种． 题型03 分组分配问题 1.2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．24种 【答案】D 【详解】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成： 第一步，先从四人中任选三人，有种方法； 第二步再选这三人所在的区域，有种方法； 第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有种方法. 由分步乘法计数原理，共有种方法. 故选：D. 2.暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 【答案】D 【详解】因为甲没有选景点，所以甲有种选法， 其余5名学生可以选3个景点或4个景点. 当其余5名学生选3个景点时，有种选法； 当其余5名学生选4个景点时，有种选法. 故共有种不同的选法. 故选：D. 3.大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 【答案】A 【详解】因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况， (1)当参加生物创新实验模块的为1人时，若这个人为，则一共有种不同的分配方式； 若这个人不是，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； (2) 参加生物创新实验模块的为2人时，若这两人中有，则一共有， 若这两人中没有，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； 综上，一共由种不同的分配方式； 胡选：A 4.（多选）下列说法正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法； C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法． 【答案】AC 【详解】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙， 最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确； 对于B，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有1种不同的分法，故B错误； 对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种，故C正确； 对于D，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组， 最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人， 共有种，故D错误； 故选：AC. 5.结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (4)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】(1) (2)1800 (3)10 (4)8 【详解】（1）以信的角度去看第一封信有7个选择，第二封信有7个选择，…，所以共有种放法； （2）先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法．故共有种放法； （3）相同元素隔板法，6封信排成一列，中间有5个空位，选取其中2个插入隔板，故有种放法； （4）若组的序号相同，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择，即共有种放法． 题型04 组合的综合问题 1.马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（    ） A．12 B．18 C．21 D．24 【答案】C 【详解】解：根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法． 先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有种关灯方法． 故选：C． 2.（多选）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301 【答案】ABD 【详解】A选项，有个，故A正确； B选项，分为两类：在末位，则有种； 不在末位，则有种， 所以共有种，故B正确； C选项，分为两类：在末位，则有种； 5在末位，则有种， 所以共有种，故C错误； D选项，首位为的有个；前两位为的有个；前两位为的有个， 所以第个数字是前两位为的最小数，即为，故D正确； 故选：ABD. 3.从10个人中选出7人围成一圈做游戏，则不同的排法种数有 种． 【答案】86400 【详解】先选人，有种选法. 再将7人进行全排列，有种排法，由于围成一圈， 所以ABCDEFG， BCDEFGA， CDEFGAB， DEFGABC， EFGABCD， FGABCDE， GABCDEF是1种排法， 所以有种排法. 由分步乘法计数原理，不同排法种数为：种. 故答案为：86400 4.为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】(1)300 (2)240 (3)2160 【详解】（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. （2）完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. （3）完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 5.（1）用这10个数字，可以组成多少个三位数？（用数字作答） （2）用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（用数字作答） （3）用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（用数字作答） （4）用这10个数字，可以组成多少个三个数位上既有偶数也有奇数的没有重复数字的三位数？（用数字作答） 【答案】（1）900；（2）648；（3）328；（4）540 【详解】（1）先排个位，再排百位和十位，故有个； （2）先排个位，再排百位和十位，故有个； （3）当个位是0时，有个；当个位不是0时，有个； 故共有个； （4）若选0时，除0外，可以有1个奇数1个偶数或2个奇数，有种情况， 又0可以在个位或者十位，有种情况，并且除0外的两个数位置可以互换， 故有个； 同理，若不选0时，则有个， 所以共有个． 1.化简：= （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， . 故选：D. 2.某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（    ） A．15 B．20 C．10 D．30 【答案】C【解析】采用“隔板法”，6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少一个名额，故共有种方案. 3.（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 4.（多选）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 【答案】CD 【详解】不同的安排方法共有种，故选项A错误； 若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故选项B错误； 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去， 此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作， 则不同的安排方法共有种，故选项C正确； 学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班， 每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确． 故选：CD 5.（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，原式成立，故B正确； 对于C，左边，右边，两边不等，故C错误； 对于D，左边， 右边，左边右边，故D正确． 故选：ABD. 6.利用组合数的性质进行计算（结果保留数字的形式）： （1）已知，则 ； （2） ． 【答案】 或 165 【详解】（1）当时，原等式成立，解得，检验符合； 当时，原等式也成立，解得，检验符合； 则x的值是5或3． （2）由组合数的性质可知， ． 故答案为：或；165. 7.如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条． 【答案】150 【详解】由题可知，的最短路线必经过两点， 则的最短路线有种，的最短路线有种； 的最短路线有种，的最短路线有种； 因为的最短路线有和， 所以的最短路线有种， 故答案为：150． 8.小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 【答案】(1)10 (2)16 (3)12 【详解】（1）若不买苹果，共有种买法． （2）若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有种买法． （3）当香橙和圣女果中只买香橙时，有种买法； 当香橙和圣女果中只买圣女果时，有种买法； 当香橙和圣女果都买时，有种买法. 故买法总数为种． 9．现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 10．某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序，其中3个产品来自A公司，2个产品来自B公司，1个产品来自C公司． (1)求B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数; (2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案数． 【答案】(1)240 (2)96 【详解】（1）将B公司的2个产品的介绍顺序捆绑在一起， 与其他4个产品进行全排列，共有种， 故B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数有240种； （2）先排A公司的3个产品有种排法， 由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻，故分两类情况： 一是B公司的2个产品和C公司的1个产品都在A公司的3个产品之间， 即B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品相邻， 共有种排法， 二是B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品在A公司的3个产品之间， 另一个在第一个或最后一个，共有， 所以共有种方案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$