第02讲 排列问题（2考点6题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第02讲 排列问题 课程标准 学习目标 1 理解排列的概念； 2 利用计数原理推导排列数的公式； 3 排列数公式的变形使用． 1. 理解排列的概念； 2. 能够掌握排列的计算公式； 3. 提高逻辑思维能力和解决问题的策略． 知识点一、排列与排列数 1、 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2、 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A 3、排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 4、排列数性质 A＝n！；0！＝1 知识点二、排列做题方法 （1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 （2）优先法：优先安排特殊元素或特殊位置 （3）捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 （4）插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 （5）定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列，对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 题型01 排列数 1.（多选）下列等式中，成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，而，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， D正确. 故选：ACD 2．（多选）下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 【答案】ACD 【详解】对于A， ，选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，•，选项D正确． 故选：ACD． 3.计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)480 (2)16 【详解】（1）； （2）. 4.求解下列问题： (1)计算：   (2)解方程： 【答案】(1)1；(2)7 （1）原式； （2）∵ ， ∴，化简整理可得，，解得 或（舍去），故； 综上，计算结果为（1）1，（2）7. 题型02 元素（位置）有限制的排列问题 1.甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 2.某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 【答案】A 【详解】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论： ①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列,安排在其他三个位置， 有种安排方法，则此时有种编排方法； ②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列， 安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法； ③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个， 考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列， 安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法； 则符合题意要求的编排方法有种； 故选：A. 3.七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【答案】C 【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故选：C. 4.（多选）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】直接法： 若小品排在最后一位，有种不同的排法； 若小品排在第二到第六位之间，则相声可以排在除最后一位和小品占据以外的任何位置，有种不同的排法； 则共有种不同的排法，A正确； 间接法： 不管条件限制共有种不同的排法； 当小品在第一位或相声在最后一位时，有种不同的排法， 当小品在第一位且相声在最后一位时，有种情况； 故共有，D正确； 故选：AD. 5.根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 【答案】 【详解】总方案有种，1班排在最后有种方案，4班排在第一位有种方案， 1班排在最后且4班排在第一位有种方案， 则满足要求的方案有种. 故答案为： 题型03 相邻的排列问题 1.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 2.黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法； 再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种， 根据分步相乘计数原理，共有种排法． 故选：C． 3.五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这4人不同的站法种数是（    ） A．24 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【详解】若要求李阳的父母相邻，他的父母先站好有种方法，然后将其看成一个人再与李阳以及李阳的妹妹站成一排有种排法，所以共有种不同的站法. 故选：B. 4.4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数． (1)男生和女生均相邻； (2)男生均相邻； 【答案】(1)288 (2)576 【详解】（1）因为男生和女生均相邻，将男生和女生分别看成一个整体，再进行全排，所以共有站法种数为种； （2）因为男生均相邻，将男生看成一个整体，再和其余女生进行全排，所以共有站法种数为种； 题型04 不相邻的排列问题----插空法 1.象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 2.现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．48 B．72 C．144 D．96 【答案】B 【详解】先把3家小吃店捆绑全排共有种排法， 再把小吃店与玩具店全排共有种排法， 然后把2家文创店插空全排共有种排法， 所以共有6×2×6＝72种 故选：B. 3.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答） 【答案】144 【详解】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法， 在三位运动员形成的4个空隙中选3个，插入3个吉祥物，共有种排法. 故答案为：144． 4.有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【答案】(1)480 (2)480 (3)144 【详解】（1）甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有种排法， 甲插空，有种，故共有种不同排法． （2）甲、乙不相邻，则先排其余4人，有种不同排法， 甲乙两人再插空，有种，故共有种不同排法． （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有种排法， 先排列其余3人，有种，甲乙与丙再插空，有种排法， 故共有种不同排法． 5.已知书架上有三本不同的外语书，两本不同的数学书和两本不同的语文书，现在要把这七本书在书架上自左至右排成一排. (1)若两本数学书不能相邻，两本语文书不能相邻，求不同的排法总数； (2)若同科目的书不能相邻，求不同的排法总数. 【答案】(1)种；(2)种 （1）两本数学书相邻的排法数为， 两本语文书相邻的排法数为， 两本数学书相邻，两本语文书也相邻的排法数为， 所以排法总数为； （2）考虑先用数学书去隔开外语书， 若先用两本数学书把三本外语书隔开，排法数为， 若只有一本数学书把外语书隔开，则排法数为， 若两本数学书都没把外语书隔开，则数学书应排两头，排法数为种， 若两本数学书之间没有外语书，则排法数为种， 所以排法总数为种. 题型05 定序的排列问题 1.春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 2.甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法， 由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法. 甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 3.习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ） A．100 B．120 C．300 D．600 【答案】A 【详解】先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有. 故选：A 4.现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 【答案】30240 【详解】先将10人全排，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即为， 故有种排法． 故答案为：30240. 5.2名女生、4名男生排成一排，求： （1）2名女生相邻的不同排法共有多少种? （2）女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种? 【答案】（1）240；（2）360 【详解】（1）两名女生有2种排法 将两名女生看成一个整体，与其他四名男生全排列有种 不同排法共有种 （2）女生甲排在女生乙的左边和女生甲排在女生乙的右边的概率相等 六个人全排列共有种排法 女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有种 题型06 排列的综合问题 1.我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（    ） A．432 B．864 C．1728 D．2592 【答案】C 【详解】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共为种； 乙队，利用插空法得种； 按照计数原理可知，一共种. 故选：C 2.一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【答案】D 【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 3.（多选）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（    ） A．若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法 B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法 C．若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法 D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法 【答案】BC 【详解】对A：先将4个音乐节目全排列，有种排法； 再把音乐节目捆绑和舞蹈、曲艺看作6个节目，进行全排列，有种排法， 所以共有种排法，A错误； 对B：先从9个位置中选7个位置排好音乐和舞蹈节目，有种排法； 再排曲艺节目，只有一种排法，所以共有种排法，B正确； 对C：先排音乐和曲艺节目，有种排法； 再把3个舞蹈节目排在空位中，有种排法，所以共有种排法，C正确； 对D：先把它们各自排列并捆绑，各自有种排法， 再把它们看做三个元素进行全排列，有种排法，所以共有种排法，D错误． 故选：BC 4.现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 【答案】 【详解】先将甲、乙两人捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去丙排在周三的的排法即可求得所求事件的不同排法. 所以不同排法的种数为， 又5位教师从周一到周五的常规值班一共有种方法， 所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率. 故答案为： 5.现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)： （1）6人站成一排，甲站在乙的前面(甲､乙可以不相邻)的不同站法种数； （2）6人站成一排，甲､乙相邻，且丙与丁不相邻的不同站法种数； 【答案】（1）；；（2）. 【详解】（1）6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数为； （2）甲乙捆绑到一起与剩下2人共3人共有种不同排法，由于丙与丁不相邻，丙丁只需从甲乙这个整体与剩余2人产生的4个空中任选2个进行排放，根据分步计数原理，共种不同排法. 6.江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有2男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答） (1)如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ (2)如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ 【答案】(1)；(2) (1)解：根据题意，先排2位男选手，有种， 再将3位女选手排到2为男选手形成的三个空上，有种， 所以，如果3个女生都不相邻，有种不同的出场顺序. (2)解：先排好2男3女参加活动的所有可能出场顺序，有种， 其中女生甲在女生乙的前面的占了一半， 所以，女生甲在女生乙的前面，有种不同的出 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将组成没有重复数字的三位数，共有种， 而其中偶数有两种情况： ①以为个位数的三位数，是，共有2种 ②以为个位数的三位数，是，共有2种 所以，这个三位数是偶数的情况共有种， 所以，这个三位数是偶数的概率为事件，则. 故选：A. 2.10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由捆绑法可得，甲、乙、丙站在一起的概率为. 故选：B． 3.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有 种不同的游览顺序方案.（用数字作答） 【答案】 【详解】将荔波小七孔和西江千户苗寨捆绑到一起，看成一个景点，有种排法， 又铜仁梵净山不安排在首末位置，有种排法， 所以共有种不同的游览顺序方案， 故答案为：. 4.为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是 ． 【答案】 【详解】根据题意,由于活动“法律援助”必须排在前三位，分种情况讨论: ①“法律援助”排在第一位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个,考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； ②“法律援助”排在第二位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个，考虑两者的顺序,有种情况， 将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； ③“法律援助”排在第三位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个,考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 故符合题意的安排方案有种. 故答案为：. 5．有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A，B，C，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为 . 【答案】12 【详解】由题意可知：先从标有字母A，B，C中任选一个，共有2张卡片， 再从剩余字母中各取一张卡片， 所以不同的取法种数为. 故答案为：12. 6.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 【答案】种【详解】解：第一步先排音乐节目，有种排法； 第二步再排曲艺节目，有种排法； 第三步再排舞蹈节目，把舞蹈放到曲艺节目之间，有种排法， 所以共有种排法． 7.某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 【答案】(1)288；(2)144；(3)144. 【详解】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 8．将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 9.三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？ 【答案】(1)4320 (2)14400 (3)14400 (4)36000 (5)1440 【详解】（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体， 这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法， 对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法． 因此共有（种）不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好， 每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位， 加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻， 由于五个男生排成一排有种不同排法， 对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法， 因此共有（种）不同的排法． （3）方法一（位置分析法），因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个， 有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法， 从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法， 但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次， 在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次， 由于两端都是女生有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 方法三（元素分析法），从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法， 对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． （4）方法一（位置分析法），因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生， 那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法； 如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法， 因此共有（种）不同的排法． 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法， 从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数． 因此共有（种）不同的排法． （5）男生甲、乙排好有种排法，从三个女生中选两人排在甲、乙之间有种排法， 再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队有种排法， 所以共有（种）不同的排法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 排列问题 课程标准 学习目标 1 理解排列的概念； 2 利用计数原理推导排列数的公式； 3 排列数公式的变形使用． 1. 理解排列的概念； 2. 能够掌握排列的计算公式； 3. 提高逻辑思维能力和解决问题的策略． 知识点一、排列与排列数 1、 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2、 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A 3、排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 4、排列数性质 A＝n！；0！＝1 知识点二、排列做题方法 （1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 （2）优先法：优先安排特殊元素或特殊位置 （3）捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 （4）插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 （5）定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列，对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 题型01 排列数 1.（多选）下列等式中，成立的有（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 3.计算下列各式． (1)； (2)． 4.求解下列问题： (1)计算：   (2)解方程： 题型02 元素（位置）有限制的排列问题 1.甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 2.某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（    ） A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 3.七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 4.（多选）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 5.根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 题型03 相邻的排列问题 1.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2.黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 3.五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这4人不同的站法种数是（    ） A．24 B．12 C．8 D．6 4.4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数． (1)男生和女生均相邻； (2)男生均相邻； 题型04 不相邻的排列问题----插空法 1.象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 2.现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．48 B．72 C．144 D．96 3.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答） 4.有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 5.已知书架上有三本不同的外语书，两本不同的数学书和两本不同的语文书，现在要把这七本书在书架上自左至右排成一排. (1)若两本数学书不能相邻，两本语文书不能相邻，求不同的排法总数； (2)若同科目的书不能相邻，求不同的排法总数. 题型05 定序的排列问题 1.春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 2.甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 3.习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ） A．100 B．120 C．300 D．600 4.现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 5.2名女生、4名男生排成一排，求： （1）2名女生相邻的不同排法共有多少种? （2）女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种? 题型06 排列的综合问题 1.我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（    ） A．432 B．864 C．1728 D．2592 2.一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 3.（多选）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（    ） A．若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法 B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法 C．若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法 D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法 4.现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 5.现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)： （1）6人站成一排，甲站在乙的前面(甲､乙可以不相邻)的不同站法种数； （2）6人站成一排，甲､乙相邻，且丙与丁不相邻的不同站法种数； 6.江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有2男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答） (1)如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ (2)如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ 1.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 2.10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 3.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有 种不同的游览顺序方案.（用数字作答） 4.为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是 ． 5．有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A，B，C，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为 . 6.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 7.某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 8．将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 9.三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$