期中押题预测卷02（范围：立体+直线与圆+椭圆双曲线）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期中押题预测卷02 （范围：立体+直线与圆+椭圆双曲线 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．设，，向量，，，且，，则（   ） A． B． C．1 D．0 3．若点在圆：的外部，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆与圆. 相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，①圆O与直线l相切; ②线段AB的长为③的最小值是2； ④从P点向圆M引切线，切线长的最小值是则说法正确的是 （    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 8．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 10．如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（    ） A．； B．当是靠近的三等分点时，，，共面； C．当时，； D．的最小值为． 11．设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若圆心到直线的距离为，则 B．直线恒过定点 C．若线段的中点为，则的最小值为 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 13．在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 14．设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求解下面两个小题： (1)直线l经过点，且在x轴上的截距为3，求l的方程； (2)直线l平行于直线，且l与距离为，求l的方程． 16．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18．如图，已知圆，点. (1)求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 19．已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期中押题预测卷02 （范围：立体+直线与圆+椭圆双曲线 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为直线，即为， 原问题转化为求两平行直线与间的距离， 由平行直线间的距离公式可得. 故选：D. 2．设，，向量，，，且，，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】因为，故，即， 又，故，即， 所以. 故选：D. 3．若点在圆：的外部，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可得解得或. 故选：D 4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在空间四边形中， . 故选：B 5．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即. 故选：B. 6．已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，. 设点坐标为，右焦点. 由得，解得：， 因为是双曲线得一条渐近性，所以，则， 将代入双曲线方程，得. 因为，点在第一象限内，所以， 点在直线上，所以，解得：. 故选：C 7．已知圆与圆. 相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，①圆O与直线l相切; ②线段AB的长为③的最小值是2； ④从P点向圆M引切线，切线长的最小值是则说法正确的是 （    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】B 【详解】对于①，由圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以圆O与直线相切，故①正确； 对于②，将两圆方程相减，可得直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以线段AB的长为，故②错误； 对于③，圆，即， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当时，可取得最小值，此时的最小值是，故③正确； 对于④，从点向圆引切线，设切点为，则， 所以当最小时，切线的长取的最小值，所以当直线时，最小， 即，所以，故④正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求直线上的点到圆上的点的距离的最小值，常常数形结合，求得圆心到直线的距离的最小值减去圆的半径，可求得最小值. 8．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系， 则，， 对于①，此时易知，即， 而平面的一个法向量为，显然，即①正确； 对于②，易知平面，即平面， 则直线到平面的距离即点到平面的距离， 此时， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 所以点到平面的距离，即②错误； 对于③，设， 则， ， 所以， 若，则， 显然时符合题意，故③正确； 对于④，当面积最小时即到距离最小时， 此距离亦即异面直线与的距离，易知，则平面， 此距离即到平面的距离， 不妨设平面的一个法向量为，则， 令，即， 则到平面的距离， 所以面积的最小值为，故④错误. 故选：C    二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【答案】AB 【详解】由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A正确； 离心率为，故B正确； 令，即其渐近线方程为，故C错误； 不妨设，则其到渐近线的距离为，故D错误. 故选：AB 10．如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（    ） A．； B．当是靠近的三等分点时，，，共面； C．当时，； D．的最小值为． 【答案】BCD 【详解】以为基底，则，，,. 对A：因为. 所以，故A错误； 对B：当是靠近的三等分点，即时， ， 又，所以.故，，共面.故B正确； 对C：因为， 所以：， 所以，故，故C正确； 对D：设，. 因为：. 所以，. 当时，有最小值，为：，故D正确. 故选：BCD 11．设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若圆心到直线的距离为，则 B．直线恒过定点 C．若线段的中点为，则的最小值为 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A，圆的半径为，故，A正确， 对于B，由题意可知点，，在以为直径的圆上， 设，,其圆的圆心为，故方程为：，化简为， 与方程相减可得， 则直线的方程为， 令，解得，因此直线恒过定点，因此B正确； 对于C，由于,故, 故,解得, 由于函数均为内的单调递增函数，故为内的单调递增函数， 当时，此时最小，且最小值为， 当最小时，故的最小值为,故C错误， 对于D，由于,故, 由选项C可知的最小值为，故， 故，进而可得,由于，进而可得，即,因此， ，故，即，D错误， 故选：AB.    【点睛】关键点点睛：根据锐角三角函数可得，进而根据最小值可得，即可根据互补可得,因此，利用向量数量积的坐标运算求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意，直线的斜率，则，所以. 故答案为： 13．在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系， 且设， 则，则， 因为异面直线与所成角为，所以 因为异面直线与所成角为，所以 计算可得， 设平面法向量为，则， 令，则 因为， 则点到平面的距离. 故答案为：. 14．设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求解下面两个小题： (1)直线l经过点，且在x轴上的截距为3，求l的方程； (2)直线l平行于直线，且l与距离为，求l的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：由于l在x轴上的截距为3，则直线l过点， 所以，直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即，或者． （2）解：由于直线l平行于直线，可设直线l的方程为， 由于l与距离为，则，解得或． 故直线l的方程为或． 16．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. （2）因为， 所以，所以， 所以. 17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）平面平面，平面平面平面， 平面， 取中点，连接，则平面， ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18．如图，已知圆，点. (1)求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）解：由，化为标准方程得 所以圆的圆心坐标为， 又因为圆的圆心在直线上，所以当两圆外切时，切点为， 设圆的圆心坐标为，因为在圆上，可得， 则有 解得，所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为.    （2）解：因为圆弧恰为圆周长的， 根据圆的性质，可得，所以点到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，直线即为轴， 此时直线的方程为. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 可得，即，解得， 所以直线的方程，即， 故所求直线的方程为或.    19．已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，， 由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得， 即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）显然，设，则， 由消去得，， 则， 又，而与同号， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$