第68讲 数列的概念与通项公式-【中职数学】2025年高考百练必刷题

中职数学高考百练考点68——数列的概念与通项公式 一、【考点深度剖析】 应知应会1 考题方向 数列的概念与简单表示法 1.数列的概念 2.递增数列与递减数列 3.有穷数列与无穷数列 4.数列的周期性 应知应会2 考题方向 数列的通项公式 1.判断或写出数列中的项 2.累加法与累乘法求数列通项 3．利用的关系求通项公式 二、【方法技巧】 类型1：累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型2：累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 三、【高频易错考点练】 【易错点】由求时忽略对“”检验（求通项公式） 例1.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； 【易错强化练】已知数列的前n项和，求的通项公式 四、【考点全面演练】 考点1、数列的概念 例1.下列说法正确的是（    ） A．数列与是相同的 B．数列可以表示为 C．数列与是相同的数列 D．数列的第项为 【变式练习1】下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 考点2、递增与递减数列 例2.已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知n为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【变式练习3】下列数列中，为递增数列的是 ，为递减数列的是 ，为常数列的是 ． ①1，0.84，，，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1． 考点3、有穷与无穷数列 例3.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A．… B．… C．… D． 【变式练习1】写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是 . 考点4、周期数列 例4.数列中，，则的值为 ． 【变式练习1】已知数列满足，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【变式练习2】已知数列中，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 考点5、判断或写出数列中的项 例5.已知数列1，，，，…，，则是这个数列的第（    ） A．20项 B．21项 C．23项 D．22项 【变式练习1】已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【变式练习2】已知数列{an}满足，，则254是该数列的（    ） A．第8项 B．第10项 C．第12项 D．第14项 【变式练习3】已知数列的通项公式是，则是该数列中的第 项． 【变式练习4】已知数列的通项，则 . 考点6、累加法与累乘法求数列通项 例6.（1）已知在数列中，，，求通项． （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 【变式练习1】已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知数列满足，，则 . 【变式练习3】在数列中，， ，则通项公式 ． 【变式练习4】在数列中，，则 ． 考点7、利用的关系求通项公式 例7.已知数列的前项和为，则的通项公式为 ． 【变式练习1】已知数列的前项和，则 ． 【变式练习2】在数列中，，则的通项公式为 . 【变式练习3】已知数列的前n项和为. (1)求，； (2)求数列的通项公式. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中职数学高考百练考点68——数列的概念与通项公式 一、【考点深度剖析】 应知应会1 考题方向 数列的概念与简单表示法 1.数列的概念 2.递增数列与递减数列 3.有穷数列与无穷数列 4.数列的周期性 应知应会2 考题方向 数列的通项公式 1.判断或写出数列中的项 2.累加法与累乘法求数列通项 3．利用的关系求通项公式 二、【方法技巧】 类型1：累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型2：累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 三、【高频易错考点练】 【易错点】由求时忽略对“”检验（求通项公式） 例1.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； 【答案】 【解析】（1）当时，； 当且时，； . 【易错剖析】本题容易直接计算 得到. 在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验. 【易错强化练】已知数列的前n项和，求的通项公式 【答案】 【解析】（1）当时，， 当时，， 当时，，符合上式， 所以的通项公式是． 四、【考点全面演练】 考点1、数列的概念 例1.下列说法正确的是（    ） A．数列与是相同的 B．数列可以表示为 C．数列与是相同的数列 D．数列的第项为 【答案】D 【分析】运用数列的定义、数列及项的表示方法、由通项写出数列的项可判断各个选项. 【解析】对于A项，数列与是不同的，表示数列，而表示数列中的第项，故A项错误； 对于B项，是一个集合，故B项错误； 对于C项，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：D. 【变式练习1】下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【答案】A 【分析】分别应用递增数列、数列的通项公式、常数列、数列的概念进行判断即可. 【解析】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确； 对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误； 对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误； 对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系， 数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误. 故选：A. 考点2、递增与递减数列 例2.已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【解析】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 【变式练习1】已知n为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造数列，探讨该数列单调性即得. 【解析】令，显然， 当时，，即， 因此当时，， 所以n为正整数，且，有. 故选：C 【变式练习2】设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递增数列定义可得，代入计算即可得解. 【解析】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 【变式练习3】下列数列中，为递增数列的是 ，为递减数列的是 ，为常数列的是 ． ①1，0.84，，，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1． 【答案】 ② ①④⑤ ③ 【分析】根据数列单调性的定义，即可判断. 【解析】由数列的单调性，易知②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列． 故答案为：②；①④⑤；③ 考点3、有穷与无穷数列 例3.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A．… B．… C．… D． 【答案】C 【分析】根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案. 【解析】对于选项A：数列是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；故选项A不正确； 对于选项B：数列是无穷数列，但它不是递增数列；故选项B不正确； 对于选项C：数列是无穷数列，也是递增数列；故选项C正确； 对于选项D：数列是递增数列，但不是无穷数列，故选项D不正确； 故选：C 【变式练习1】写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是 . 【答案】，答案不唯一. 【分析】数列时特殊函数，利用函数的性质即可得出答案，答案不唯一. 【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是：. 故答案为：，答案不唯一 考点4、周期数列 例4.数列中，，则的值为 ． 【答案】0 【分析】利用函数的周期性求解. 【解析】时， 故答案为：0. 【变式练习1】已知数列满足，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出，可得是以2为周期的周期数列，求得. 【解析】由，可得， 所以数列是以2为周期的周期数列，故. 故选：D 【变式练习2】已知数列中，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数列递推式推理得到，知数列周期为3，利用周期性易求得. 【解析】由可得①， 当时，②， 将②式代入①式可得，，即， 即数列的项的周期为，故. 故选：A. 考点5、判断或写出数列中的项 例5.已知数列1，，，，…，，则是这个数列的第（    ） A．20项 B．21项 C．23项 D．22项 【答案】C 【分析】根据题意，令代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，令，解得， 所以是这个数列的第23项. 故选：C 【变式练习1】已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】B 【分析】根据规律可知数列的通项公式为，计算可得是这个数列的第22项. 【解析】由题意可得数列的通项公式为， 又，解得， 所以是这个数列的第22项． 故选：B． 【变式练习2】已知数列{an}满足，，则254是该数列的（    ） A．第8项 B．第10项 C．第12项 D．第14项 【答案】D 【分析】根据已知条件写出数列中的前几项，进而根据数列的前几项归纳出通项公式，解方程即可求解. 【解析】当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…， 归纳可得数列{an}的通项公式， 若为正奇数，则，则无正奇数解； 若为正奇数，则，则； 故选：D. 【变式练习3】已知数列的通项公式是，则是该数列中的第 项． 【答案】 【分析】直接根据求解即可. 【解析】根据题意，得，解得，所以7是该数列中的第项． 故答案为： 【变式练习4】已知数列的通项，则 . 【答案】 【分析】根据数列的通项公式求得，即得答案. 【解析】由于数列的通项， 故，， 所以， 故答案为： 考点6、累加法与累乘法求数列通项 例6.（1）已知在数列中，，，求通项． （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把已知数列递推式变形，可得数列，通过累加法求出通项. （2）运用累乘法进行求解即可. 【解析】 （1）将两边同时取倒数得：，则，即， 所以，，，， 把以上这（n－1）个式子累加，得． 因为，所以． （2）因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 【变式练习1】已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的关系式，利用累乘法即可求得（）. 【解析】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即（）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 【变式练习2】已知数列满足，，则 . 【答案】， 【分析】利用累加法可求数列的通项公式. 【解析】因为， 所以. 所以，，…， 以上各式相加，得： 所以 又也符合上式， 所以，. 故答案为：， 【变式练习3】在数列中，， ，则通项公式 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用累加法即可求解. 【解析】∵， ∴， ， ， … . 以上个等式相加，得． ． 检验：当时，也成立. 所以，数列的通项公式. 故答案为：. 【变式练习4】在数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得. 【解析】因，故有，即得， 所以． 故答案为：. 考点7、利用的关系求通项公式 例7.已知数列的前项和为，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. 【解析】易知，当时，， 化简得，当依然成立，故． 故答案为： 【变式练习1】已知数列的前项和，则 ． 【答案】 【分析】利用可得出数列的通项公式. 【解析】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，因此，. 故答案为：. 【变式练习2】在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用退一相减法可得，进而可得的通项公式. 【解析】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 【变式练习3】已知数列的前n项和为. (1)求，； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）赋值法求得，再根据求解即可； （2）利用和关系求解通项公式即可. 【解析】（1）令得，令得，所以. （2）当时，， 当时，， 经检验满足上式，所以. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$