专题7.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（考点精练）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题7.1 任意角和弧度制及三角函数的概念 1．下列命题为真命题的是（    ） A．大于的角都是钝角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角 【答案】B 【分析】根据象限角的定义即可判断ABC，根据象限角与余弦值的关系即可判断D. 【解析】对A，∵，但180°不是钝角，∴A是假命题，故A错误； 对B，∵锐角的范围是，是第一象限角，B是真命题，故B正确； 对C，是第二象限角，是第一象限角，，∴C是假命题，故C错误； 对D，当时，，不是第二或第三象限的角，∴D是假命题，故D错误. 故选：B. 2. 将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边相同的角的概念求解即可. 【解析】. 故选：A. 3. 的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的表示方法，求出与终边相同的角，进而在判断在第几象限. 【解析】因为 所以的终边与的终边相同， 而的终边在第二象限， 所以的终边在第二象限． 故选： 4．在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是（    ） A．与677° B．900°与 C．与960° D．150°与630° 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的知识求得正确答案. 【解析】A选项，由于，所以和终边相同； B选项，由于，所以和终边相同； C选项，由于，所以和终边相同； D选项，由于，所以和终边不相同. 故选：D. 5．已知，，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】计算出后可判断终边的位置. 【解析】由题设有，， 故为第四象限角， 故选：D 6．若是第四象限角，则一定是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】通过是第四象限角，写出其对应角的集合，然后求出对应角的集合即可得到答案． 【解析】∵是第四象限角，∴. ∴. ∴在第二象限， 故选：B. 7．若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的范围可取特殊值验证选项ABD错误，再由第二象限正弦、余弦值的符号可得C正确. 【解析】若为第二象限角，当时，可得在第四象限，此时，，即A错误，B错误； 当时，可得，即D错误； 由为第二象限角可得，所以，即C正确. 故选：C 8．下列命题 ①第一象限角一定不是负角；      ②第二象限角大于第一象限角； ③第二象限角是钝角；            ④小于180°的角是钝角､直角或锐角. 其中不正确的序号为 . 【答案】①②③④ 【解析】根据角的定义判断．错误的结论可举反例说明． 【解析】是第一象限角也是负角，①错； 是第二象限角，是第一象限角，但＜，②错； 同上，是第二象限角，但不是钝角，③错； 角是小于的角，但不是钝角，不是直角，也不是锐角，④错． 故答案为：①②③④． 9．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是 【答案】 【分析】终边在一条直线上的角的取值集合：写出一个角再加上即可.. 【解析】直线y＝－x的倾斜角是， 所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为. 故答案为：. 10．在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 【答案】 【分析】根据弧长公式进行化简即可. 【解析】在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为, 故答案为： 11．在平面直角坐标系中， 角的终边终边过点，则 ； 【答案】 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【解析】因为角的终边终边过点， 所以，， 得到， 故答案为：. 12．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由扇形的周长、面积公式进行计算可得结果； （2）由扇形的周长得出弧长与半径之间的关系，进而表达出扇形的面积的函数，根据扇形圆心角的范围求解出定义域. 【解析】（1）由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为. （2）由已知得，，则， 又，得， 因为，所以， 所以，即 ， 所以，. 13. 小明准备用铝合金材料制成如图所示的窗架，窗架的下部是矩形，上部是半圆形，要求窗架围成的总面积为3平方米．设窗架的周长为米，矩形下缘为米． (1)建立关于的函数表达式； (2)现有10米的铝合金材料是否够用?（不计算损耗） （参考数据：，精确到0.1） 【答案】(1) (2)够用 【分析】（1）根据题意写表达式即可； （2）利用基本不等式得到的最小值，然后与10 比较即可. 【解析】（1）由题意得. （2）， 当且仅当，即时L取得最小值， 因为， 所以10米的铝合金材料够用. 1．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【解析】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 2．已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【解析】因为， ， 所以， 故选：A. 3．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【解析】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 4．在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的三角形法则得，根据可得到与的关系. 【解析 】由题意得，点为线段上靠近点的三等分点，如图所示： . 故选：B. 5．在中，，，直线DE与直线BC交于点F．设，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，再由三点共线，利用共线定理求解即可. 【解析】如下图所示： 由题可知，， 由共线定理可知，存在实数满足， 又因为，所以， 因此， 又与共线， 所以，解得， 则 . 故选：C. 6．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】利用向量共线的推论与线性关系，求解系数再结合向量减法即可求参. 【解析】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 7．已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【解析】因为是两个不共线的单位向量，， 若与共线，可设，即，则，解得： 故答案为：2 8．已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【分析】取的中点，则，进而可得. 【解析】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故，    故答案为：5 9．已知点O是的内心，，，则 . 【答案】 【分析】由角平分线定理得到，再由向量共线的性质得到，最后由向量的线性运算得到结果. 【解析】 连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线， 所以根据角平分线定理可得，所以， 因为三点共线，所以设， 则，因为， 所以. 故答案为： 10．如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    【答案】3 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论； 【解析】设 根据题意，； ，，，三点共线，则存在，使得， 即，即， ，整理得，所以； 故答案为：3 11．如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【解析】根据题意，，所以， 所以， 又，， 所以， 因为三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 12．如图，在中，点D为的中点，点E在线段上，与交于点O.    (1)若，求证：； (2)若，，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由点D为的中点可得，再结合已知条件即可证明； （2）设，，，利用向量加减法法则可得，，从而可得，即可求解. 【解析】（1）因为点D为的中点，所以， 因为，， 两式相加得， 所以， 即. （2）由，得， 设，，， 则， 又. 所以， 因为，不共线，所以，解得. 13. 如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 【答案】 【分析】延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足,画出图形,则,进而求解即可 【解析】延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足, 如图所示, 则,, 则 14. 已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：三点共线； (2)欲使向量与平行，试确定实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用向量线性运算可得，知，由此可得三点共线； （2）由向量平行可得，由此可构造方程求得的值. 【解析】（1），， 共线且有公共点，三点共线. （2）与平行，， 与不共线，，解得：或，. 15. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点. (1)求证：； (2)设，，，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据几何图形，利用向量的线性运算，将用表示即可； （2）由，将用表示，利用三点共线的性质得出，再利用基本不等式中“”的代换，求的最小值即可. 【解析】（1）证明：因为，所以， 又因为的中点，所以， 所以； （2）因为，，，， 所以，，又因， 所以，又因，，三点共线， 所以，即. 所以 当且仅当，即时，等号成立，此时. 1.（2024年浙江省对口高考）已知角满足,则角是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】B 【解析】因为，所以,所以位于第二象限，故答案选B 2.（2023年浙江省对口高考）已知角的终边经过点,则角是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】D 【解析】因为位于第四象限，故角是第四象限角所以答案选D 3. （2021年浙江省对口高考）角与角的终边相同，且,则（ ） A. B. . C. . D. 【答案】C 【解析】因为，故，所以答案选C 4. （2020年浙江省对口高考）的终边在（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】C 【解析】因为，而是第三象限角，所以的终边在第三象限，故答案选C 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 任意角和弧度制及三角函数的概念 1．下列命题为真命题的是（    ） A．大于的角都是钝角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角 2. 将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 3. 的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是（    ） A．与677° B．900°与 C．与960° D．150°与630° 5．已知，，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．若是第四象限角，则一定是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 8．下列命题 ①第一象限角一定不是负角；      ②第二象限角大于第一象限角； ③第二象限角是钝角；            ④小于180°的角是钝角､直角或锐角. 其中不正确的序号为 . 9．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是 10．在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 11．在平面直角坐标系中， 角的终边终边过点，则 ； 12．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 13. 小明准备用铝合金材料制成如图所示的窗架，窗架的下部是矩形，上部是半圆形，要求窗架围成的总面积为3平方米．设窗架的周长为米，矩形下缘为米． (1)建立关于的函数表达式； (2)现有10米的铝合金材料是否够用?（不计算损耗） （参考数据：，精确到0.1） 1．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，直线DE与直线BC交于点F．设，，则＝（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 7．已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 ． 8．已知所在平面内一点满足，则 ． 9．已知点O是的内心，，，则 . 10．如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    11．如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 12．如图，在中，点D为的中点，点E在线段上，与交于点O.    (1)若，求证：； (2)若，，求实数的值. 13. 如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 14. 已知非零向量和不共线． (1)如果，，，求证：三点共线； (2)欲使向量与平行，试确定实数的值． 15. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点. (1)求证：； (2)设，，，，求的最小值. 1.（2024年浙江省对口高考）已知角满足,则角是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.（2023年浙江省对口高考）已知角的终边经过点,则角是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3. （2021年浙江省对口高考）角与角的终边相同，且,则（ ） A. B. . C. . D. 4. （2020年浙江省对口高考）的终边在（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$