专题7.1 任意角和弧度制及三角函数的概念 (考点精讲)-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题7.1 任意角和弧度制及三角函数的概念 一、【考纲要求】 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 二、【考向预测】 1.象限角与终边相同的角 2.弧度制与角度制的关系以及弧长面积公式应用 3.正余弦及正切函数定义与求值 三、【知识清单】 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)任意角的三角函数的定义(推广)： 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 【常用结论】 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3.象限角 4.轴线角 四、【方法技巧】 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 3.应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 4.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． 5.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 五、【考点分类剖析】 考点一：角的概念及推广 例1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置，再顺时针旋转270°到达OC的位置，则 . 【变式练习1】将一条射线绕着其端点顺时针旋转，再逆时针旋转，最后形成的角的度数为 ． 【变式练习2】在图中从旋转到，，时所成的角度分别是 、 、 ．    考点二：象限角及终边相同的角 例2 下列命题为真命题的是（    ） A．小于的角都是锐角 B．钝角一定是第二象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角 例3. 若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【变式练习4】与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 【变式练习5】如果角α为锐角，那么，所在的象限是 ． 考点三：弧度制与角度制 例4 时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】化成弧度是 . 【变式练习2】把下列各角度化为弧度，并判断它们是第几象限的角： (1)225°； (2)1500°； (3)； (4)． 考点四：弧度制的应用 例5. 已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角的大小； (2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 【变式练习1】若扇形的半径和面积都相等，且时，扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B．1 C． D． 【变式练习2】已知某个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为 . 【变式练习3】已知一个扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为 ． 【变式练习4】（1）已知凸四边形的四个内角之比为，用弧度制将这些内角的大小表示出来； （2）已知一个半径为r的扇形，它的周长等于弧所在的半圆的弧长，求扇形圆心角的弧度数. 考点五：三角函数的定义 例6. 已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 【变式练习1】已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】设，则“”是“为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式练习3】．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式练习4】已知角，则的值为 ． 【变式练习5】点位于第 象限． 【变式练习6】若，，则 ． 【变式练习7】已知． (1)当时，求； (2)当时，求的取值集合． 2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 任意角和弧度制及三角函数的概念 一、【考纲要求】 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 二、【考向预测】 1.象限角与终边相同的角 2.弧度制与角度制的关系以及弧长面积公式应用 3.正余弦及正切函数定义与求值 三、【知识清单】 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)任意角的三角函数的定义(推广)： 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 【常用结论】 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3.象限角 4.轴线角 四、【方法技巧】 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 3.应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 4.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． 5.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 五、【考点分类剖析】 考点一：角的概念及推广 例1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置，再顺时针旋转270°到达OC的位置，则 . 【答案】-150° 【分析】根据逆时针旋转是正角顺时针旋转是负角求解. 【解析】逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角， . 故答案为：-150° 【变式练习1】将一条射线绕着其端点顺时针旋转，再逆时针旋转，最后形成的角的度数为 ． 【答案】 【分析】根据正负角的定义可直接求得结果. 【解析】顺时针旋转所成的角为负角，逆时针旋转所成的角为正角， 经两次旋转后形成的角的度数为． 故答案为：. 【变式练习2】在图中从旋转到，，时所成的角度分别是 、 、 ．    【答案】 【分析】根据正角、负角的定义可得. 【解析】由图1所示的角是OA按逆时针方向绕O点旋转至OB而成的，故所成的角； 图2：由于角是OA按顺时针绕O点旋转至而成的，则； 由于角是OA按逆时针绕O点旋转至而成的，则. 故答案为：；； 考点二：象限角及终边相同的角 例2 下列命题为真命题的是（    ） A．小于的角都是锐角 B．钝角一定是第二象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角 【答案】B 【分析】根据题意，结合角的定义，以及表示方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，小于的角，例如，但不是锐角，所以A是假命题； 对于B中，因为钝角的范围是是第二象限角，所以B是真命题； 对于C中，例如：是第二象限角，是第一象限角，但，所以C是假命题； 对于D中，当时，，但不是第二或第三象限的角，所以D是假命题． 故选：B． 例3. 若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分是奇数、偶数两种情况进行讨论即可求解. 【解析】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内； 当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内． 故选：C． 【变式练习1】已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解. 【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确； 对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，错误. 如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误. 故选：B 【变式练习2】在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由终边相同的角的定义计算即可得. 【解析】，而其它项对应角都不满足. 故选：B. 【变式练习3】已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【分析】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认． 【解析】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 【变式练习4】与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 【答案】 【分析】根据与角终边相同的角是，对k取满足要求的整数可得解. 【解析】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 当时，与角终边相同的最大负角是. 故答案为：，. 【变式练习5】如果角α为锐角，那么，所在的象限是 ． 【答案】一或三 【分析】已知α为锐角，要确定，所在的象限，只需对分类讨论即可. 【解析】因为角α为锐角，所以角α为第一象限角， 当为偶数时，，为第一象限角， 当为奇数时，，为第三象限角， 综上所述：，所在的象限是一或三. 故答案为：一或三. 考点三：弧度制与角度制 例4 时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制定义计算即可得. 【解析】， 故时针转过的弧度数为. 故选：D. 【变式练习1】化成弧度是 . 【答案】 【分析】根据弧度与角度的互化公式，即可求解. 【解析】. 故答案为： 【变式练习2】把下列各角度化为弧度，并判断它们是第几象限的角： (1)225°； (2)1500°； (3)； (4)． 【答案】(1)，是第三象限的角 (2)，是第一象限的角 (3)，是第四象限的角 (4)，是第二象限的角 【分析】将角度化为弧度，由度数乘以即可得到弧度；再确定是第几象限的角. 【解析】（1），是第三象限的角. （2），是第一象限的角. （3），是第四象限的角. （4），是第二象限的角. 考点四：弧度制的应用 例5. 已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角的大小； (2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用是等边三角形求解即可； （2）利用扇形的弧长和面积公式求解即可. 【解析】（1）由圆O的半径 知是等边三角形， （2）由(1)可知 则弧长 扇形的面积： 而是等边三角形， 所以三角形的高： 弓形的面积 【变式练习1】若扇形的半径和面积都相等，且时，扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的面积公式可求得扇形弧长，再根据弧度的定义即可求得答案. 【解析】设扇形的面积为，弧长为l， 由题意知，，则， 故扇形圆心角的弧度数为， 故选：D 【变式练习2】已知某个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为 . 【答案】2 【分析】将圆心角转化为弧度制后借助弧长公式计算即可得. 【解析】rad，故. 故答案为：2. 【变式练习3】已知一个扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合弧长公式以及扇形面积公式，即可求解． 【解析】因为扇形圆心角，且所对的弧长， 设扇形所在圆的半径为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 【变式练习4】（1）已知凸四边形的四个内角之比为，用弧度制将这些内角的大小表示出来； （2）已知一个半径为r的扇形，它的周长等于弧所在的半圆的弧长，求扇形圆心角的弧度数. 【答案】（1），，，；（2） 【分析】（1）根据题意，由凸四边形的内角和为列出方程，再由弧度制与角度制的转化，即可得到结果； （2）根据题意，结合扇形的周长公式，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）设四个内角分别为，则有，解得， 所以四个内角分别为，，，. （2）设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长为， 所以扇形的周长为，由题意可得， 解得. 考点五：三角函数的定义 例6. 已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 【答案】(1). (2)或. (3)或 【分析】根据特殊角的三角函数值，根据不同的定义域，得到不同的自变量. 【解析】（1），，所以； （2），，所以或； （3），，得或， 所以取值集合为或. 【变式练习1】已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【解析】依题意，，其中，为坐标原点， 则，所以． 故选：D. 【变式练习2】设，则“”是“为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据同角三角函数关系及必要不充分条件定义判断即可. 【解析】因为，所以可以是第二象限角或第三象限角， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式练习3】．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合余弦函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】当时，，故充分性成立， 当时，，，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式练习4】已知角，则的值为 ． 【答案】 【分析】判断角所在象限，确定，从而脱掉绝对值符号，求得答案. 【解析】由题意得：， 故角是第三象限角，则， 故， 故答案为： 【变式练习5】点位于第 象限． 【答案】四 【分析】根据象限角可得三角函数值的正负，即可求解. 【解析】， ∴是第三象限角， 则. 则点位于第四象限． 故答案为：四 【变式练习6】若，，则 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【解析】由题意，设角终边上一点，， 因为， 不妨设，， 解得， 所以． 故答案为：. 【变式练习7】已知． (1)当时，求； (2)当时，求的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据角的范围写出角； （2）根据特殊角的三角函数值写出时角的集合. 【解析】（1），， ， 即； （2），， 即或. 2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$