第二十一章一元二次方程单元复习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元复习题 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）用配方法解一元二次方程化成的形式，则、的值分别是（　　） A．-4，14 B．4，14 C．2，2 D．-2，2 2．（4分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图1所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有甲 B．只有丁 C．乙和丁 D．甲和丁 3．（4分）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 4．（4分）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，一季度共销售万件，已知2、3两个月份销售量的月增长率相同．设2月份销售量的月增长率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（4分）用配方法解方程x2＋1=8x，变形后的结果正确的是(　　) A．(x＋4)2=15 B．(x＋4)2=17 C．(x－4)2=15 D．(x－4)2=17 7．（4分）某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是三位同学的解答过程： 小逸 小明 小琛 两边同时除以，得． 整理得， 配方得， ， ， ，． 移项得， ， 或， ． 下列选项中说法正确的是（　　） A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确 C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的 8．（4分）用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成（x+a）2=b的形式，则变形正确的是（　　） A．（x+4）2=11 B．（x-4）2=21 C．（x-8）2=11 D．（x-4）2=11 9．（4分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32-x）（20-x）＝32×20-570 B．32x+2×20x＝32×20-570 C．（32-2x）（20-x）＝570 D．32x+2×20x-2x2＝570 10．（4分）小明和小林在探索代数式x2+(x≠0)有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵x2++2-2 =(x+)2-2≥-2， ∴小明的结论是x2+的最小值为-2 小林做了如下探索 ∵x2+-2+2 =(x-)2+2≥2， 小林的结论是x2+的最小值为2；则（　　） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）已知a是方程的一个根，则的值为　 　． 12．（5分）若是方程的解，则代数式的值为　 　． 13．（5分）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　 　. 14．（5分）点是正方形边延长线上的一点，连接，，则的最大值是　 　． 三、解答题(共4题；共32分) 15．（8分）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： 当m取（1）的一个整数解时，解方程. 16．（8分）解方程 （1）（2分）； （2）（2分）； （3）（2分）； （4）（2分） 17．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在一网络直播平台上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，若按每件 60 元销售，则每天可卖出 20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加 10件. （1）（4分）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，则每件售价应定为多少元？ （2）（4分）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该款小商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该款小商品至少需打几折销售？ 18．（8分）用配方法解方程：． 四、综合题(共5题；共58分) 19．（10分）龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）（5分）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）（5分）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 20．（10分）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）（5分）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） （2）（5分）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 21．（12分）已知关于x的一元二次方程：x2-（m-3）x-m＝0. （1）（6分）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根； （2）（6分）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根. 22．（12分）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． （1）（6分）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． （2）（6分）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持． （1）（4分）求点的坐标（用含的式子表示）； （2）（4分）求的大小； （3）（6分）若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数，请求出的值及此种情况下面积的最小值． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：x2-4x+2=0， 移项，得x2-4x=-2， 配方，得x2-4x+4=-2+4， ∴（x-2）2=2. ∴a=-2，b=2. 故答案为：D. 【分析】首先移项（将常数项移到方程的右边），然后配方（方程的两边都加上一次项系数一半的平方），进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由变形得：，故甲错误； 由配方得：，故乙正确； 由得：，故丙正确； 由解得：，故丁错误； ∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丁， 故答案为：D 【分析】根据配方法解一元二次方程，进行判断即可求出答案. 3．【答案】C 4．【答案】D 【解析】【解答】解：， ， ， ， 故选：D． 【分析】 先将常数1移项到等号右边，左右两边加上一次项系数一半的平方，进行配方即可。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可得， 一月份的销售量为5， 二月份的销售量为5（1+x）， 三月份的销售量为5（1+x）（1+x）=5（1+x）2， ∴由一季度的销售量为23.75可得，5+5（1+x）+5（1+x）2=23.75； 故答案为：D. 【分析】根据题意，由1月份的销售量和2、3月份的增长率分别表示出2月份、3月份的销售量，继而列出方程即可。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：x2＋1=8x，移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即（x－4）2=15. 故答案为：C. 【分析】利用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把左边配成完全平方式，右边合并同类项.先将常数项移到等号的右边得x2-x=1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方得x2－8x+42=－1+42，然后进行配方，即可得出答案． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：只有小逸的解法错误，方程两边同时除以（x+5），这样会导致方程漏解，小明，小琛分别用配方法、因式分解解方程，计算皆正确， 故答案为：C. 【分析】分别运用解一元二次方法的常用方法：配方法，因式分解法进行解方程即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得，， ， ， 故答案为：D. 【分析】首先将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上16，再利用完全平方公式对左边的式子进行分解即可. 9．【答案】C 【解析】【解答】解： 设道路的宽为xm， 根据题意得：（32-2x）（20-x）=570， 故答案为：C. 【分析】 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，得出拼成的矩形长为（32-2x）m，宽为（20-x）m，再根据草坪的面积是570m2列出方程，即可得出答案． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ∴即时，有最小值为-2， 又∵无解， ∴小明的探索错误，小林的探索正确，当时， 即时，有最小值为-2， ∴有最小值为-2， 故答案为：B. 【分析】根据题意得到要使小明的探索成立则即时，有最小值为-2，即可推出小明的探索错误，进而知道要使小林的探索正确当时，即时，有最小值为-2，即可求解. 11．【答案】2030 12．【答案】2025 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：. 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值. 14．【答案】 15．【答案】； 解：由（1）知， 令， 则方程变为， ， ， ，（答案不唯一）. 【解析】【分析】找出（1）中不等式组的一个整数解2，将m=2代入关于x的一元二次方程得x2-2x-2=0，此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可. 16．【答案】（1） （2）， （3）， （4）， 17．【答案】（1）解：设每件售价应定为x元 ，根据题意得， 整理得， 解得， ∵ 商家想尽快销售完该款小商品， ∴需要销售量尽量大， ∴应选x=50. 答：每件售价应定为50元 ； （2）解：设需要打a折，则有 ∴a≤8 答：至少需要打八折. 【解析】【分析】（1）日利润=日销售量×每件利润，设每件售价应定为x元 ，根据，日利润保持不变列方程进行求解即可； （2）设需要打a折，根据销售价格不超过（1）中的售价列不等式求解，得出a的最值即可. 18．【答案】，． 19．【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个售价应定为50元 20．【答案】（1） （2）每件玩具应降价元 21．【答案】（1）证明：△ ， ， ， ， ， ，即△ ， 方程有两个不相等的两个实数根； （2）解： 是方程 的一个根， ， 解得： ， 则方程为： ， 解得： ， ， 方程的另一根为-2. 【解析】【分析】（1）根据方程可得△=b2-4ac=(m-1)2+8，然后结合偶次幂的非负性进行证明； （2）将x=1代入方程中可得关于m的方程，求出m的值，然后代入方程中利用因式分解法就可求出方程的另一根. 22．【答案】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x ∴，解得：，（不符合题意，舍去） 答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为 （2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元 【解析】【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列出方程：，解出x即可 （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据等量关系：总利润=单件利润×件数，列出方程：，解出m即可. 23．【答案】（1） （2） （3），此种情况下面积的最小值为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$