精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州凯里市凯里学院附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

凯里学院附属中学2023—2024学年度第二学期 八年级期中数学试卷 班级:______姓名:______学号:______ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，是二次根式的有（ ） A. B. 5 C. D. 2. 一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则x和6分别是（　　） A. 常量，变量 B. 变量，常量 C. 常量，常量 D. 变量，变量 3. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，若AE平分∠BAD且与BC边交于点E，则线段EC的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 3，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，10 6. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 7. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 48 8. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则该矩形的周长是（ ） A. 16 B. C. D. 9. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40 cm，则图（1）中对角线AC的长为（ ） A. 20cm B. 30cm C. 40cm D. cm 10. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 11. 骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　） A. 点表示老刘出发，他一共骑行 B. 老刘实际骑行时间为 C. 老刘的骑行速度为 D. 老刘的骑行在的速度比的速度慢 12. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为和．若，则的值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在函数，自变量x的取值范围是_________． 14. 如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝_____°． 15. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点 E与F，AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积为_____． 16. 如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为______． 三、解答题（98分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某开发区有一空地，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，，，求 （1）此四边形空地的面积． （2）若每种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？ 19. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 20. 如图1，在的方格中，每个小正方形的边长为1．    （1）图1中正方形的边长为______； （2）如图2，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． （3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）． 21. 如图，在中，，点D是的中点，连接，作，与交于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）_________； （2）当_________秒时，四边形成为矩形． （3）当t为多少时，? 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： （1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 24. 我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． （1）下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 25. 已知正方形，E为对角线AC上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接和的数量关系是______； 【模型应用】 （2）如图2，F是延长线上一点，交于点G．证明； 【模型迁移】 （3）如图3，F是延长线上一点，交于点G，．写出和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凯里学院附属中学2023—2024学年度第二学期 八年级期中数学试卷 班级:______姓名:______学号:______ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，是二次根式的有（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式； B. 5是整数，不是二次根式； C. 是二次根式； D. 是三次根式，不是二次根式； 故选C． 2. 一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则x和6分别是（　　） A. 常量，变量 B. 变量，常量 C. 常量，常量 D. 变量，变量 【答案】B 【解析】 【分析】根据变量、常量的定义，结合具体的问题情况进行判断即可． 【详解】解：小青购买错题本的本数x是变化的，因此x是变量，而单价为每本6元，是不变的量，因此6是常量， 故选：B． 【点睛】本题考查变量与常量，理解变量与常量的定义是正确判断的前提． 3. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，若AE平分∠BAD且与BC边交于点E，则线段EC的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由AE平分∠BAD，得∠BAE＝∠DAE，又因为ADBC，得∠BAE、∠BEA、∠DAE的关系，利用等腰三角形的性质，得到BE的长，通过边的和差关系求出EC． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴∠DAE＝∠BEA ∴∠BAE＝∠BEA ∴BA＝BE＝3 ∴EC＝BC−BE＝5−3＝2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行四边形的性质及等腰三角形的性质．根据角平分线、ADBC得到角间关系求出BE的长，是解决本题的关键． 5. 在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 3，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长为、、，满足，则该三角形是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长； B、∵，∴3，3，5不可以作为直角三角形的三边； C、∵，∴5，12，13可以作为直角三角形的三边； D、∵，∴6，8，10能作为直角三角形的三边长； 故选：B． 6. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握正方形和菱形的性质． 7. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，解决此题时要先对根式进行化简将能开方的先开出来，再进行分析比较简单． 根据二次根式的性质，对进行化简，只要是整数即可 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵是整数， 故是整数， ∴n的最小值为3， 故选：B． 8. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则该矩形的周长是（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，矩形对角线的性质和利用勾股定理求边长，熟练掌握矩形及等边三角形的性质是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等可得是等边三角形，可求出，勾股定理可求出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴矩形的周长， 故选：C． 9. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40 cm，则图（1）中对角线AC的长为（ ） A. 20cm B. 30cm C. 40cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】如图1，2中，连接AC．在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1，2中，连接AC． 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=90°， ∵AC=40cm， ∴AB=BC=cm， 在图1中，∵∠B=60°，BA=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=cm 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 11. 骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　） A. 点表示老刘出发，他一共骑行 B. 老刘实际骑行时间为 C. 老刘的骑行速度为 D. 老刘的骑行在的速度比的速度慢 【答案】B 【解析】 【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，点所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A正确，不符合题意； 内的路程没有变化， 老刘实际骑行时间为，故B错误，符合题意； 老刘骑行的路程为30km， 的速度为，故C正确，不符合题意； 骑行的路程为， 的速度为， ， 老刘的骑行在的速度比的速度慢，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键． 12. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为和．若，则的值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 解：由题意可知：， 在直角三角形和中， ， 即， ∵ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在函数，自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 故答案为：． 14. 如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝_____°． 【答案】45 【解析】 【分析】证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），进而证明是等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， △AEF是等边三角形， ， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝CD， ∴CE＝CF， ∵∠C＝90°， ∴∠CEF＝45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明Rt△ABE≌Rt△ADF是解题的关键． 15. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点 E与F，AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，∠AEO=∠CFO； 又∵∠AOE=∠COF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF，得S△AOE=S△COF， ∴S阴影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△BCD； ∵S△BCD=BC•CD=，故S阴影=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键． 16. 如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， 则， ， ， ∴当、、三点共线时，取最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 三、解答题（98分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先利用绝对值、二次根式性质化简，再合并同类二次根式； （2）利用完全平方公式、单项式乘多项式计算，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 某开发区有一空地，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，，，求 （1）此四边形空地的面积． （2）若每种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？ 【答案】（1）36平方米 （2）3600元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理： （1）如图，连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，求面积即可； （2）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得共需要投入元， 答：共需要投入元． 19. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵点F为边AB的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 证明：∵点D为边AC的中点， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形BCDE是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用SAS直接证明； （2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键． 20. 如图1，在的方格中，每个小正方形的边长为1．    （1）图1中正方形的边长为______； （2）如图2，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． （3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）． 【答案】（1） （2） （3）如图：   【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴：解题的关键是求出正方形的边长． （1）由勾股定理求出正方形的边长即可； （2）根据图象可得点表示的数为点表示的数加上的长； （3）画出边长为的正方形即可； 【小问1详解】 解：由勾定理得，， ∴正方形的边长， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，正方形的面积为5， ． 21. 如图，在中，，点D是的中点，连接，作，与交于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）由（1）得，再由勾股定理得，然后由菱形的性质和三角形面积关系得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ， ， 四边形是菱形，点是的中点， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）_________； （2）当_________秒时，四边形成为矩形． （3）当t为多少时，? 【答案】（1）18 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）作于E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC=BE+EC即可求出BC的长度； （2）当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形，根据PA=QB列出关于t的方程，解方程即可； （3）分两种情况：当时，四边形是平行四边形；当梯形PDCQ是等腰梯形时，PQ=CD，可建立方程求解即可得出结论； 【小问1详解】 解：（1）根据题意得：PA=2tcm，CQ=3tcm，则PD=AD-PA=(12-2t)cm， ， 如图，过D点作于E， ∵ADBC，∠B＝90°， ∴ ， ∴四边形ABED为矩形， ∴DE=AB=8cm，AD=BE=12cm， 在Rt△CDE中， ∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm， ∴=6cm， ∴BC=BE+EC=18cm； 故答案为：18 【小问2详解】 解：∵，∠B=90° ∴当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形， 即2t=18-3t，解得t=秒， 故当t=秒时，四边形PQBA为矩形； 故答案为： 【小问3详解】 解：①当时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴12-2t=3t， ∴t=； ②如图，梯形PDCQ是等腰梯形时，PQ=CD， 过点P作 于点F，则 ， ∴四边形PDEF是矩形， ∴ ，EF=DP=12-2t，FQ=CE=6cm， ∴CQ=FQ+EF+CE=6+12-2t+6=3t， ∴t=； 综上所述，当t为秒或秒时，PQ＝CD； 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、平行四边形和等腰梯形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： （1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】（1） 解：城市会受到这次台风的影响，理由如下： 如图1，过点作于点， 在中，千米， ∴千米， ∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为：千米， ∵千米千米， ∴城市会受到这次台风的影响． （2）12小时 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． （1）过点作于点，利用角所对边是斜边一半，求得，然后与200比较即可解答； （2）以为圆心，200千米为半径作交于、，则千米，再运用勾股定理计算弦长，然后根据行程问题解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，以为圆心，200千米为半径作交于、， 则千米， ∴台风影响该市持续的路程为：千米， ∴台风影响该市的持续时间小时． 24. 我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． （1）下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）③④ （2） 证明：∵点分别是边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ， 又， ， ， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形：任意四边形各边中点的连线所组成的四边形为平行四边形，也考查了三角形中位线性质、菱形、正方形的性质． （1）根据“对角线垂直四边形”的定义求解； （2）根据三角形中位线的性质得到，则可判断四边形是平行四边形，再证明，然后判断四边形是矩形； 【小问1详解】 解：菱形和正方形是“对角线垂直四边形”，故③④满足题意． 故答案为：③④． 【小问2详解】 略 25. 已知正方形，E为对角线AC上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接和的数量关系是______； 【模型应用】 （2）如图2，F是延长线上一点，交于点G．证明； 【模型迁移】 （3）如图3，F是延长线上一点，交于点G，．写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）解：，理由： 四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， （3），理由如下： ， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ， ． 【解析】 【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论； （2）根据四边形是正方形，以及，得出，因为，进行角的等量代换，即可证明出； （3）先判断出，由（1）知，，由（2）知，，即可判断出结论． 【详解】（1）证明：是正方形的对角线， ，， ， ， ； 故答案为： （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $