13.4课题学习最短路径问题2024-2025学年人教版数学八年级上册

课题学习 最短路径问题-原卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 2．小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 3．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在等边中，D，E分别是，的中点，且点P是线段上的一个动点，当的周长最小时，P点的位置在（    ） A．A点处 B．D点处 C．的中点处 D．三条高的交点处 5．如图，在四边形中，，P是边上的一动点，要使的值最小，则点P应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．8 B． C． D． 7．如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（　　）    A． B． C． D． 8．如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 10．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，蚂蚁爬行的最短路线有 条．    11．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 12．如图，是等边的中线，点E，F分别是上的动点，当最小时的度数为 ． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为 ．    14．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    三、解答题 15．（1）在图（1）中用尺规作图作一点，使至，的距离相等，且到，的距离相等； （2）如图（2），在上找一点，使最小．（保留作图痕迹） 16．已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出点A关于x轴的对称点的坐标为_______； (3)在x轴上找到一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P的坐标） 18．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找一点（保留作图痕迹），使的值最小，请直接写出点的坐标：（______，______）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课题学习 最短路径问题-解析 1．A 【分析】本题考查了轴对称的性质，先求得点A关于直线a的对称点，连接，即可求得答案． 【详解】如答图，点是点A关于直线a的对称点，连接，则与直线a的交点即为点P，此时最短． ∵与直线a交与点C， ∴点P的位置应选在C点． 同理，也可以找到点B关于直线a的对称点求得． 故选A． 2．C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 4．D 【分析】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题，解答关键找到当的周长最小时，P点的位置．连接，根据等边三角形的性质得到垂直平分，进而得到当点B、P、E共线时的周长最小，即可得到P点的位置为等边三角形高线的交点． 【详解】解：连接， ∵在等边中，D是的中点， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∵E是的中点， ∴当点B、P、E共线时，的周长最小，此时， ∵三角形的三条高线交于一点，且点P在线段上， ∴P点的位置在在三条高的交点处， 故选：D 5．D 【分析】此题考查轴对称的性质，明确轴对称的相关性质并正确作图，是解题的关键；作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，则的最小值为的长． 【详解】如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，则的最小值为的长，此时点P即为所求． ∵点与点A关于对称， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 6．B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 7．A 【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出α的度数． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，．    ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ，，， 同理，可得，，． ，， ． 又的周长为：， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 8．D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．D 【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴点A与点C关于对称． 连接与的交点为M，则此时点M为使周长最小时的位置． ∵点D是底边上的中点，且是等腰三角形， ∴．， ∵，， ∴． ∵， ∴的周长． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键． 10．6 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线． 【详解】解：根据两点之间线段最短可知，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线，分6种情况：①前面和下面展开在一起时；②前面和右面展开在一起时；③上面和后面展开在一起时；④上面和右面展开在一起时；⑤左面和后面展开在一起时；⑥左面和下面展开在一起时． 故答案为：6． 【点睛】本题考查正方体的展开图，线段的性质，具备一定的空间想象能力是解题的关键． 11．两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 12． 【分析】根据对称性和等边三角形的性质，过点B作于点F，交于点E，此时，最小，进而求解． 【详解】解：∵AD是等边 的中线， ∴， ∴， ∴， ∴当B、F、E位于同一直线，且时，最小． 过点B作于点F，交于点E， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点E和F的位置． 13．/6厘米 【分析】根据中垂线的性质，得到，进而得到，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 14．150 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．   ， ， ，，且，， 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 15．（1）见解析；（2）见解析 【详解】本题考查尺规作图、作最短路径，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的性质和作图方法是解答本题的关键． （1）连接，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线的交点即为所求的点； （2）先作点关于的对称点，再连接，与的交点，即为点． 【点睛】解：（1）如图，点即为所求， ； （2）如图，点即为所求， ． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点； （2）连接，作线段的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （3）连接并延长交直线于点，假设直线上有一点（异于点），连接、，点即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， 由线段垂直平分线的性质可得，此时； （3）解：如图，点即为所作， 在中，，则最大． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 17．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了图形的轴对称变换等知识，得出变换后对应点坐标位置及是解题关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特点得出各对应点坐标，顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点求解即可； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特点得出点B关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：点关于x轴的对称点坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，点P即为所求， ． 18．(1)见详解 (2)见详解 (3)0，． 【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）根据轴对称的性质，即可画出； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求， （2）解：如图2所示，即为所求： （3）解：如图2所示，点即为所求，， 故答案为：0，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$