2024-2025学年人教版九年级上册数学竞赛一元二次方程根的分布提优讲义

初中数学竞赛一元二次方程根的分布提优讲义 当一元二次方程有实数根时，两个根满足特定的条件，从方程对应的函数图像上可以通过系数满足相应的条件反映出来，或者是通过根与系数的关系，加以等价转化。 一、基本知识 一元二次方程对应的函数为 （1） 两根都小于0，需满足条件：。 （2） 两根都大于0，需满足条件：。 （3） 一根为正，另一根为负，需满足条件：。 （4） 两根都小于，需满足条件：。 （5） 两根都大于，需满足条件：。 （6） 一根大于,一根小于，需满足条件：。 二、基本结论 （1） 两根满足，需满足条件。 （2） 两根有且仅有一根满足，需满足的条件：。 （3） 一根满足，另一根满足，其中，需满足的条件： （4） 两根，其中需满足的条件： 当时， 当时， 三、经典例题 例题1 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 【解】 由二次方程有一正根和一负根，只需即，解得，所以实数的取值范围是。 例题2 已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 【解】 由 或或即为所求的范围。 例题3 已知二次函数与轴有两个交点，一个大于，一个小于，求实数的取值范围。 【解】 由即即为所求的范围。 例题4 已知二次方程只有一个正根且这个根小于，求实数的取值范围。 【解】 二次方程在区间上只有一个正根，则 所以实数的取值范围是。 四、专题训练 1、 设关于的方程有两个不相等的实数根，且，求实数的取值范围。 2、 设关于的方程有两个不相等的实数根，且，求实数的取值范围。 3、 设关于的方程的所有根都是比1小的正实数，求实数的取值范围。 4、 求函数的图像与轴交点的横坐标之和。 5、 方程的两根满足，求的值。 6、 若关于的二次方程至少有一个负根，求的取值范围。 7、 是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在与之间？如果有，试确定的取值范围；如果没有，试说明理由。 8、 关于的方程有一根满足，另一根，求实数的取值范围。 9、 关于的方程有一根小于，一根大于，求实数的取值范围。 10、 方程有一根不大于，另一根不小于. （1）求的取值范围； （2）求方程两根平方和的最大值与最小值。 11、证明：关于的方程的两根中，一个小于，另一个大于。 12、已知关于的方程的两个根均大于，求实数的取值范围。 13、已知方程有且只有一个根在区间内，求实数的取值范围。 五、参考答案 1、 解：由于，所以方程 设函数由于只需 即 实数的取值范围是 2、 解：方程有两个不相等的实数根，且 设函数则： 故实数R的取值范围是或 3、 解： 当，方程的根为，符合题意； 当，方程的根为，不符合题意； 时，，方程的判别式 又原方程的两根均大于且小于，只需 综上可知，实数m的取值范围或。 4、 解:设是方程的实根，则也是方程的实根。 即函数的图像与轴交点的横坐标之和为. 5、 解：设的两根为，则 得即 得 即 所以,则或， 把分别带入得 把分别带入得或 经检验不合题意，所以或 6、 解：方程的判别式，解得 即时，方程有实数根. 我们首先考虑其反面，即方程的两根均非负时，设函数，只需 可知时，方程的两根均非负。 所以，时，方程至少有一个负根。 7、 解若存在这样的实数k，使得二次方程有两个实数根， 且两根都在与之间，设则 此不等式组无解，故不存在这样的实数k. 8、解：设由题意可得： 所以当关于的方程 有一根满足，另一根 9、 解：设由题意可得解得 所以当时，关于的方程有一个根小于有一个根大于 10、 解：(1)方程的判别式 方程恒有两个不相等的实数根，设，则 (2)方程两根平方和 设由于m的取值范围是 知时，时， 故方程两根平方和的最大值为101，最小值为. 11、证明：方程变形为 设，则 因为方程的二次项系数为，常数项，所以方程的两根一个为正数，一个为负数。 所以方程的一个根小于，另一个根大于 12、 解： 化简得 即 所以当 时，方程的两根均大于。 13、解：①由即，解得； ② 由即得出或， 当时，根，即满足题意； 当时，根，故不满足题意。 综上分析，得出或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$