精品解析：四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题

秘密★启用前【考试时间：2024年10月30日 15：00—17：00】 绵阳市高中2022级第一次诊断性考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B，再根据集合交集运算即可得答案 【详解】由，可得，所以， 所以. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】若，则，因此， 当，时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，且满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得的范围，从而求得的最小值. 【详解】， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 4. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ） A. 30万元 B. 32万元 C. 36万元 D. 40万元 【答案】D 【解析】 【分析】先得求数据的中心点，代入得，再由求得即得. 【详解】，， 因过点，故，得， 故当时，，得， 故选：D 5. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论各个选项中函数的定义域、奇偶性和单调性即能得到答案. 【详解】A选项：函数定义为，，是偶函数，A选项不正确； B选项：函数定义为，，是奇函数， 函数在上单调递增，在上单调递减，B选项不正确； C选项：函数定义为，，是奇函数， 因为，所以函数在定义域内单调递增，C选项正确； D选项：函数定义为，，是奇函数， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，D选项不正确. 故选：C. 6. 已知为第一象限角，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出，再结合二倍角公式化简求值，即可得答案. 【详解】由题意知为第一象限角，且， 故，解得或（舍去）， 则， 故选：B 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：） A. 33h B. 35h C. 37h D. 39h 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出常数，然后再令即可解出. 【详解】依题意，，解得，即， 当时，，即， 解得， 所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h. 故选：C 8. 已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线； 由关于x的不等式， 可知，当时，，即有； 当时，，即有； 作出函数图象如图： 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个， 显然不能满足题意，故需满足，即， 解得，即的取值范围为， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 存在大于1的整数n，k，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】通过与的关系，作差得到数列是以6为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可. 【详解】由，可得 两式相减可得：， 又， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 所以，A正确； ，所以，B正确； 由，可得，显然，可判断不是等比数列，C错误； 若，即， 也即，显然不存在大于1的整数，使得等式成立，D错误； 故选：AB 10. 已知函数在上有且仅有4个零点，则（ ） A. B. 令，存在，使得为偶函数 C. 函数在上可能有3个或4个极值点 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据在上有且仅有4个零点，可确定，进而解得，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可. 【详解】 对于A， ，， 因为在上有且仅有4个零点， 所以，解得，∴，故A正确； 对于B，， 为偶函数，则，即， ∵∴取，为偶函数,满足题意，故B正确； 对于C，，， ∵，， ∴函数在上可能有4个或5个极值点， 故C不正确； 对于D，若，则， ∵，∴， ∴函数在上单调递增. 故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（ ） A. 可以等于零 B. 的解析式可以为： C. 曲线为轴对称图形 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可得或，分类讨论可得，判断A；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B；结合B的分析以及图象的平移可判断C；判断出是以为首项，为公差的等差数列，即可判断D. 【详解】令，可得，可得， 解得或， 当时，则可得， 则，与不恒为0矛盾，所以，故A错误； 令，可得，所以为偶函数， 因为是偶函数，所以的解析式可以为：，故B正确； 因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以曲线为轴对称图形，故C正确； 令，则可得， 所以，又， 解得，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记内角对边分别为.已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角性质及已知可得，再由余弦定理求边长. 【详解】由，则，即， 所以，则. 故答案为： 13. 已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 14. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的导数，对分类讨论，再结合的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案. 【详解】， 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，令，可得， 若，即时，则时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减， 所以是函数的极大值点，符合题意； 若即时，则时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减， 所以是函数的极小值点，不符合题意； 若即时，则时，，函数单调递增， 函数无极值点，不符合题意. 综上，当时，是函数的极大值点. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当时，分析函数单调性判断是否为极大值点，当时，根据的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． （1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为 （2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关 【解析】 【分析】（1）先填写列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案. （2）计算的知识，从而作出判断. 【小问1详解】 根据已知条件，填写列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 男生有报考军事类院校意向的概率为， 女生有报考军事类院校意向的概率为. 【小问2详解】 ， 所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且， （1）求的面积； （2）若，求A． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得. （2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理及，得， 整理得，而，所以的面积. 【小问2详解】 由（1）及正弦定理得，即， 于是，即， 整理得，即， 因此，即，由，得，解得或， 所以或. 17. 已知数列满足，且是与的等比中项． （1）若，求的值； （2）若，设数列的前项和分别为． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先得，，利用是与的等比中项可得； （2）（ⅰ）先求得，利用是与的等比中项可得，由累乘法可得，进而可得； （ⅱ）先得，利用等差数列前项和公式可得. 【小问1详解】 由可得，， 由题意可知是与的等比中项，故， 可得，即，又因，故， 故 【小问2详解】 （ⅰ）由得， 由题意可得，得， 故， 故， 又满足上式，所以，， 故， （ⅱ）， 18. 已知函数． （1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有唯一零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）有3条切线， （2） 时，在上单调递增，无递减区间；当时，在和上单调递增， 在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可； （2）求出导函数，对分类讨论即可得出函数单调区间； （3）根据函数的单调性，结合当时，，利用极大值建立不等式求解. 【小问1详解】 当时，，， 设切点为， 因为切线过点，所以切线斜率存在，故可设切线方程为， 则，化简可得， 即，由的判别式知方程有2个不等实根且不为1， 故有3个不等的实根， 所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故， 所以切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以或时，，单调递增， 当时，，单调递减； 当时，，所以或时，，单调递增， 当时，，单调递减； 综上，时，在上单调递增，无递减区间；当时，在和上单调递增， 在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 当时，，函数仅有1个零点1； 当时，由（2）知，的极大值为，且当时，， 若有唯一零点，则，解得，故， 当时，由（2）知，的极大值为，同理， 若有唯一零点，则，解得，故， 综上，实数a的取值范围 【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键. 19. 已知函数，在上的最大值为． （1）求实数a的值； （2）若数列满足，且． （ⅰ）当时，比较与1的大小，并说明理由； （ⅱ）求证：． 【答案】（1） （2） （i），理由： 由（1）知，， 所以，即， ，， 下面用数学归纳法证明，， 当时，，， 假设时，命题成立，则， 当时，有成立， 所以上述命题对，均有成立. （ii）当时，成立， 当时，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以， 即，又由（i）知，则， ，，， ，即，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数判断的单调性求出最大值得解； （2）（i）由已知结合基本不等式可得，利用数学归纳法证明，，（ii）先构造函数，并利用导数证明，从而得到，将所证明的式子放缩求和证明. 【小问1详解】 ，， 当时，，，，则在上单调递增， 当时，，，，则在上单调递减， ，解得. 所以实数的值为2. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题最后小问证明的关键是构造函数，并利用导数证明，从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前【考试时间：2024年10月30日 15：00—17：00】 绵阳市高中2022级第一次诊断性考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，且满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 4. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ） A. 30万元 B. 32万元 C. 36万元 D. 40万元 5. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为第一象限角，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：） A. 33h B. 35h C. 37h D. 39h 8. 已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 存在大于1的整数n，k，使得 10. 已知函数在上有且仅有4个零点，则（ ） A. B. 令，存在，使得为偶函数 C. 函数在上可能有3个或4个极值点 D. 函数在上单调递增 11. 已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（ ） A. 可以等于零 B. 的解析式可以为： C. 曲线为轴对称图形 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记内角对边分别为.已知，则______. 13. 已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 14. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． （1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且， （1）求的面积； （2）若，求A． 17. 已知数列满足，且是与的等比中项． （1）若，求的值； （2）若，设数列的前项和分别为． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 18. 已知函数． （1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有唯一零点，求实数a的取值范围． 19. 已知函数，在上的最大值为． （1）求实数a的值； （2）若数列满足，且． （ⅰ）当时，比较与1的大小，并说明理由； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $