广东省深圳市罗湖区罗湖外语初中学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

罗湖外语初中学校2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1．9的算术平方根是　　 A． B． C．3 D．81 2．下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是　　 A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，，2 3．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数和零没有平方根；④立方根等于本身的数只有1和．其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 4．已知直线经过点和点，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为　　 A． B． C． D． 7．一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 8．如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是　　 A． B． C． D． 二．填空题（每题3分，共15分） 9．二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 10．如果一个正数的两个不同平方根分别是和，则　　． 11．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 　　． 12．将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 　　． 13．如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为　　． 三．解答题（共61分） 14．（12分）计算下列各式： （1）； （2）＋； （3）； （4）()＋||＋． 15．（6分）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳：解：原式； 小亮：解：原式． （1）　　的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 16．（7分）如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17．（7分）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元，（元与（盒之间的函数关系式． （2）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 18．（9分）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的长； （3）点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 19．（9分）在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明利用所学过的函数知识，对函数的图象与性质进行了研究，并解决以下问题．其研究过程如下： （1）绘制函数图象：【列表】：如表是与的对应值： 0 1 2 3 4 3 1 1 ①　　； ②若点，都在该函数图象上，则　　； 【描点、连线】在平面直角坐标系中，画出该函数图象． （2）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是　　； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为　　　　　　； ③由图象可知，当时，的取值范围 　　　　　　． 20．（11分）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为 （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图4中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处． ①请写出、两点的坐标； ②若为等腰三角形，点在轴上，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．9的算术平方根是　　 A． B． C．3 D．81 【解答】解：9的算术平方根是3， 故选：． 2．下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是　　 A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，，2 【解答】解：，故选项符合题意； ，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； 故选：． 3．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数和零没有平方根；④立方根等于本身的数只有1和．其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意； ②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意； ③零有平方根，原说法不合题意； ④立方根等于本身的数还有0，原说法不合题意； 故选：． 4．已知直线经过点和点，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【解答】解：，将随的增大而减小，， ． 故选：． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在，中， ， ， ，， ， ，， ，，且点在第二象限， ， 故选：． 6．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由作法得为第二象限的角平分线， 所以， 即． 故选：． 7．一次函数、为常数且与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：选项中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项不符合题意； 选项中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项不符合题意； 选项中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项符合题意； 选项中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项不符合题意； 故选：． 8．如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：将点代入直线， 可得，解得， 该直线的解析式为， 将点代入直线， 可得， ， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 则， 由轴对称的性质可得， 的周长， 此时的周长取最小值， ， ， 的周长取最小值为． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 9．二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 【解答】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 10．如果一个正数的两个不同平方根分别是和，则正数　36　． 【解答】解：因为一个正数的两个不同平方根分别是和， 所以， 解得， 于是，， 即一个正数的两个不同平方根分别是6和， 所以这个正数的值为36， 故答案为：36． 11．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 　　． 【解答】解：展开图如图所示： 由题意，在△中，，， 蚂蚁爬行的最短路径长． 故答案为． 12．将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 　4　． 【解答】解：直线沿y轴向下平移6个单位长度得到：， 令，即，解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：4． 14．如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为　　． 【解答】解：根据折叠的性质可知，，，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 根据勾股定理求得， ， ，， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共7小题） （1）； （2）＋； （3）； （4）()＋||＋． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 15．求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳： 解：原式 小亮： 解：原式 （1）　小亮　的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 【解答】解：（1）， ， ， 小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； （2）， ， ， 则 ， 当时，原式． 16．（7分）如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 解：（1）连接， ， ，， 在和中， ， ． （2）， ，， ， 且，， ， ， ， ， ， 17．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元，（元与（盒之间的函数关系式． （2）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【解答】解：（1）由题意得： ， ， （2）根据（1）中解析式，，， 当元时，，解得：， 当元时，，解得：， ， 学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 18．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的长； （3）点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【解答】解：（1）由翻折变换的性质可知：， ， ． ． ． （2）设，； 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． ． （3）如图所示；连接． 于，于， ，． ， ，即． ． 19．（9分）在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明利用所学过的函数知识，对函数的图象与性质进行了研究，并解决以下问题．其研究过程如下： （1）绘制函数图象：【列表】：如表是与的对应值： 0 1 2 3 4 3 1 1 ①　　； ②若点，都在该函数图象上，则　　； 【描点、连线】在平面直角坐标系中，画出该函数图象． （2）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是　　； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为　　　　　　； ③由图象可知，当时，的取值范围 　　　　　　． 【解答】解：（1）①将代入函数得， ， ， 故答案为：3； ②由表格中数据可知：若，为该函数图象上不同的两点，则； 故答案为：2； （2）画出函数图象如图， ①根据函数图象可得，该函数的最小值是； ②进一步探究函数图象发现：方程的解为,； ③由图象可知，当时，的取值范围 　　　　　　． 20．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为 （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图4中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处． ①请写出、两点的坐标； ②若为等腰三角形，点在轴上，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 【解答】解：（1） ． （2）连接， 如图： ， ， ， ． （3）①设，则，又， 根据翻折可知：，， ． 在中，根据勾股定理，得 ，解得． ，． 答：、两点的坐标为，． ②如图： 当点在轴正半轴上时，， 设，则，解得， ，，； ，，，，； 当点在轴负半轴上时， ，，； ，， ， ，． 答：符合条件的所有点的坐标为：，、，；、、，． 学科网（北京）股份有限公司 $$