2024-2025学年人教版九年级上册数学竞赛一元二次方程培优讲义

初中数学竞赛一元二次方程培优讲义 形如的方程叫做一元二次方程。当时，一元二次方程的两根为。 专题知识 1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。 2.公式法是解一元二次方程最一般地方法： （1）时，方程有两个不相等的实数根 时，方程有两个相等的实数根 时，方程无实数根 二、经典例题 例题1.已知是有理数，方程有一个根是，求的值。 解：由题意得 即 而是有理数，必有，解得，所以的值为3. 例题2.求证：一元二次方程至多有两个不相等的实数根。 证明：用反证发 假设方程有三个不同的实数根、和，则有 ① ② ③ ①—②得 有④ 同理②—③有⑤ ④—⑤得必有 ，与已知条件矛盾， 所以一元二次方程至多有两个不相等的实数根。 例题3.已知首项系数不相等的两个一元二次方程及有一个公共根，求的值。 解：由题意知 由于 由于题中两个一元二次方程有一个公共根，则必有 或，此两式都可化为 由于所以或,解得 或，故。 例题4.满足的所有实数对中，求的最大值。 解：设，则代入得 ，即 方程的判别式为 所以的最大值是，此时实数对为。 三、专题训练 1.对于任意实数，方程总有一个实根1 (1)求实数，； (2)求另一个实根的范围。 2.设方程，求满足方程的所有根之和。 3.若关于的方程的解都是整数，求符合条件的所有实数的值。 4.对任意两个实数，，用表示其中较大的数，如：，求方程的解。 5.求方程的解。 6.小华将一本书的页码按的顺序相加，其中有一个页码被重复加了一次，结果得到一个错误的总和，求被多加的页码是多少？ 7.已知，求的值。 8.一个三角形的三边长分别是，另一个三角形的三边长分别是，其中，若两个三角形的最小内角相等，求的值。 9.设，是整数，方程有一个根是，求的值。 10.关于的方程有且仅有两个不等的实数根，求实数的取值范围。 11、为何值时，方程有一个根是？ 12、销售某种商品，如果单价涨，则售出的数量就得减少，为了使该商品的销售总金额最大，求实数的值。 13、求证：若是方程的一个实数根，则也是方程的实数根。 14、已知实数满足，求实数的最大值。 专项练习参考答案 1.解：（1）方程总有一个实数根1 有 即对任意实数成立 故必有 （2）将代入原方程得： 从而，整理得 于是 ∴ ∴ 2.解：（1）当，即时 方程变为方程 解得（舍去） （2）当，即 方程变为方程不合题意 （3），即时 方程变为方程 解得(舍去) ∴方程的所有根之和为 3.解:（1）时，得； （2）时，得； （3）且时解得， 当时，是整数，这时； 时，是整数，这时 综上所述，符合条件的所有实数的值为。 4.解：（1）时， ∴，取 （2）时， ∴ 所以，方程的解是或 5.由于 原方程即为 解得：或 6、解：设全书共有页，被多加的页码为，，有 而，即 ，而 经验算知满足条件的只有，代入 被多加的页码是. 7、解：由得 8、解：∆ABC中。设三边长分别是AB=AC=，BC=，D是AB上一点，且AD=，，是∆ABC的最小内角，设，则以，为三角形的三边长的最小内角也是，且此三角形与∆ADC全等，所以DC=， 由∆ABC与∆CBD相似，于是即，得方程 ，解得 9、解：由于 由题意得 即， 而是整数，必解得 的值为-3 10、解：（1）时，方程无解； （2） ,时，，不合题意； （3） 时，方程，整理得： 或 而方程的判别式有两个不相等的实数根， 则必无实数根，其判别式，得 综上可知，实数的取值范围是。 11、解：有一个根是1，只需，因此 ，求得。 12、解：设原商品单价为元，售出数量为，则销售总金额为 实数的值为25时，该商品的销售总金额最大。 13、证明：由于是方程的一个实数根 必然有 即 而 所以，也是方程的实数根。 14、解：由于 所以也是关于的一元二次方程的两个实数根。 其判别式，即 得，当时， 所以，的最大值是。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$