2024--2025学年北师大版数学七年级上册期中复习讲义3-找规律+新定义+动态数轴

2024--2025学年北师版七年级上学期中复习讲义3-数轴+新定义+动态数轴 一、找规律 1．如图，下面图形是用棋子按照一定规律摆成的，按照这种摆法，第个图形中共有棋子（    ）    A．枚 B．枚 C．枚 D．枚 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的变化规律．观察每个图形中棋子的个数的规律即可发现有关棋子个数的通项公式，从而得到答案． 【详解】解：第一个图形中有个棋子， 第二个图形中有个棋子， 第三个图形中有个棋子， ……， ∴第n个图形中共有个棋子， 故选：D． 2．用火柴棒按下图中的方式搭图形如图所示：照这样的规律摆下去，搭第10个图形需要火柴棒的根数为（        ）    A．50 B．51 C．41 D．40 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题考查规律型图形的变化，根据已知图形得出第n个图形中，火柴棒的根数为，根据火柴棒根数与图形的关系即可求解，解题关键在于找出图形的变化规律． 【详解】解：由图形知，第①个图形中，火柴棒的根数为， 第②个图形中，火柴棒的根数为， 第③个图形中，火柴棒的根数为， ∴第n个图形中，火柴棒的根数为， 当时，， 即第10个图形需要的火紫棒的根数是， 故选：C． 3．如图，图①中有4个黑点，图②中有9个黑点，图③中有个黑点，…，按这样的规则排列下去，则图⑨中的黑点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了整式的图形类规律，探索出图形规律为图中有个黑点是解题的关键，难度较小． 【详解】解：依题意， 图①中有4个黑点，则， 图②中有9个黑点，则， 图③中有个黑点，则， 所以图中有个黑点， 当时，， 故选：B 4．如图所示的图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第3个图形的周长为 ，第n个图形的周长为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 11 / 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化类，找到表示规律的方法是解题的关键．根据已知图形得出第1个图形的周长为，第2个图形的周长为，第3个图形的周长为， 【详解】解：∵第1个图形的周长为， 第2个图形的周长为， 第3个图形的周长为， …… ∴第n个图形的周长为， 故答案为：11；． 5．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑩个图中棋子的颗数是（    ）    A．84 B．99 C．103 D．122 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索问题，根据图形得出规律为：第个图中，棋子数量为：，当时，代入即可求解，观察图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图中，棋子数量为：， 第②个图中，棋子数量为：， 第③个图中，棋子数量为：， 第个图中，棋子数量为：， 当时，， 故选C． 6．已知n为正整数，的末位数字记为．如时，，则的值为 ． 【答案】4050 【难度】0.85 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索问题，根据题意得出规律每5个循环一次，分别为：6，4，0，0，0，进而可得，根据，进而可求解，准确找出规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ，，，，，，，，， 则每5个循环一次，分别为：6，4，0，0，0， ， ， ， 故答案为：4050． 7．观察下列数表规律，第列第二排的数为 （用含的代数式表示）． 第列 第列 第列 第列 第列 …… 第列 第一排 …… …… 第二排 …… …… 第三排 …… …… 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与符号规律，利用规律解决问题．观察表中的数据可知：第二排的数（第一排对应的数第二排对应的数），因此分别找出第一排和第二排的数字规律即可解答． 【详解】第一排第列的数为：， 第三排第列的数为：， 第列第二排的数为：， 故答案为：． 8．已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】-1011 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值a2n=-n，序数为奇数时，其最后的数值a2n+1，从而得到答案． 【详解】解：a1=0， a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1， a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1， a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2， a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2， a6=-|a5+5|=-|-2+5|=-3， a7=-|a6+6|=-|-3+6|=-3， … 以此类推， 经过前几个数字比较后发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n=-n， 序数为奇数时，其最后的数值a2n+1， 则a2022=-1011 故答案为：-1011 【点睛】本题考查数字的变化规律问题，解题关键是通过题中要求列出前几项数字寻找规律． 9．（1）正整数按图中的规律排列，数字在第a行，第b列，则 ， （2）如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，在第c行第d列，则 ． 【答案】 48 74 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）找出规律：第一列的数为自然数的平方，而，则第行的第3列数为，从而完成解答． （2）由三角形数阵可得出，第n行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数，由其特点求出第n行从左数第一个数，即可得出结果． 【详解】解：（1）观察图中知：每行的第一个数为该行行数的平方， 而，则第行的第3列数为； 即 故答案为：48； （2）由题意得：第n行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数， ∴第n行从左数第1个数分母为：， 分子为：，且分母为偶数时为负， ∴第23行第1个数为：， ∴第23行第3个数是：． ∴， 故答案为：74． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确理解题意，找出数字之间的规律，利用规律解决问题．关键是找出每行第一个数的规律． 10．已若，试确定结果的末尾数字是 ． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数乘方的应用、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出的末尾数字是5，再归纳类推出的末尾数字与的末尾数字相同，即为8，由此即可得． 【详解】解：当时，的末尾数字是5， 当时，， ∵，末尾数字是2， ，末尾数字是4， ，末尾数字是8， ，末尾数字是6， ，末尾数字是2， ∴，，，，（其中为正整数）的末尾数字是以为一个循环， ， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即为8， ∴当，结果的末尾数字是， 故答案为：7． 11．如图，将正整数按此规律排列成数表，则分布在表中的第 行，第 列． 【答案】 64 7 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出前n行的数字个数． 根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前n行的数字个数，从而可以得到在图中的位置． 【详解】解：由图可知， 第一行1个数字， 第二行2个数字， 第三行3个数字， …， 则第n行n个数字， 前n行一共有个数字， ，， ∴是表中第64行第7列， 故答案为：64，7． 12．如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…..依此规律，第4个图案有 个黑棋子，第个图案有 个黑棋子．    【答案】 19 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细观察并发现图形的变化规律，难度不大．仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系，找到规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图①有个黑棋子； 图②有个黑棋子； 图③有个黑棋子； 图④有个黑棋子； …， 图有个黑棋子， 故答案为：①19，②． 13．十九世纪的时候，与发明了“一棵树”称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列、从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层的，，，，…，按照这个规律，若位于第m层第n个数（从左往右数），则 ， ． 【答案】 8 65 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索 【分析】由图可知，向右发散的都是真分数，规律是→，向左发散的都是假分数，规律是→，根据此规律，逆向推理即可． 【详解】解：由图可知，向右发散的都是真分数，规律是→，向左发散的都是假分数，规律是→， ∴→→→→→→→， ∴在第8层，即， 由图知，左边有2个数，左边有4个数，左边有8个数，左边有16个数，左边有32个数， ∴左边有个数，即， 故答案为：8；65． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形归纳出向右发散的都是真分数，规律是→，向左发散的都是假分数，规律是→，这一变化规律是解题的关键． 14．如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数字类规律探索、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了数字的变化类，解题关键是观察数列，找出规律．观察数列可知：所有数的绝对值是从2开始的偶数，且第n行有个数，奇数行第一个数为正，偶数行第一个数为负，且所有行都为正负数相间排列，按照此规律，求出前10行一共有多少个数，按照此规律，找出第11行从左向右第4个数的值即可． 【详解】解：观察所给数列可知： 所有数的绝对值是从2开始的偶数，且第n行有个数， ∴前10行一共有个数， 又∵从2开始的第100个偶数是200，即第10行最后一个数的绝对值是200， ∴第11行第一个数的绝对值是202， ∵奇数行第一个数为正，偶数行第一个数为负，且所有行都为正负数相间排列， ∴第11行，从左向右第4个数为， 故答案为：． 15．如图，将一个边长为的正方形纸片分割成个部分，部分是边长为的正方形纸片面积的一半，部分是部分面积的一半，部分是部分面积的一半，依次类推，可求得阴影部分的面积是，受此启发，的值为 ，类比探究的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示式、数字类规律探索 【分析】由图形的面积可知算式的结果刚好是大正方形的面积减去阴影部分的面积，据此可求解． 【详解】解：根据题意可知：， 令， 则， 故有：， 即， ． 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，有理数的混合运算，解决本题的关键是根据图形的变化明确题意，求出所求式子的值． 16．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：______； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：______（n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，写出算式，再根据乘法分配律的逆运算，将提到前面，再进行计算即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：． （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：． （3）解： ． 17．阅读材料： 求的值． 解：设．① 将等式①的两边同乘2，得．② ②－①得， 即 即 请仿照此法计算： (1)直接写出的值为______； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，含乘方的有理数混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算加法即可得到答案； （2）设，则，上述两式子相减得到，则； （3）设，则，两式子相加得到，求出，再计算的值即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ． 18．观察下列等式的规律． ，， ，…… 解答下列问题： (1)第5个等式为______，第个等式为______（用含的式子表示，为正整数）； (2)设，求的值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据等式中，分母的变化规律即可得； （2）先归纳类推出（其中为正整数），从而可得，再根据（1）的结论计算即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则第5个等式为， 第个等式为， 故答案为：，． （2）解：， 则（其中为正整数）， 所以 ． 19．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)正，负，平方相加；平方 (3)存在，当，时，；当，时， 【难度】0.65 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义的运算及规律探究，根据已知等式正确归纳出运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据题干已知运算等式，归纳运算法则即可； （3）由判断得到或，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ① ； ② ； （2）解：由题意得 归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的平方． 故答案：正，负，平方相加；平方． （3）解：存在，理由如下 ， 或； ， ， 是整数， ①当，时， 此时，，符合题意； ； ②当，时， ， 此时，，不符合题意； ③当，时， ， 此时，，符合题意； ； ④当，时， ， 此时，，不符合题意； 综上所述：当，时，；当，时，． 20．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． 21．综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，， 独立思考： (1)解答王老师提出的问题：第个式子为 ，第个式子为 ； 实践探究： (2)在（）中找出规律，并利用规律计算：； 问题拓展： (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决： (4)求的值． 【答案】(1) ；； ； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】（）根据所给的式子的形式进行求解即可； （）利用（）的规律进行求解即可； （）仿照（）的解答方式进行求解即可； （）把各项进行整理，再利用题中的规律进行求解即可； 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 【详解】（1）根据，，，， ∴第个式子为，第个式子为， 故答案为：，； （2） ， ， ； （3） ， ， ； （4） ， ， ． 二、新定义 22．x，y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：，那么 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解新运算法则是解题关键．根据已知规定运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a2+ab﹣5，例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，解题的关键是理解定义，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 24．在数轴上有理数 ，分别用点 表示，我们称点 是点 的 “差倒数点”． 已知数轴上点 的差倒数点为点 ；点 的差倒数点为点 ；点 的差倒数点为点 这样依次得到点，，，... ，若点，，，，... 在数轴上分别表示的有理数为，，，....． 则当时，代数式 的值为 ． 【答案】2135 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的计算，先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2135． 25．有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在直线上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是 ． 【答案】或0或4或20 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，分类讨论：当点M在点A的左侧时，当点M在点A和点B之间时，当点M在点B的右侧时，由数轴上两点之间的距离公式即可求解，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设点M表示的数为， 当点M在点A的左侧时，由得： ， 解得：， 当点M在点A和点B之间时， 由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 当点M在点B的右侧时，由得： ， 解得：， 综上所述，点M表示的数为或0或4或20， 故答案为：或0或4或20． 26．数学高速发展，各种程序应运而生，天府软件园的程序员发明了数学中的一种新数运算，它们取名“和倒倍数”，a是不为的数，他们把称作a的“和倒倍数”，如的“和倒倍数”是，已知，是的“和倒倍数”，是的“和倒倍数”，……依次类推，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查代数式变化的规律，能根据题意用含n的代数式表示出是解题的关键．依次求出，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，且是的“和倒倍数”， 所以， 依次类推， ， ， ， …， 所以（n为大于1的整数）． 当时， 故答案为：． 27．规定一种“”运算：，如．那么 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】原式利用新定义化简即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 28．规定：用表示大于的最小整数，例如等；用表示不大于的最大整数，例如．如果整数满足关系式：，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、新定义下的实数运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查实数的定义新运算，有理数的混合运算，解方程的方法，理解定义新运算的规则，掌握有理数的混合运算及解方程的方法是解题的关键． 根据定义新运算的规则分别把，的值表示出来，再解方程即可求解． 【详解】解：∵用表示大于的最小整数，用表示不大于的最大整数， ∴得， ， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 解得，， 故答案为：． 29．观察下列等式： 用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝a2b﹣2ab﹣2．如：1⊕3＝12×3﹣2×1×3﹣2＝﹣5． （1）求（﹣2）⊕3的值． （2）化简（﹣1）⊕[3⊕（a+1）]． 【答案】（1）22；（2）9a+1 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算 【分析】（1）根据规定a⊕b＝a2b﹣2ab﹣2，可以计算出所求式子的值； （2）根据规定a⊕b＝a2b﹣2ab﹣2，可以计算出所求式子的值，注意先算括号里面的． 【详解】解：（1）由题意可得， （﹣2）⊕3 ＝（﹣2）2×3﹣2×（﹣2）×3﹣2 ＝4×3+12﹣2 ＝12+12﹣2 ＝22； （2）由题意可得， （﹣1）⊕[3⊕（a+1）] ＝（﹣1）⊕[32×（a+1）﹣2×3（a+1）﹣2] ＝（﹣1）⊕[9（a+1）﹣6（a+1）﹣2] ＝（﹣1）⊕（9a+9﹣6a﹣6﹣2） ＝（﹣1）⊕（3a+1） ＝（﹣1）2×（3a+1）﹣2×（﹣1）×（3a+1）﹣2 ＝1×（3a+1）+2（3a+1）﹣2 ＝3a+1+6a+2﹣2 ＝9a+1． 【点睛】本题考查整式的加减运算，理解题意正确列式计算是解题关键． 30．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 8165 【难度】0.15 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解 【分析】根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 是递减数， ∴， ∴， ∴这个数为； 故答案为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴， ∵， ∴， ∵，能被整除， ∴能被9整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∵最大的递减数， ∴， ∴，即：， ∴最大取，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． 31．如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如，方程和为“友好方程”．若关于x的方程与方程是“友好方程”，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，先解方程得到，则根据“友好方程”的定义得到是方程的解，据此得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于x的方程与方程是“友好方程”，5的倒数是， ∴是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 32．关于y的整式，当y取任意一组相反数n与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式” (1)若整式A是关于y的“奇整式”，当y取3与时，对应的整式值分别为，，则______． (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由． (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是______，“奇整式”是______． ②当y分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是______． 【答案】(1)0 (2)式子是“奇整式”，理由见解析 (3)①；；②35 【难度】0.4 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）将代替y代入观察结果与原式的结果关系即可判断； （3）①将原式各项中偶次项和常数项组合在一起即为偶整式，其余项的和即为奇整式； ②将各数值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解． 【详解】（1）解：由定义可知，整式的值互为相反数， ∴， 故答案为：0； （2）是奇整式， 理由：将代入中可得； ∵与互为相反数， ∴该式为奇整式； （3）解：①， ∵，， ∴是偶整式，是奇整式． 故答案为：；； ②由于是偶整式，是奇整式， ∴当y分别取，，，0，1，2，3时， 的值分别为10,5,2,1,2，5,10； 当y取互为相反数的值时的值也互为相反数，即和为0； ∴这七个整式的值之和是； 故答案为：35． 【点睛】本题考查了整式，涉及到了乘方的性质和运算等知识，解题关键是能正确理解偶整式和奇整式的定义，能对整式进行变形以及代入数值进行计算等． 33．是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，……，依此类推，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】解：， ，，，，， 该数列每4个数为一周期循环， ， ． 故答案为：． 34．对于一个四位正整数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“进步数”，如：1245就是一个进步数．对于一个“进步数”M记为，它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，当时，M的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用代数式表示式、数字类规律探索 【分析】本题考查了列代数式，数位上的数字的特征，根据“进步数”的定义判断求解即可，利用数位上的数字特征是解题的关键． 【详解】解：设千位数为，百位为，十位数为，个位数为， ∴， ∴， ， 当时，， 则，即， ∵每个位上的数都要大于且小于等于， ∴，，，， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴最大为，最小为，最大为，最小为， 当千位数最大时，最大， ∴最大的，，即， 当千位数最小时，最小， ∴最大的，，即， ∴， 故答案为：． 35．如图，每个小正方形的面积均为1． 等式：；      等式：；          等式：； 认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第个等式，用含的等式表示这个等式，并通过计算说明这个等式的正确性； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 【答案】(1)； (2)； (3)2200个． 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据规律解答即可； （2）利用规律可得第n个等式：，证明见解析； （3）根据主视图，左视图的定义以及题目要求计算即可． 【详解】（1）解：由题可看出， 第一个等式有两个加数， 第二个等式有三个加数， 第三个等式有4个加数，且是从2开始的连续偶数…… 所以第5个等式有6个加数， 第5个等式为：； （2）解：猜想第n个等式：； 理由： 左边 右边． 故等式成立． （3）解：∵从正面看到的是左图，从上面看到的是由400个小正方形组成的大正方形，可知最底层从正面看、左面看都有20个小正方形， ∴这个几何体最多共有：（个）． 答：这个几何体最多共有2200小正方体． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 36．一般情况下，等式不成立，但有些数可以使它成立，如．我们称使等式成立的一对数，为“互制数对”，记为，．若，是“互制数对”，则 ；若，是“互制数对”，则代数式的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值．利用“互制数对”的定义计算即可求出，利用“互制数对”的定义化简，得，化简后整体代换计算即可． 【详解】解：，是“互制数对”， ， 解得； 是“和谐数对”， ， ， ． 故答案为：， 37．有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： (1)___________，___________； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)3，2 (2)3 (3)或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）分别根据中点的公式和两点之间距离公式计算即可； （2）根据已知等式求出x值，代入计算即可； （3）根据已知等式求出x值，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； ， 故答案为：3,2； （2）∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查了一元一次方程，两点间的距离，中点数的定义，解题的关键是熟读题干，理解所给公式的意义． 38．符号表示一种新运算，运算示例如下： ，，，，……符号g表示另一种新运算，运算示例如下： ，，，，……． 利用以上新运算，完成下列问题是： (1)分别求、的值； (2)用含的代数式表示与，并比较与的大小； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)， (2)，， (3)， 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查数字的变化规律，新定义，整式的化简求值． （1）观察各运算示例可得，，据此可解答； （2）由题意可得，，因此得到，，从而可比较出大小； （3）根据新定义的运算与整式的运算化简式子，再代入求值即可． 【详解】（1）∵，，，，…… ∴， ∴； ∵，，，，…… ∴， ∴． （2）由（1）可得，， ∴ ∵ ∴ （3）∵，， ， 当，时， 原式． 三、B卷-解答--数轴动态问题 39．阅读材料：已知多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点 对应的数分别为a，b． (1)点A表示的数是 ，点表示的数是 ； (2)点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过多少秒，点A与点B相距4个单位? (3)点分别从点出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点，设的值为y，在移动过程中，y值是否发生变化? 若不变，求出值；若变化，说明理由． 【答案】(1)，10 (2)经过5秒或9秒，点A与点B相距4个单位 (3)y值不发生变化， 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、用代数式表示式、多项式的项、项数或次数、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据多项式定义得出a、b值即可； （2）设经过t秒，点A和点B相距4个单位，据题意得出或，求出方程的解即可； （3）先求出和的长，再求出y即可． 【详解】（1）解：多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为， ， 数轴上两点 对应的数分别为a，b， 点 A 表示的数是，点表示的数是10； 故答案为：，10； （2）设经过t秒，点A和点B相距4个单位， 或， 解得：或， 答：经过5秒或9秒，点A与点B相距4个单位； （3）解：设时间为x秒， 点分别从点出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点， ， ， 的值为y， ， 值不发生变化，． 【点睛】本题考查了多项式定义、数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解此题的关键． 40．探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． (1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B 表示的数 ； (2)若，则 ． (3)拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； (4)数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以 同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4 【答案】(1) (2)6或10 (3)当t为秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2 (4)当t为或或或秒时，P，Q之间的距离为4 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值的意义、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点B表示的数； （2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号； （3）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （4）分，或三种情况，找出关于t的一元一次方程． 【详解】（1）数轴上点B表示的数． 故答案为：； （2）∵， ∴或， ∴或． 故答案为：6或10． （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t， 依题意得：， 即或， 解得：或． 答：当t为秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2． （4）P到达C点时间：（秒）， Q到达C点时间：（秒）． 当时，P、Q都没有到达C点， 点P表示的数为，点Q表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 当时，Q已经到达C点，P没有到达C点， 点P表示的数为，点Q表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 当时，P、Q都已经到达C点 点P表示的数为30，点Q表示的数为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：当 t 为或或或秒时，P，Q 之间的距离为 4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是运用分类讨论的思想去解决问题． 41．如图，将一辆小车放在数轴（单位长度为1cm）上，小车左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．其中点A，点B表示的数分别为a，b．    (1)若将小车沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将小车沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得______，______． (2)若P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，则x的值为______． (3)动点P从点A出发向右以每秒1个单位的速度匀速运动，同时另一动点Q恰好从B点出发，以3个单位/秒的速度也向左运动，请问：经过多少时间时，的距离为5个单位长度？ 【答案】(1)13，20 (2)或 (3)经过秒或秒时，的距离为5个单位长度． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可求得一辆小车的长，根据用数轴上的点表示有理数即可求解； （2）根据点P在数轴上的位置，分情况进行讨论，得出答案，根据数轴上两点之间的距离为这两点所对应的数的差的绝对值，列方程求出结果； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点的距离为5，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根木棒长为， 则这根木棒的长为． ，， 所以图中A点所表示的数为13，B点所表示的数为20； 故答案为：13，20； （2）解：由题意得，， ①当时，方程可变为： ， 解得，； ②当时，方程可变为： ，此方程无解； ③当时，方程可变为： ， 解得，， 因此x的值为或， 故答案为：或； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 依题意，得：， 即或， 解得：或． 答：经过秒或秒时，的距离为5个单位长度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．注意分情况讨论点所在的位置． 42．如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知点的速度是点A的速度的4倍．（速度单位：单位长度/秒）    (1)求出点A、点运动的速度，并在数轴上标出A、两点从原点出发运动3秒时的位置； (2)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点的正中间？ (3)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点同时从点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到点追上A点时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)点A的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，见解析 (2)运动1.8秒时，原点恰好处在A、两点的正中间 (3)100单位长度 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设点A的速度为每秒个单位长度，则点的速度为每秒个单位长度，根据3秒后，两点相距15个单位长度列出方程，解方程即可； （2）设秒时，原点恰好处在点A、点的正中间，根据两个点到原点距离相等，列出方程，解方程即可； （3）先求出点追上点A所用的时间，根据这个时间恰好是点从开始运动到停止运动所花的时间，求出点C运动的路程即可． 【详解】（1）解：设点A的速度为每秒个单位长度，则点的速度为每秒个单位长度， 依题意有：， 解得：， 点A的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度． 画图如下：    （2）解：设秒时，原点恰好处在点A、点的正中间， 根据题意，得， 解得， 即运动1.8秒时，原点恰好处在A、两点的正中间． （3）解：设运动秒时，点追上点A， 根据题意，得， 解得， 即点追上点A共用去5秒，而这个时间恰好是点从开始运动到停止运动所花的时间， 因此点行驶的路程为：（单位长度）． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据等量关系列出相关的方程． 43．如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足． AI (1)点A表示的数为 ；点B表示的数为 ； (2)若数轴上有两动点P，Q，点P以4个单位/秒从A向右运动，同时点Q以2个单位/秒从点B向左运动，问经过几秒P，Q相遇？ (3)在（2）的条件下，动点P、Q出发经过多少秒，能使？ 【答案】(1)，14； (2)经过3秒P，Q相遇； (3)4.2秒或21秒 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，二次方的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，解题的关键是设运动时间是t秒，用t表示出P、Q表示的数． （1）根据绝对值的非负性和二次方的非负性求出a、b的值，即可得出答案； （2）设运动时间是t秒，则P表示的数是，Q表示的数是，根据题意列出方程，解方程即可； （3）根据P表示的数是，Q表示的数是，表示出，根据，列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：，14； （2）解：设运动时间是t秒，则P表示的数是，Q表示的数是， 根据题意得：， 解得：， ∴经过3秒P，Q相遇； （3）解：∵P表示的数是，Q表示的数是， ∴， 根据题意得：， 解得或， 答：动点P、Q出发经过4.2秒或21秒，能使． 44．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律，若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式不含项和x的一次项，点M、N分别从A、O出发，沿数轴正方向运动，M的速度为m个单位长度每秒，N的速度为n个单位长度每秒，设运动的时间为t秒． 【综合运用】 (1)直接写出 　； 　； (2)当时，请回答下列问题： ①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为 　；点N表示的数为 　． ②当t为何值时，恰好有？ (3)M、N在运动过程中，取线段AN的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)5；3 (2)①，；②或 (3) 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）令项和x的一次项的系数为0，可求出a、b的值，再根据绝对值的定义求出； （2）①根据移动的速度、时间，求出移动的路程，再根据数轴表示数的意义，确定所表示的数，②求出两点之间的距离，列方程求解即可； （3）用含有t的代数式表示，根据绝对值的定义及线段的长度总为一个固定的值求出答案即可． 【详解】（1）∵不含项和x的一次项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：，3； （2）①点M从A出发，沿数轴正方向运动，所以M点表示的数为， N从O出发，沿数轴正方向运动，所以N点表示的数为， 又， 所以，M点表示的数为，N点表示的数为， 故答案为：，； ②∵， ∴当时，即， ∴， 解得或； （3）∵点C为线段中点， ∴C点表示的数为， ∴ ∵线段的长度总为一个固定的值， ∴， ∴． 【点睛】本题考查数轴，一元一次方程的应用，绝对值，线段等知识，理解“数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为”是解决问题的关键． 45．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足． (1)填空： ， ， ； (2)现将点A、点B和点C分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过多长时间，的长度是长度的两倍； ②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，A、B、C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？ 【答案】(1)，1，5 (2)①经过秒，的长度是长度的两倍；②或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、绝对值方程、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据最小正整数、绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）①先用表示点、、表示的数，进而用绝对值表示出、，再根据列出关于的方程，求其即可；②分三种情况：当点为点和点的中点时（点在点的左侧），当点为点和点的中点时，当点为点和点的中点时（点在点的右侧）．根据“线段的中点表示的数为”，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，和满足． ∴,，， ∴，， 故答案为：，1，5； （2）解：①t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为． ∴，． ∵， ∴， ∴或 ∴或（舍去）．     ∴经过秒，的长度是长度的两倍； ②当点B为点A和点C的中点时， 得：，解得：（舍去）；     当点A为点B和点C的中点时， 得：，解得：．     当点C为点A和点B的中点时（点A在点C的右侧）， 得：，解得：．     综上，当t为或时，A、B、C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解绝对值方程、一元一次方程的应用、绝对值及偶次方非负性，利用分类讨论的思想求解是解决问题的关键． 46．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是【A，B】的金点. 例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为3．表示数2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的金点，但点C不是【B，A】的金点. 知识运用： （1）如图1，点B 【D，C】的金点（填“是”或“不是”）；点D是【 ， 】的金点. （2）如图1， 若点G是【A，C】的金点，则点G在数轴上表示的数是 . （3）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－8，点B所表示的数为20．现有一点P从点B出发，向左运动，若点P运动到A点停止，点P在数轴上某处时，此时点P、A和B中恰有一个点为其余两点的金点，则点P表示的数为 （直接写出答案）. 【答案】（1）是，B,A （2）或 （3）13或-1或或 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离 【详解】试题分析：根据定义做题即可. 分两种情况进行讨论. 分四种情况进行讨论. 试题解析：点到点的距离是点到点的距离是符合金点的定义，故点是 的金点. 点到点的距离是点到点的距离是 点是的金点. 故答案为是，. 点是的金点，则点在数轴上表示的数是. 分两种情况进行讨论： 当点在之间时，方程为： 解得： 当点在点右侧时，方程为： 解得： 故答案为或 点在数轴上表示的数是 分四种情况进行讨论： 当点是的金点时：方程为： 解得： 当点是的金点时：方程为： 解得： 当点是的金点时：方程为： 解得： 当点是的金点时：方程为： 解得： 故答案为或或或 47．如图，在数轴上点表示数，点表示，点表示数．单项式次数是，是这个单项式的系数，． (1) ______， ______ ， ______； (2)若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向左运动．点与点同时出发，经过多少秒后，线段的中点到点的距离为； (3)在（2）的条件下，当点与点相遇后，两点都立即掉头，速度不变，此时点开始从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，点运动的时间为秒，当时，求点在数轴上对应的数． 【答案】(1)，，； (2)秒或秒； (3)或． 【难度】0.4 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含代数式表示，，运动后所表示的数． （1）根据单项式 次数是，是这个单项式的系数， ，可得，，； （2）设运动时间为秒，则的中点表示的数是 ，可得 ，即可解得答案； （3）求出，经过秒相遇，相遇点表示的数为 ，，掉头后，表示的数为，表示的数为，表示的数为 ，可得，，故 ，解出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵单项式次数是，是这个单项式的系数，， ∴，，或(舍去), （2）解：设运动时间为秒，则表示的数是，表示的数是， ∵表示的数是, ∴线段的中点表示的数是， ∵点到点的距离为 ∴， 解得：或 ， ∴经过秒或秒后，线段的中点到点的距离为． （3）解：由 ，解得 ， ∴、经过秒相遇，相遇点表示的数为， 、掉头后，表示的数为 ， 表示的数为， 表示的数为， ∴， ， ∵， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴表示的数为或． 48．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【难度】0.65 【知识点】化简绝对值、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四：点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 49．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． (1)已知数轴上A点对应的数是40，点B对应的数是，则A、B两点之间的距离为_____，线段AB的中点表示的数是_____． (2)在（1）条件下，如图1，O表示原点，动点P、T分别从B、O两点同时出发向左运动，同时动点Q从点A出发向右运动，点P、T、Q的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒，2个单位长度/秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，如果点M为线段的中点，点N为线段的中点，线段与有何关系？并说明理由． (3)如图2，若A、B、C三点对应的数分别为，0，30．当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为5个单位长度/秒、3个单位长度/秒、1个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，当运动时间为多少秒时恰好满足：． 【答案】(1)120， (2)，理由见解析 (3)2秒或35秒 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握一元一次方程的应用，数轴是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的表示方法求解即可； （2）首先根据题意表示出点P，Q，T表示的数，然后根据题意表示出和求解即可； （3）首先设运动时间为x秒时恰好满足：，然后分别表示出点A，B，C运动后表示的数，进而表示出点M和N表示的数，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：A、B两点之间的距离为， 线段的中点表示的数是， 故答案为：120，； （2）解：， 理由：根据题意知：P表示的数是，T表示的数是，Q表示的数是， ∴，， ∴， ∵点M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴M表示的数是，N表示的数是， ∴， ∴； （3）解：设运动时间为x秒时恰好满足：， ∵若A、B、C三点对应的数分别为，0，30， ∴A运动后表示的数是，B运动后表示的数是，C运动后表示的数是， ∵点M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴M表示的数是，N表示的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 答：当运动时间为2秒或35秒时，恰好满足：． 50．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6 （1）第　 　 次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远； （2）当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 【答案】（1）4；（2）总路程为：36π，两圆与数轴重合的点之间的距离为：8π；（3）小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为-9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为-18π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为-3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为-6π 【难度】0.65 【知识点】有理数加减混合运算的应用、数轴上的动点问题 【分析】（1）根据题意，分别求出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，即可得出结论； （2）根据题意，计算出每次运动的路程，然后求和即可求出大圆运动的总路程，然后求出运动6次后，大圆与数轴的公共点到原点的距离即可； （3）根据大圆和小圆的运动方向，分类讨论，分别求出对应的运动时间，从而求出两圆与数轴重合的点所表示的数． 【详解】解：（1） 第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π|＝2π 第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π|＝2π 第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π 第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π 第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π 第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π ∵10π＞8π＞6π＞4π＞2π＝2π 所以第4次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远． 故答案为4； （2）总路程为：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π         此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π 答：当大圆结束运动时，大圆运动的路程为36π；此时两圆与数轴重合的点之间的距离为8π．       （3）当它们同向运动时，运动时间为：秒， 若同时向右运动，小圆与数轴重合的点所表示的数为9×π=9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为9×2π=18π， 若同时向左运动，小圆与数轴重合的点所表示的数为-9×π=-9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为-9×2π=-18π，           当它们反向运动时，运动时间为：秒， 若小圆向左、大圆向右运动时，小圆与数轴重合的点所表示的数为-3×π=-3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为3×2π=6π， 若小圆向右、大圆向左运动时，小圆与数轴重合的点所表示的数为3×π=3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为-3×2π=-6π 综上所述：小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为-9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为-18π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为-3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为-6π． 【点睛】此题考查的是有理数的加减法应用和数轴与动点问题，掌握有理数加、减法的意义和行程问题中的等量关系是解决此题的关键． 51．如图1．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定:的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题: 如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b,点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． （1） ， ， ； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； （3）点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后， ①请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究，若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）-3，-1，5；（2）3；（3）①不变，14；②见解析 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、绝对值非负性 【分析】（1）利用|a+3|+（c-5）2=0，得a+3=0，c-5=0，解得a，c的值，由b是最大的负整数，可得b=-1； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）①由 3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+2）求解即可； ②由3BC-4AB=3（4t+6）-4|3t-2|．求解即可． 【详解】解：（1）∵|a+3|+（c-5）2=0， ∴a+3=0，c-5=0， 解得a=-3，c=5， ∵b是最大的负整数， ∴b=-1． 故答案为：-3，-1，5． （2）（5-3）÷2=1， 对称点为1-（-1）=2，1+2=3． 故答案为：3． （3）①AB=2t+t+2=3t+2， BC=3t-t+6=2t+6， 3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+2）=14． 故3BC-2AB的值不随着时间t的变化而改变； ②AB=|2t+t-2|=|3t-2|， BC=3t+t+6=4t+6， 3BC-4AB=3（4t+6）-4|3t-2|． 当3t-2＜0时，即＜＜ 原式=24t+10，3BC-4AB的值随着时间t的变化而改变； 当3t-20时，即时， 原式=26，3BC-4AB的值不随着时间t的变化而改变． 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 52．如图1，已知线段，线段，且． （1）求线段的长． （2）如图2，若点M为的中点，点N为的中点，求线段的长． （3）若线段以每秒1个单位长度的速度，沿线段向右运动（当点D运动到与点B重合时停止），点M为的中点，点N为的中点，设运动时间为t，当时，求运动时间t的值． 【答案】（1）13；（2）6；（3） 【难度】0.4 【知识点】整式的加减运算、解一元一次方程（二）——去括号、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）先求出BD，利用线段和差关系求出BC即可； （2）先求出AC得到AD，根据点M为的中点，点N为的中点，分别求出AM、BN，即可求出MN的长； （3）先求出AC得到AD，根据点M为的中点，点N为的中点，用t分别表示出AM、BN，根据即可求出t的值. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴． ∵点M是中点， ∴． ∵点N是中点， ∴， ∴ =15-9 =6； （3）∵运动时间为t， 则， ． ∵点M是中点， ∴ ． ∵， ∴， ， 又∵点N是中点， ∴ ， 当时， ， ∴ 解得：，满足题意， ∴时，． 【点睛】此题考查线段中点的性质，线段和差的计算，整式的加减计算，解一元一次方程. 53．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)若，则等式表示的几何意义是什么？直接写出的值； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)数轴上表示数和2的两点之间的距离为3，或 (2)6 (3)当时，代数式的值最小为4 【难度】0.85 【知识点】化简绝对值、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、化简绝对值： （1）根据题中给出的数轴上两点之间的距离的计算公式即可求解； （2）根据当时化简绝对值即可求解； （3）利用数形结合思想即可求解； 熟练掌握数轴上两点之间的距离公式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：等式表示的几何意义是数轴上表示数和数2的两点之间的距离为3， 由得：， 当时，则， 当时，则． （2）依题意得： 当时， ． （3）代数式表示数轴上表示数的点与数1、数3和数5的点的距离之和， 如图所示：    当表示数的点在点B处时，代数式有最小值， 即当时，代数式的值最小为4． 54．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【知识应用】 如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为-2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（），根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ①A，C两点之间的距离___________，线段的中点表示的数为___________． ②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为___________． (2)若点M为的中点，当t为何值时，． 【拓展提升】 (3)在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为-4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段的中点为点K，当t为何值时，． 【答案】(1)①，7，；②； (2)或； (3)或． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）①根据两点间距离公式，线段的中点公式代入即可得出答案； ②根据题意可以直接得出答案； （2）点M表示为：，根据题意可得：，即可得出答案； （3）分两种情况：①当时，运动t秒后，点G表示，点H表示，得出，②当时，运动t秒后，点G表示，点H表示-4，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为-2， ∴，线段的中点表示的数为， 故答案为：7，； ②∵点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动， ∴t秒后点P表示的数为：， 故答案为：； （2）解：点M表示为：， ∵， ∴，即， ∴， 解得或； （3）解：①当时，运动t秒后，点G表示，点H表示， K点表示， ， 解得， ②当时，运动t秒后，点G表示，点H表示-4， K点表示， ， 解得， 综上所述，当或． 【点睛】本题考查数轴，两点间的距离，一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 55．已知四点在数轴上的位置如图所示，它们对应的数分别为，且，．动点同时分别从点出发，相向而行，点的运动速度为每秒4个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度，线段所在部分为“交换区”，规则为：点从点进入“交换区”，其运动速度变为点原来的运动速度，点从点进入“交换区”，其运动速度变为点原来的运动速度，出“交换区”之后都分别以各自原来的运动速度继续前行，设运动的时间为秒． (1)分别求的值； (2)当两点相遇时，求的值及相遇点在数轴上所对应的数； (3)当点在点的左侧且满足时，求的值． 【答案】(1)， (2)当两点相遇时，，相遇点在数轴上所对应的数为 (3)的值为4或或 【难度】0.4 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）由，且如图点，点分别在原点两侧，可求，则，由，可得，然后求的值即可； （2）由题意得，点从到需秒，点从到需要秒，即与在线段上相遇，依题意得，，计算求解，然后求相遇点在数轴上所对应的数即可； （3）分当点在，间，点在，间时，即时，当点在，间，点在，间时，即时，当点、都在，间，且在相遇前，即时，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，且如图点，点分别在原点两侧， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴的值为，； （2）解：由题意得，点从到需秒，点从到需要秒， ∴与在线段上相遇， ∵， 依题意得，， 解得，， ∴相遇点在数轴上所对应的数为， ∴当两点相遇时，，相遇点在数轴上所对应的数为； （3）解：当点在，间，点在，间时，即时，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得，； 当点在，间，点在，间时，即时，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得，； 当点、都在，间，且在相遇前，即时，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，的值为4或或． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题．熟练掌握数轴上两点之间的距离，根据题意正确的列方程是解题的关键． 56．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：已知点在数轴上表示数为，数轴上的任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______；应用这个知识，请直接写出当______时，的最小值为______． AI   (2)应用二：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依次类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段的长度为______；应用这个原理，请计算：．    (3)应用三：如图，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上． ①如果正半轴的线缠绕了5圈，负半轴的线缠绕了3圈，求绕在点C上的所有数字和； ②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴方向平移一个单位后再开始绕，求绕在点B且绝对值不超过100的所有数之和． AI   【答案】(1)；0；3 (2)； (3)①120；② 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的表示方法列出式子即可； （2）第1次剪掉的长度是；第1次剪掉后剩下的长度是； 第2次剪掉的长度是； 第2次剪掉后剩下的长度是； 第3次剪掉的长度是；第3次剪掉后剩下的长度是…由此规律得出第5次剪掉剩下的长度是，…第7次剪掉后剩下的长度是；；即可求出. （3）①分别找出正半轴以及负半轴在点C上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和. ②绕在点B且绝对值不超过100的所有数，求和即可. 【详解】（1）已知点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为；应用这个知识，当时，有最小值为3. 故答案为：；0；3； （2）第1次剪掉的长度是；第1次剪掉后剩下的长度是； 第2次剪掉的长度是； 第2次剪掉后剩下的长度是； 第3次剪掉的长度是；第3次剪掉后剩下的长度是…由此规律得出第5次剪掉剩下的长度是，…第7次剪掉后剩下的长度是； 所以第5次剪掉剩下的长度是，； （3）①正半轴绕在点上的数有：9，21，33，45，57； 负半轴绕在点上的数有：，，， 它们的和为： ②正半轴绕在点上的数有：5，17，29，41，53，65，77，89共八个数； 负半轴绕在点上的数有：，，…，共十七个数， 所有绕在点上的正数和为： 所有绕在点上的负数和为： 所有绕在点上的数之和为： 【点睛】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离公式，综合性比较强，难度较大. 57．已知有理数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，且a，b满足． (1)填空：______，______，______； (2)若数轴上有P，Q两个动点，分别从A，B两点沿数轴同时相向而行，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度是点P速度的1.5倍．当点Q运动至A点处，P，Q两点同时停止运动．取线段的中点C，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，线段的长度与的长度相等； ②定义：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点．请问是否存在t值，使得A，P，Q三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点？ 【答案】(1)，3，7 (2)①或；②当三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点时，或或或 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查绝对值、平方数的非负性，数轴上两点之间距离的计算方法，一元一次方程与路程的问题的综合，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据绝对值、平方数的非负性即可求解； （2）根据数轴上两点之间距离的计算方法分别表示出点表示的数，运用一元一次方程解路程问题的方法即可求解． 【详解】解：（1）已知， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，3，7； （2）解：①∵t秒后，P点表示的数为：，Q点表示的数为：， ∴，， 根据题意可得，，即， 解得，或； ②根据题意得，，， 第一种情况，当时，即， 解得，； 第二种情况，当，即， 解得，； 第三种情况，当时，即， 解得； 第四种情况，时，即， 解得，； 综上所述，三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点时，或或或． 58．如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1)a＝　　，b＝　　，c＝　　； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，求与点B重合的点表示的数； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒；探究：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2)与点B重合的点表示的数是3 (3)，值随着时间的变化而改变，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、相反数的定义、整式的加减运算 【分析】（1）根据相反数，负整数的定义和多项式的次数的定义解答即可； （2）由题意容易得出折叠点表示的数是，再根据与的距离可得答案； （3）分别用含t的式子表示出与，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵a是的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴， 故答案为：； （2）当与重合时，折叠点是， ∴， 故与点B重合的点表示的数是； （3）， ∴，， ∴； 答：，值随着时间的变化而改变． 【点睛】此题考查了列代数式，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 59．如图，，两点在数轴上对应的数是，，且，满足．现有点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒． (1)______，______； (2)当时，、两点之间的距离为______； (3)在运动过程中，线段、、中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，根据题意，画出图形，运用分类讨论的思想，是解答本题的关键． （1）根据绝对值与平方的性质，得到，，由此得到答案． （2）根据，，求出当时，点对应的数是，由此求出答案． （3）根据题意，可以分三种情况：当时，当时，当时，分别画出每种情况对应的图形，列出方程进行计算，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， ，， ，， 故答案为：，． （2）根据题意，当时， 点向右运动了：个单位， ，， 当时，点对应的数是， 故、两点之间的距离为． （3）在运动过程中，线段、、中存在两条线段相等. ，， 分三种情况： ①当时， 如图，若为的中点，则，即， 解得； 如图，若，重合，则，即， 解得； ②当时， 如图，若为的中点，则，即， 解得； ③当时， 如图，若为的中点，则，即， 解得； 如图，若，重合，则，即， 解得； 综上所述，当或或或或时，线段、、中存在两条线段相等． 60．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称它是其他两点的“2距点”．如图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“2距点”．    (1)点A，C的其他三个“2距点”所表示的数是______，______，______； (2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“2距点”的是点______； (3)若点M表示的数是，点N表示的数是，点P为数轴上的一个动点． ①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“2距点”，求此时点P表示的数； ②若点P从点N以每秒3个单位长度的速度沿x轴正方向出发，当点P，M，N中有一个点恰好是另外两个点的“2距点”时，请直接写出点P的运动时间t的值． 【答案】(1)，， (2) (3)①或或；②秒或秒或秒． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设“2距点”所表示的数为，则有①当此点在A的左侧时，，②当此点在A与之间时，③当此点在C的右侧时，解方程即可求解； （2），，所以，可判断是点，的“2距点”，依次进行判断即可求解； （3）设点表示的数为，①（ⅰ）点在点与点之间，当时，当时，（ⅱ）点在点的左侧，此时，列方程即可求解；②可得 点表示的数是，分（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，（ⅲ）当时，共三种情况，即可求解． 【详解】（1）解：设“2距点”所表示的数为，则有 ①当此点在A的左侧时， ， 解得：； ②当此点在与之间时， 解得：； ③当此点在C的右侧时， 解得：； 故答案：，，． （2）解：由题意得 ，， 所以， 故是点，的“2距点”； ，， 所以， 故不是点，的“2距点”； ，， 所以， 故是点，的“2距点”； ，， 所以， 故是点，的“2距点”； ，， 所以， 故是点，的“2距点”； 故答案：． （3）解：设点表示的数为， ①（ⅰ）点在点与点之间， 当时 ， 解得：； 当时， ， 解得：； （ⅱ）点在点的左侧，此时， 解得：； 故点表示的数为或或； ②解：由题意得, 此时点表示的数是， （ⅰ）当时 ， 解得：； （ⅱ）当时， ， 解得：； （ⅲ）当时， ， 解得：； 故点的运动时间秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了“2距点”新定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义，根据新定义列出方程是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年北师版七年级上学期中复习讲义3-找规律以及新定义、数轴动态问题 一、找规律 1．（七年级下·四川绵阳·期末）如图，下面图形是用棋子按照一定规律摆成的，按照这种摆法，第个图形中共有棋子（    ）    A．枚 B．枚 C．枚 D．枚 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）用火柴棒按下图中的方式搭图形如图所示：照这样的规律摆下去，搭第10个图形需要火柴棒的根数为（        ）    A．50 B．51 C．41 D．40 3．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，图①中有4个黑点，图②中有9个黑点，图③中有个黑点，…，按这样的规则排列下去，则图⑨中的黑点个数为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图所示的图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第3个图形的周长为 ，第n个图形的周长为 ．（用含n的代数式表示） 5．（23-24七年级上·四川成都·期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑩个图中棋子的颗数是（    ）    A．84 B．99 C．103 D．122 6．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知n为正整数，的末位数字记为．如时，，则的值为 ． 7．（23-24七年级上·四川成都·期中）观察下列数表规律，第列第二排的数为 （用含的代数式表示）． 第列 第列 第列 第列 第列 …… 第列 第一排 …… …… 第二排 …… …… 第三排 …… …… 8．（七年级上·江苏南京·期中）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为 ． 9．（23-24七年级上·四川成都·期中）（1）正整数按图中的规律排列，数字在第a行，第b列，则 ， （2）如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，在第c行第d列，则 ． 10．（23-24七年级上·四川成都·期中）已若，试确定结果的末尾数字是 ． 11．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，将正整数按此规律排列成数表，则分布在表中的第 行，第 列． 12．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…..依此规律，第4个图案有 个黑棋子，第个图案有 个黑棋子．    13．（七年级上·浙江台州·期中）十九世纪的时候，与发明了“一棵树”称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列、从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层的，，，，…，按照这个规律，若位于第m层第n个数（从左往右数），则 ， ． 14．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第4个数为 ． 15．（七年级上·四川成都·期中）如图，将一个边长为的正方形纸片分割成个部分，部分是边长为的正方形纸片面积的一半，部分是部分面积的一半，部分是部分面积的一半，依次类推，可求得阴影部分的面积是，受此启发，的值为 ，类比探究的值为 ． 16．（四川省成都市双流区成都天府中学-2024学年七年级上学期期中数学试题）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：______； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：______（n为正整数）； (3)求． 17．（23-24七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 求的值． 解：设．① 将等式①的两边同乘2，得．② ②－①得， 即 即 请仿照此法计算： (1)直接写出的值为______； (2)求的值； (3)求的值． 18．（23-24七年级上·四川成都·期中）观察下列等式的规律． ，， ，…… 解答下列问题： (1)第5个等式为______，第个等式为______（用含的式子表示，为正整数）； (2)设，求的值． 19．（23-24七年级上·四川成都·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 20．（23-24七年级上·四川成都·期中）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 21．（23-24七年级上·四川自贡·期中）综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，， 独立思考： (1)解答王老师提出的问题：第个式子为 ，第个式子为 ； 实践探究： (2)在（）中找出规律，并利用规律计算：； 问题拓展： (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决： (4)求的值． 二、新定义 22．（23-24七年级上·四川成都·期中）x，y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：，那么 ． 23．（七年级上·四川巴中·期末）已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a2+ab﹣5，例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是 ． 24．（23-24七年级上·四川成都·期中）在数轴上有理数 ，分别用点 表示，我们称点 是点 的 “差倒数点”． 已知数轴上点 的差倒数点为点 ；点 的差倒数点为点 ；点 的差倒数点为点 这样依次得到点，，，... ，若点，，，，... 在数轴上分别表示的有理数为，，，....． 则当时，代数式 的值为 ． 25．（23-24七年级上·四川成都·期中）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在直线上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是 ． 26．（23-24七年级上·四川成都·期中）数学高速发展，各种程序应运而生，天府软件园的程序员发明了数学中的一种新数运算，它们取名“和倒倍数”，a是不为的数，他们把称作a的“和倒倍数”，如的“和倒倍数”是，已知，是的“和倒倍数”，是的“和倒倍数”，……依次类推，则 ． 27．（23-24七年级上·四川成都·期中）规定一种“”运算：，如．那么 ． 28．（23-24七年级上·四川成都·期中）规定：用表示大于的最小整数，例如等；用表示不大于的最大整数，例如．如果整数满足关系式：，则 ． 29．（七年级上·四川成都·期中）观察下列等式： 用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝a2b﹣2ab﹣2．如：1⊕3＝12×3﹣2×1×3﹣2＝﹣5． （1）求（﹣2）⊕3的值． （2）化简（﹣1）⊕[3⊕（a+1）]． 30．（重庆·中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ． 31．（23-24七年级上·四川成都·期中）如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如，方程和为“友好方程”．若关于x的方程与方程是“友好方程”，则 ． 32．（23-24七年级上·四川成都·期中）关于y的整式，当y取任意一组相反数n与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式” (1)若整式A是关于y的“奇整式”，当y取3与时，对应的整式值分别为，，则______． (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由． (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是______，“奇整式”是______． ②当y分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是______． 33．（九年级上·辽宁沈阳）是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，……，依此类推，则 ． 34．（23-24七年级上·四川成都·期中）对于一个四位正整数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“进步数”，如：1245就是一个进步数．对于一个“进步数”M记为，它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，当时，M的最大值与最小值的和为 ． 35．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，每个小正方形的面积均为1． 等式：；      等式：；          等式：； 认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第个等式，用含的等式表示这个等式，并通过计算说明这个等式的正确性； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 36．（23-24七年级上·四川成都·期中）一般情况下，等式不成立，但有些数可以使它成立，如．我们称使等式成立的一对数，为“互制数对”，记为，．若，是“互制数对”，则 ；若，是“互制数对”，则代数式的值为 ． 37．（七年级上·广东深圳·期末）有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： (1)___________，___________； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 38．（23-24七年级上·四川成都·期中）符号表示一种新运算，运算示例如下： ，，，，……符号g表示另一种新运算，运算示例如下： ，，，，……． 利用以上新运算，完成下列问题是： (1)分别求、的值； (2)用含的代数式表示与，并比较与的大小； (3)先化简，再求值：，其中，． 三、B卷-解答--数轴动态问题 39．（23-24七年级上·四川成都·期中）阅读材料：已知多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点 对应的数分别为a，b． (1)点A表示的数是 ，点表示的数是 ； (2)点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过多少秒，点A与点B相距4个单位? (3)点分别从点出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点，设的值为y，在移动过程中，y值是否发生变化? 若不变，求出值；若变化，说明理由． 40．（七年级上·广东深圳·期中）探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． (1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B 表示的数 ； (2)若，则 ． (3)拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； (4)数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以 同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4 41．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，将一辆小车放在数轴（单位长度为1cm）上，小车左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．其中点A，点B表示的数分别为a，b．    (1)若将小车沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将小车沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得______，______． (2)若P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，则x的值为______． (3)动点P从点A出发向右以每秒1个单位的速度匀速运动，同时另一动点Q恰好从B点出发，以3个单位/秒的速度也向左运动，请问：经过多少时间时，的距离为5个单位长度？ 42．（七年级上·湖北武汉）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知点的速度是点A的速度的4倍．（速度单位：单位长度/秒）    (1)求出点A、点运动的速度，并在数轴上标出A、两点从原点出发运动3秒时的位置； (2)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点的正中间？ (3)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点同时从点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到点追上A点时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 43．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足． AI (1)点A表示的数为 ；点B表示的数为 ； (2)若数轴上有两动点P，Q，点P以4个单位/秒从A向右运动，同时点Q以2个单位/秒从点B向左运动，问经过几秒P，Q相遇？ (3)在（2）的条件下，动点P、Q出发经过多少秒，能使？ 44．（23-24七年级上·四川成都·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律，若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式不含项和x的一次项，点M、N分别从A、O出发，沿数轴正方向运动，M的速度为m个单位长度每秒，N的速度为n个单位长度每秒，设运动的时间为t秒． 【综合运用】 (1)直接写出 　； 　； (2)当时，请回答下列问题： ①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为 　；点N表示的数为 　． ②当t为何值时，恰好有？ (3)M、N在运动过程中，取线段AN的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 45．（23-24七年级上·四川成都·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足． (1)填空： ， ， ； (2)现将点A、点B和点C分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过多长时间，的长度是长度的两倍； ②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点．试问：当t为何值时，A、B、C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？ 46．（七年级上·江苏镇江·期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是【A，B】的金点. 例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为3．表示数2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的金点，但点C不是【B，A】的金点. 知识运用： （1）如图1，点B 【D，C】的金点（填“是”或“不是”）；点D是【 ， 】的金点. （2）如图1， 若点G是【A，C】的金点，则点G在数轴上表示的数是 . （3）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－8，点B所表示的数为20．现有一点P从点B出发，向左运动，若点P运动到A点停止，点P在数轴上某处时，此时点P、A和B中恰有一个点为其余两点的金点，则点P表示的数为 （直接写出答案）. 47．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示，点表示数．单项式次数是，是这个单项式的系数，． (1) ______， ______ ， ______； (2)若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向左运动．点与点同时出发，经过多少秒后，线段的中点到点的距离为； (3)在（2）的条件下，当点与点相遇后，两点都立即掉头，速度不变，此时点开始从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，点运动的时间为秒，当时，求点在数轴上对应的数． 48．（23-24七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 49．（23-24七年级上·四川成都·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． (1)已知数轴上A点对应的数是40，点B对应的数是，则A、B两点之间的距离为_____，线段AB的中点表示的数是_____． (2)在（1）条件下，如图1，O表示原点，动点P、T分别从B、O两点同时出发向左运动，同时动点Q从点A出发向右运动，点P、T、Q的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒，2个单位长度/秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，如果点M为线段的中点，点N为线段的中点，线段与有何关系？并说明理由． (3)如图2，若A、B、C三点对应的数分别为，0，30．当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为5个单位长度/秒、3个单位长度/秒、1个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，当运动时间为多少秒时恰好满足：． 50．（七年级上·福建·期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6 （1）第　 　 次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远； （2）当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 51．（七年级上·河南漯河·期中）如图1．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定:的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题: 如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b,点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． （1） ， ， ； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； （3）点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后， ①请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究，若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 52．（七年级上·四川成都·期末）如图1，已知线段，线段，且． （1）求线段的长． （2）如图2，若点M为的中点，点N为的中点，求线段的长． （3）若线段以每秒1个单位长度的速度，沿线段向右运动（当点D运动到与点B重合时停止），点M为的中点，点N为的中点，设运动时间为t，当时，求运动时间t的值． 53．（23-24七年级上·四川成都·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)若，则等式表示的几何意义是什么？直接写出的值； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 54．（七年级上·浙江宁波·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【知识应用】 如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为-2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（），根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ①A，C两点之间的距离___________，线段的中点表示的数为___________． ②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为___________． (2)若点M为的中点，当t为何值时，． 【拓展提升】 (3)在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为-4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段的中点为点K，当t为何值时，． 55．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知四点在数轴上的位置如图所示，它们对应的数分别为，且，．动点同时分别从点出发，相向而行，点的运动速度为每秒4个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度，线段所在部分为“交换区”，规则为：点从点进入“交换区”，其运动速度变为点原来的运动速度，点从点进入“交换区”，其运动速度变为点原来的运动速度，出“交换区”之后都分别以各自原来的运动速度继续前行，设运动的时间为秒． (1)分别求的值； (2)当两点相遇时，求的值及相遇点在数轴上所对应的数； (3)当点在点的左侧且满足时，求的值． 56．（23-24七年级上·四川成都·期中）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：已知点在数轴上表示数为，数轴上的任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______；应用这个知识，请直接写出当______时，的最小值为______． AI   (2)应用二：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依次类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段的长度为______；应用这个原理，请计算：．    (3)应用三：如图，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上． ①如果正半轴的线缠绕了5圈，负半轴的线缠绕了3圈，求绕在点C上的所有数字和； ②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴方向平移一个单位后再开始绕，求绕在点B且绝对值不超过100的所有数之和． AI   57．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知有理数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，且a，b满足． (1)填空：______，______，______； (2)若数轴上有P，Q两个动点，分别从A，B两点沿数轴同时相向而行，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度是点P速度的1.5倍．当点Q运动至A点处，P，Q两点同时停止运动．取线段的中点C，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，线段的长度与的长度相等； ②定义：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点．请问是否存在t值，使得A，P，Q三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点？ 58．（七年级上·福建厦门·期中）如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1)a＝　　，b＝　　，c＝　　； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，求与点B重合的点表示的数； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒；探究：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 59．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，，两点在数轴上对应的数是，，且，满足．现有点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒． (1)______，______； (2)当时，、两点之间的距离为______； (3)在运动过程中，线段、、中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由． 60．（23-24七年级上·辽宁沈阳）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称它是其他两点的“2距点”．如图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“2距点”．    (1)点A，C的其他三个“2距点”所表示的数是______，______，______； (2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“2距点”的是点______； (3)若点M表示的数是，点N表示的数是，点P为数轴上的一个动点． ①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“2距点”，求此时点P表示的数； ②若点P从点N以每秒3个单位长度的速度沿x轴正方向出发，当点P，M，N中有一个点恰好是另外两个点的“2距点”时，请直接写出点P的运动时间t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$