四川省南充市高坪中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

试卷第 1页，共 4页 学科网(北京 )股份有限公司 四川省南充市高坪中学 2024-2025 学年高二 10 月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出 题：谭 禄 审 题：邓微微 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．若 x是实数，则下列事件是不可能事件的是( ) A． 1 0x   B． 2 2 3 0x x   C． 2 2 1 0x x   D． 1 2x x  2．对于空间向量 �= (1，2，3) ， �= (�，4，6) ，若 �//� ，则实数 � = ( ) A．2 B．1 C．-1 D．-2 3．如图，空间四边形OABC中， , ,OA a OB b OC c       ，点M 为 BC中点，点 N在侧棱OA 上，且 2ON NA ，则MN   ( ) A． 1 2 1 2 3 2 a b c     B． 2 1 1 3 2 2 a b c    C． 2 1 1 3 2 2 a b c     D． 1 1 1 2 2 2 a b c    4．已知两点  3,2A  ，  2,1B ，过点  0, 1P  的直线 l与线段 AB(含端点)有交点，则直线 l的 斜率的取值范围为( ) A．  1, 1 B．    , 1 1,   C． 1 ,1 5     D．  1, 1, 5         5．设A ， B为两个随机事件，以下命题正确的为( ) A．若A ， B是对立事件，则 ( ) 1P AB  B．若A ， B是互斥事件， 1 1( ) , ( ) 3 2 P A P B  ，则 1( ) 6 P A B  C．若A ， B是独立事件， 1 2( ) , ( ) 3 3 P A P B  ，则 1( ) 9 P AB  D．若 1 1( ) , ( ) 3 2 P A P B  ，且 1( ) 3 P AB  ，则A ， B是独立事件 6. 已知直线 1 2: , :l y ax b l y bx a    ，当 ,a b满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（ ） A． B． C． D． 试卷第 2页，共 4页 学科网(北京 )股份有限公司 7．已知 EF是棱长为 8 的正方体的一条体对角线，点M 在正方体表面上运动，则ME MF   的 最小值为( ) A．0 B． 16 C． 32 D． 48 8. 图 1 是中国古代建筑中的举架结构， , , ,AA BB CC DD    是桁，相邻桁的水平距离称为步， 垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 1 1 1 1, , ,DD CC BB AA是举， 1 1 1 1,, ,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 ,0.5, ,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA     ．已知 1.0,1.0 2312  kkkk ，且直线OA的斜率 为 0.725，则 3k  ( ) A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 二､多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列说法正确的是( ) A． 1 1 y y x x   ＝k不能表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k的直线方程 B．在 x轴，y轴上的截距分别为 a，b的直线方程为 1 x y a b   C．过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 2 1 2 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x y y y y x x      D．直线 y＝kx+b与 y轴的交点到原点的距离为 b 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过两点 A（m，1），B（2﹣3m，2），且其倾斜角为 135°，则 m的值为3 4 B．“ 1a   ”是“直线 1 0ax y   与直线 2 1 0x ay a    互相平行”的必要不充分条件 C．若 0, 0AB BC  ，则直线 0Ax By C   不经过第二象限 D．过点 (1, 2)P 且在 x轴， y轴截距相等的直线方程为 3 0x y   试卷第 3页，共 4页 学科网(北京 )股份有限公司 11．如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD是正方形， SA 平面 ABCD， SA AB ，O、 P分别是 ,AC SC的中点，M 是棱 SD上的动点，则( ) A．OM AP B．存在点M ，使 / /OM 平面 SBC C．存在点M ，使直线OM 与 AB所成的角为30 D．点M 到平面 ABCD与平面 SAB的距离和为定值 三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在空间直角坐标系中，点      1,2,0 , 0,1,0 , 2,2,2A B P ，则 P到直线 AB的距离为 __________． 13．已知 (2, 1,3), ( 1, 4, 2)a b       ， c (4,5, )  ，若 , ,a b c    三向量不能构成空间向量的一组 基底，则实数的值为 . 14. 过点 与 轴、 轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 _________． 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)已知△ABC的三个顶点分别为 A(﹣3，0)，B(2，1)，C(﹣2，3)，试求： (1)边 AC所在直线的方程； (2)BC边上的中线 AD所在直线的方程； (3)BC边上的高 AE所在直线的方程. 16.(本小题满分 15 分)如图，四面体 OABC 的所有棱长都是 1，D，E 分别是 OA，BC 的中 点，连接 DE. (1)计算 DE 的长； (2)求点 O 到平面 ABC 的距离． 试卷第 4页，共 4页 学科网(北京 )股份有限公司 17.(本小题满分 15 分)已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审， 若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面 试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、 乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率 分别是 1 3 ， 1 2 ， 1 4 ，面试合格的概率分别是 1 2 ， 1 3 ， 2 3 ． (1)求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (3)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率． 18. (本小题满分 17 分)如图，在以 A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形 ABCD 与四边形 ADEF均为等腰梯形， / / , / /EF AD BC AD， 4, 2AD AB BC EF    ， 10, 2 3ED FB  ，M 为 AD的中点． (1)证明： / /BM 平面CDE； (2)求二面角 F BM E  的正弦值． 19.(本小题满分 17 分)在空间直角坐标系Oxyz中，过点  0 0 0, ,P x y z 且以  , ,u a b c  为方向向 量的直线方程可表示为  0 0 0 0x x y y z z abc a b c       ，过点  0 0 0, ,P x y z 且以  , ,u a b c  为 法向量的平面方程可表示为 0 0 0ax by cz ax by cz     ． (1)若直线  1 1: 1 2 xl y z     与  2 1: 1 4 2 y zl x     都在平面 内，求平面 的方程； (2)在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，点C与坐标原点O重合，点A 在平面Oxz内，平面 ABC以  1, 1, 3m     为法向量，平面 1 1ABB A 的方程为3 8x y z   ，求点A 的坐标； (3)若集合   , , 2M x y z x y z    中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积 和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 试卷第 1页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 南充市高坪中学 2024-2025 学年高二 10 月月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B B D C C A AC ABC ABD 1．若 x是实数，则下列事件是不可能事件的是（ ） A． 1 0x   B． 2 2 3 0x x   C． 2 2 1 0x x   D． 1 2x x  【答案】C 【分析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数 x满足式子，就不属于不可能事件， 故对错误选项使用特殊值法即可，对正确选项则需要证明. 【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数 x满足式子，就不属于不可能事件， 则 对于 A，令 2x   ，则 1 2 1 1 0x        ，故选项 A 不是不可能事件，故 A 错误； 对于 B，令 0x  ，则 2 22 3 0 2 0 3 3 0x x        ，故选项 B 不是不可能事件，故 B 错误； 对于 C，由于  22 2 1 1 0x x x     ，故不存在实数 x使得 2 2 1 0x x   ，即选项 C 是不可 能事件，故 C 正确； 对于 D，令 1x  ，则 1,1 2 1 2 1 1x x       ，即 1 2x x  ，故选项 D 不是不可能事件， 故 D 错误； 故选：B. 2．对于空间向量 �= (1，2，3) ， �= (�，4，6) ，若 �//� ，则实数 � = （ ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【知识点】空间中的点的坐标；空间向量的线性运算的坐标表示 【解析】【解答】因为 � //� ，所以 1� = 2 4 = 3 6 ，即 1 � = 1 2 ， 所以 � = 2 . 故答案为：A. 3．如图，空间四边形OABC中， , ,OA a OB b OC c       ，点M 为 BC中点，点 N在侧棱OA上，且 2ON NA ，则MN   （ ） 试卷第 2页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 A． 1 2 1 2 3 2 a b c     B． 2 1 1 3 2 2 a b c    C． 2 1 1 3 2 2 a b c     D． 1 1 1 2 2 2 a b c    4．已知两点  3,2A  ，  2,1B ，过点  0, 1P  的直线 l与线段 AB（含端点）有交点，则直 线 l的斜率的取值范围为（ ） A．  1, 1 B．    , 1 1,   C． 1 ,1 5     D．  1, 1, 5         5．设A ， B为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A．若A ， B是对立事件，则 ( ) 1P AB  B．若A ， B是互斥事件， 1 1( ) , ( ) 3 2 P A P B  ，则 1( ) 6 P A B  C．若A ， B是独立事件， 1 2( ) , ( ) 3 3 P A P B  ，则 1( ) 9 P AB  D．若 1 1( ) , ( ) 3 2 P A P B  ，且 1( ) 3 P AB  ，则A ， B是独立事件 6. 已知直线 1 2: , :l y ax b l y bx a    ，当 ,a b满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（ ） A． B． C． D． 解析：C 【分析】由两直线的解析式可得直线 1l 的斜率为 a、纵截距为 b ， 2l 的斜率为 b，纵截距为 a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项 A，由 1l 的图象可知， 0a  ， 0b  ，由 2l 的图象可知， 0b  ， 0a  ， 不成立，A 错误； 选项 B，由 1l 的图象可知， 0a  ， 0b  ，由 2l 的图象可知， 0b  ， 0a  ， 不成立，B 错误； 试卷第 3页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 选项 C，由 1l 的图象可知， 0a  ， 0b  ，由 2l 的图象可知， 0b  ， 0a  ， 可能成立，C 正确； 选项 D，由 1l 的图象可知， 0a  ， 0b  ，由 2l 的图象可知， 0b  ， 0a  ， 不成立，D错误. 故选：B. 7．已知 EF是棱长为 8 的正方体的一条体对角线，点M 在正方体表面上运动，则ME MF   的 最小值为（ ） A．0 B． 16 C． 32 D． 48 8. 图 1 是中国古代建筑中的举架结构， , , ,AA BB CC DD    是桁，相邻桁的水平距离称为步， 垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 1 1 1 1, , ,DD CC BB AA是举， 1 1 1 1,, ,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 ,0.5, ,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA     ．已知 1.0,1.0 2312  kkkk ，且直线OA的斜率 为 0.725，则 3k （ ） A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 【答案】A 【详解】设 1 1 1 1 1OD DC CB BA    ，则 1 1 1 2 1 3, ,CC k BB k AA k   ， 依题意，有 3 1 3 20.2 , 0.1k k k k    ，且 1 1 1 1 1 1 1 1 0.725DD CC BB AA OD DC CB BA        ， 所以 3 0.5 3 0.3 0.725 4 k   ，故 3 0.9k  ，故选：A 9. 下列说法正确的是（ ） 试卷第 4页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 A． 1 1 y y x x   ＝k不能表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k的直线方程 B．在 x轴，y轴上的截距分别为 a，b的直线方程为 1 x y a b   C．过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 2 1 2 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x y y y y x x      D．直线 y＝kx+b与 y轴的交点到原点的距离为 b 【答案】AC 【详解】 1 1 y y x x   ＝k表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k的直线去掉点 1 1 ( , )x y ，A 正确； 在 x轴，y轴上的截距分别为 a，b，只有 0ab  时，直线方程为 1x y a b   ，B 错误； 过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线 当 1 2x x 时，直线方程为 1 2 2 2 1 2 ( )y yy y x x x x      ，变形为 2 1 2 2 1 2 ( )( ) ( )( ) 0x x y y y y x x      ， 当 1 2x x 时，直线方程为 2x x ，也适合方程 2 1 2 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x y y y y x x      ， 所以 C 正确． 直线 y＝kx+b与 y轴的交点坐标是 (0, )b ，交点到原点的距离为 b，D 错误； 故选：AC． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过两点 A（m，1），B（2﹣3m，2），且其倾斜角为 135°，则 m的值为3 4 B．“ 1a   ”是“直线 1 0ax y   与直线 2 1 0x ay a    互相平行”的必要不充分条件 C．若 0, 0AB BC  ，则直线 0Ax By C   不经过第二象限 D．过点 (1, 2)P 且在 x轴， y轴截距相等的直线方程为 3 0x y   【答案】ABC 对于 A，经过两点 A（m，1），B（2﹣3m，2）的直线的斜率为 ， 又直线的倾斜角为 135°， ∴ ，解得 ； 对于 B，直线 1 0ax y   与直线 2 1 0x ay a    互相平行， 则   1 0a a    ，解得： 1a   ， 试卷第 5页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 当 1a  时，直线 1 0x y   与直线 1 0x y   重合， 当 1a   时，直线 1 0x y   与直线 3 0x y   互相平行， 故“ 1a   ”是“直线 1 0ax y   与直线 2 1 0x ay a    互相平行”的必要不充分条件，故 B 正确； C 选项，若 0, 0AB BC  ，则直线 0Ax By C   变形为 A Cy x B B   ， 直线斜率 0 A B  ，与 y轴截距为 0 C B   直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C 正确； 对于 D项，因过点  1,2 且在 x轴､ y轴上的截距相等的直线还有 2y x ，故 D 错误. 故选：ABC 11．如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD是正方形， SA 平面 ABCD， SA AB ，O、 P分别是 ,AC SC的中点，M 是棱 SD上的动点，则（ ） A．OM AP B．存在点M ，使 / /OM 平面 SBC C．存在点M ，使直线OM 与 AB所成的角为30 D．点M 到平面 ABCD与平面 SAB的距离和为定值 ABD【详解】根据已知条件，以A 为坐标原点，AB、AD、AS所在直线分别为 x、 y、z轴 建立空间直角坐标系，设 2SA AB  ，则  0,0,0A ，  2,2,0C ，  2,0,0B ，  0,2,0D ，  0,0,2S ，  1,1,1P ，  1,1,0O ；由M 是棱 SD上的动点，设  0, ,2M   ，  0 2  ，因为  1,1,1  AP ，  1, 1,2OM       ，所以 1 1 2 0AP OM l l× = - + - + - =   ， 即OM AP ，故 A 正确；当M 为 SD中点时，OM 是 SBD 的中位线，所以 //OM SB， 又OM 平面 SBC， SB 平面 SBC，所以 / /OM 平面 SBC，故 B 正确；  2,0,0AB   ，  1, 1,2OM       ，若存在点M ，使直线OM 与 AB所成的角为30， 则    2 2 1 3cos30 21 1 2 AB OM AB OM                ，化简得 23 9 7 0λ λ   ，无解，故 C 错 误； 由题意可知：点M 到平面 ABCD的距离 1 2d λ  ， AD  为平面 SAB的法向量，所以点M 到 试卷第 6页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 平面 SAB的距离为 2 2 2 AM AD d AD          ，所以 1 2 2 2d d λ λ     ，故 D 正确.故选：ABD 12. 在空间直角坐标系中，点      1,2,0 , 0,1,0 , 2,2,2A B P ，则 P到直线 AB的距离为 __________． 【答案】 3 2 2 【解析】 【分析】 利用点到直线距离的向量公式即可求解． 【详解】 依题意得  1, 1,0AB     ，  1,0,2AP   则 P到直线 AB的距离为 2 2 1 3 25 2 2 AP ABd AP AB               故答案为： 3 2 2 13．已知 (2, 1,3), ( 1, 4, 2)a b       ， c (4,5, )  ，若 , ,a b c    三向量不能构成空间向量的一组 基底，则实数的值为 5 . 14. 过点 与 轴、 轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 ___2x+y-8=0______． 15. 已知△ABC的三个顶点分别为 A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求： 试卷第 7页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 （1）边 AC所在直线的方程； （2）BC边上的中线 AD所在直线的方程； （3）BC边上的高 AE所在直线的方程. 【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0 【解析】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3）， 故边 AC所在直线的方程为： 3 2 3 3 x y    ， 即 3x﹣y+9＝0， （2）BC边上的中点 D（0，2）， 故 BC边上的中线 AD所在直线的方程为 1 3 2 x y    ， 即 2x﹣3y+6＝0， （3）BC边斜率 k 1 3 1 2 2 2      ， 故 BC边上的高 AE的斜率 k＝2， 故 BC边上的高 AE所在直线的方程为 y＝2（x+3），即 2x﹣y+6＝0. 16. 如图，四面体 OABC 的所有棱长都是 1，D，E 分别是 OA，BC 的中点，连接 DE. (1)计算 DE 的长； 2 2 (2)求点 O 到平面 ABC 的距离． 6 3 试卷第 8页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 17.已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格， 则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得 该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报 名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是 1 3 ， 1 2 ， 1 4 ， 面试合格的概率分别是 1 2 ， 1 3 ， 2 3 ． (1)求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (3)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率． 【答案】(1) 1 6 ； (2) 5 18 ； (3) 91 216 ． 试卷第 9页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】设事件 A、B、C分别为“甲、乙、丙获得该高校综合评价录取资格”，根据独立事 件概率计算方法可直接求出  P A 、  P B 、  P C .由此可得(1)题答案，(2)题概率为          P AB AB P A P B P A P B   ，(3)题可先计算其对立事件概率从而求解． 【详解】（1）设事件A 表示“甲获得该高校综合评价录取资格”， 则   1 1 13 2 6P A    ； （2）设事件 B表示“乙获得该高校综合评价录取资格”， 则   1 1 12 3 6P B    ， 则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：           1 1 1 1 51 16 6 6 6 18P P AB AB P A P B P A P B                      ； （3）设事件C表示“丙获得该高校综合评价录取资格”， 则   1 2 14 3 6P C    ， 三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合 评价录取资格， 三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：   1 1 1 911 1 1 1 16 6 6 216P P ABC                   ． 18.（本小题满分 17 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F为顶 点的五面体中，四边形 ABCD与四边形 ADEF均为等腰梯形， / / , / /EF AD BC AD， 4, 2AD AB BC EF    ， 10, 2 3ED FB  ，M 为 AD的中点． (1)证明： / /BM 平面CDE； (2)求二面角 F BM E  的正弦值． 【详解】（1）因为 // , 2, 4,BC AD EF AD M  为 AD的中点，所以 // ,BC MD BC MD ， 四边形 BCDM 为平行四边形，所以 //BM CD，又因为 BM 平面CDE， CD 平面CDE，所以 //BM 平面CDE； （2）如图所示，作 BO AD 交 AD于O，连接OF， 因为四边形 ABCD为等腰梯形， // , 4,BC AD AD  2AB BC  ，所以 2CD  ， 试卷第 10页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 结合（1）BCDM 为平行四边形，可得 2BM CD  ，又 2AM  ， 所以 ABM 为等边三角形，O为 AM 中点，所以 3OB  ， 又因为四边形 ADEF 为等腰梯形，M 为 AD中点，所以 , //EF MD EF MD ， 四边形 EFMD为平行四边形， FM ED AF  ， 所以 AFM△ 为等腰三角形， ABM 与 AFM△ 底边上中点O重合，OF AM ， 2 2 3OF AF AO   ， 因为 2 2 2OB OF BF  ，所以OB OF ，所以 , ,OB OD OF互相垂直， 以OB方向为 x轴，OD方向为 y轴，OF方向为 z轴，建立O xyz 空间直角坐标系，  0,0,3F ，      3,0,0 , 0,1,0 , 0,2,3B M E ，    3,1,0 , 3,0,3BM BF     ，  3,2,3BE   ，设平面 BFM 的法向量为� = �1, �1, �1 ，平面 EMB的法向量为� = �2, �2, �2 ， 则 0 0 m BM m BF         ，即 1 1 1 1 3 0 3 3 0 x y x z        ，令 1 3x  ，得 1 13, 1y z  ，即� = 3, 3,1 ， 则 0 0 n BM n BE         ，即 2 2 2 2 2 3 0 3 2 3 0 x y x y z         ，令 2 3x  ，得 2 23, 1y z   ， 即  3,3, 1n   ， 11 11cos , 1313 13 m nm n m n            ，则 4 3sin , 13 m n   ， 故二面角 F BM E  的正弦值为 4 3 13 . 19.（本小题满分 17 分） 在空间直角坐标系Oxyz中，过点  0 0 0, ,P x y z 且以  , ,u a b c  为方向向量的直线方程可表示 为  0 0 0 0x x y y z z abc a b c       ，过点  0 0 0, ,P x y z 且以  , ,u a b c  为法向量的平面方程可 表示为 0 0 0ax by cz ax by cz     ． (1)若直线  1 1: 1 2 xl y z     与  2 1: 1 4 2 y zl x     都在平面 内，求平面 的方程； (2)在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，点C与坐标原点O重合，点A 在平面Oxz内，平面 ABC以  1, 1, 3m     为法向量，平面 1 1ABB A 的方程为3 8x y z   ，求点A 的坐标； 试卷第 11页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 (3)若集合   , , 2M x y z x y z    中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和 相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）解：由题意可知，直线 1l 的一个方向向量为  1 2,1, 1u    ，直线 2l 的一个方向 向量为  2 1, 4, 2u    ， 设平面 的法向量为  1 1 1, ,n x y z  ，则 1 1 1 1 2 1 1 1 2 0 4 2 0 n u x y z n u x y z                ，解得 1 1 1 1 2 3 x y z y      ，取 1 1y   ， 则  2, 1,3m   ， 易知直线 1l 过点  1,0,1P ，所以，平面 的方程为 2 3 2 0 3 5x y z      .即 2 3 5x y z   . （2）解：根据题意，设点  ,0,A a c ，则  ,0,CA a c  因为平面 ABC以  1, 1, 3m    为法向量，则 3 0m CA a c      ，①又因为点A 在平面 1 1ABB A 内，则3 8a c  ，②联立①②可得 3a  ， 1c  ， 故点A 的坐标为  3,0,1 . （3）解：如下图所示：易知多面体交各坐标轴 于点  2,0,0M 、  0,2,0N 、  2,0,0R  、  0,2,0S  0,0,2E 、  0,0, 2F  ，正方形MNRS的边长为    2 2 22 0 0 2 0 2 2MN        ， 所以，正方形MNRS的面积为  22 2 8 ，而正四棱锥 E MNRS 的高为 2OE   ，则 1 162 8 3 3E MNRS V     四棱锥 ，所以，多面体的体积为 16 322 2 3 3E MNRS V V    四棱锥 .易知平 面MNE的方程为 2x y z   ，该平面的一个法向量为  1,1,1a  ，平面 ENR的方程为 2x y z    ，该平面的一个法向量为  1,1,1b    ，平面MNF的方程为 2x y z   ，该平 面的一个法向量为  1,1, 1c   ， 所以， 1cos , 3 a ba b a b       ， 1cos , 3 a ca b a c         ，因此，多面体相邻两个面所在平面 试卷第 12页，共 12页 学科网（北京）股份有限公司 的夹角的余弦值为 1 3 .